Le cercle trigonométrique et l’abscisse curviligne
Le cercle trigonométrique
Dans un plan orienté, on appelle cercle trigonométrique tout cercle $\mathcal{C}$ :
- De centre l'origine $O$ du repère.
- De rayon $R = 1$.
- Muni d'un point d'origine $I$ (généralement de coordonnées $(1,0)$).
- Orienté de manière positive (sens direct ou sens anti-horaire, opposé aux aiguilles d'une montre).
Abscisses curvilignes d’un point
Soit $M$ un point du cercle trigonométrique $\mathcal{C}$.
- S'il existe un nombre réel $x$ qui enroule la droite numérique sur le cercle au point $M$, alors tout nombre réel de la forme : \[ x + 2k\pi (\text{où } k \in \mathbb{Z}) \] est aussi une abscisse curviligne du point $M$. On note $M(x + 2k\pi)$.
- Il existe une unique abscisse curviligne de $M$ appartenant à l'intervalle $]-\pi; \pi]$. Elle est appelée l'abscisse curviligne principale du point $M$.
Déterminer l'abscisse curviligne principale des points suivants :
\[ A\left(\frac{25\pi}{3}\right) ; B\left(-\frac{19\pi}{4}\right) ; C\left(\frac{2026\pi}{6}\right) \]
Lignes trigonométriques : cos, sin et tan
Définitions géométriques
Soit $(O; \vec{i}, \vec{j})$ un repère orthonormé direct du plan, $\mathcal{C}$ le cercle trigonométrique d'origine $I$, et $M$ un point de $\mathcal{C}$ d'abscisse curviligne $x$.
- Le cosinus de $x$, noté $\cos(x)$, est l'abscisse du point $M$.
- Le sinus de $x$, noté $\sin(x)$, est l'ordonnée du point $M$.
- La tangente de $x$, noté $\tan(x)$, est définie pour tout $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) par : \[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]
Relations fondamentales
Pour tout nombre réel $x$, on a les relations indispensables suivantes :
- $-1 \le \cos(x) \le 1 $ et $ -1 \le \sin(x) \le 1$
- $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$
- $\cos(x + 2k\pi) = \cos(x) $ et $ \sin(x + 2k\pi) = \sin(x) (k \in \mathbb{Z})$
- $1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} (\text{pour } x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi)$
Formules de symétrie (Angles associés)
Pour tout nombre réel $x$, on a :
\[\begin{aligned}&\begin{cases} \cos(-x) = \cos(x) \\ \sin(-x) = -\sin(x) \end{cases}
&&\begin{cases} \cos(\pi – x) = -\cos(x) \\ \sin(\pi – x) = \sin(x) \end{cases} \\
&\begin{cases} \cos(\pi + x) = -\cos(x) \\ \sin(\pi + x) = -\sin(x) \end{cases}
&&\begin{cases} \cos\left(\frac{\pi}{2} – x\right) = \sin(x) \\ \sin\left(\frac{\pi}{2} – x\right) = \cos(x) \end{cases} \\
&\begin{cases} \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin(x) \\ \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos(x) \end{cases}
&&\begin{cases} \tan(\pi – x) = -\tan(x) \\ \tan(\pi + x) = \tan(x) \end{cases}\end{aligned}\]
Simplifier au maximum l'expression suivante :
\[ A = \cos\left(\frac{\pi}{2} – x\right) + \sin(\pi – x) – \cos(\pi + x) + \sin(-x) \]
Formules d’addition et de duplication
Formules d’addition
Pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a :
- $\cos(a – b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$
- $\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) – \sin(a)\sin(b)$
- $\sin(a – b) = \sin(a)\cos(b) – \cos(a)\sin(b)$
- $\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$
Formules de duplication et linéarisation
Pour tout nombre réel $a$, on a :
- $\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)$
- $\cos(2a) = \cos^2(a) – \sin^2(a) = 2\cos^2(a) – 1 = 1 – 2\sin^2(a)$
- Formules de linéarisation : $\displaystyle \cos^2(a) = \frac{1 + \cos(2a)}{2} $ et $ \displaystyle \sin^2(a) = \frac{1 – \cos(2a)}{2}$
En utilisant la valeur $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} – \frac{\pi}{4}$, calculer les valeurs exactes de $\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)$.