À la fin de cette première version du chapitre Équations, inéquations et systèmes, l'élève de Tronc Commun Technologique doit être capable de :
- Résoudre algébriquement des équations, inéquations et systèmes à deux inconnues puis contrôler la solution
- identifier les données, les notations et les conditions propres au chapitre Équations, inéquations et systèmes
- rédiger une solution structurée et vérifier la cohérence du résultat obtenu
- Situer le chapitre Équations, inéquations et systèmes et vérifier les prérequis.
- Comprendre les définitions et les résultats indispensables.
- Appliquer une méthode explicite à une situation standard.
- Étudier un exemple corrigé en contrôlant chaque étape.
- S'entraîner puis comparer sa démarche aux réponses courtes.
I.ÉQUATIONS, INÉQUATIONS ET SYSTÈMES
Cette page constitue un socle de travail consacré au chapitre Équations, inéquations et systèmes pour le parcours Tronc Commun Technologique. Elle présente les notions qui permettent de commencer les exercices sans remplacer le cours détaillé, les activités de classe ni la correction argumentée par un enseignant.
Prérequis utiles : développement et factorisation, ordre dans R, coordonnées. Avant de poursuivre, l'élève doit vérifier qu'il sait reconnaître les données, employer les notations du chapitre et effectuer les calculs élémentaires associés.
La lecture conseillée est progressive : comprendre d'abord les objets mathématiques, repérer ensuite les conditions des propriétés, reproduire l'exemple sans regarder la solution, puis traiter les questions de vérification. Une formule ne doit jamais être appliquée sans contrôler ses hypothèses.
1.Définition et vocabulaire
Le chapitre « Équations, inéquations et systèmes » rassemble les objets et les méthodes nécessaires pour résoudre algébriquement des équations, inéquations et systèmes à deux inconnues puis contrôler la solution. Un premier repère essentiel est le suivant : Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
Il faut connaître le sens de chaque symbole et préciser l'ensemble dans lequel on travaille. Cette précaution évite les erreurs de domaine, de signe ou d'indice et permet de rédiger une réponse compréhensible.
2.Résultats essentiels
Les résultats suivants forment le noyau minimal à maîtriser. Pour chacun, l'élève doit identifier les conditions d'utilisation avant de commencer les calculs :
- Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
- Pour une inéquation produit, on utilise le signe de chaque facteur.
- Une opération d'équivalence doit être appliquée aux deux membres.
- Un système 2×2 se résout par substitution ou élimination.
- Le déterminant ad−bc non nul garantit une solution unique de ax+by=e, cx+dy=f.
- Toute solution doit satisfaire les équations initiales.
3.Méthode de résolution
Pour traiter une question standard sur ce chapitre, on peut suivre la démarche suivante :
- reformuler la question afin de déterminer s'il faut résoudre algébriquement des équations, inéquations et systèmes à deux inconnues puis contrôler la solution
- relever les données et contrôler les prérequis utiles : développement et factorisation, ordre dans R, coordonnées
- choisir la propriété adaptée, notamment parmi les repères suivants : Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul. Pour une inéquation produit, on utilise le signe de chaque facteur.
- effectuer le calcul étape par étape, vérifier les conditions, puis interpréter le résultat dans le contexte demandé
4.Exemple corrigé
Énoncé. Résoudre x+y=7 et 2x−y=5.
Solution. En additionnant, 3x=12, donc x=4 ; puis y=7−4.
Conclusion. (x,y)=(4,3).
Pour réutiliser cette démarche, changer les données de l'énoncé et recommencer sans recopier mécaniquement les calculs. La structure du raisonnement reste utile, mais les conditions et le résultat doivent être recalculés.
Dans le parcours Tronc Commun Technologique, ce chapitre peut être mobilisé de la manière suivante : Déterminer deux paramètres techniques liés par deux contraintes linéaires.
L'objectif de cette application est de relier la technique mathématique à une situation lisible, sans confondre le modèle et la réalité. Il faut annoncer les variables, expliquer les hypothèses retenues et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
II.S’ENTRAÎNER ET VÉRIFIER
Traiter les trois questions suivantes sur une feuille. Pour chacune, écrire la propriété ou la définition utilisée, détailler le calcul principal et terminer par une conclusion :
- 1. Résoudre (x−1)(x+4)=0.
- 2. Résoudre 2x+3>7.
- 3. Le système x+y=2, x−y=0 a quelle solution ?
Réponses courtes.
- 1. x=1 ou x=−4.
- 2. x>2.
- 3. (1,1).