Transformations usuelles : Rappels et Définitions
Symétrie axiale
Soit $(D)$ une droite du plan.
La symétrie axiale (ou réflexion) d'axe $(D)$ est la transformation du plan qui, à tout point $M$, associe l'unique point $M'$ tel que :
- Si $M \in (D)$, alors $M' = M$.
- Si $M \notin (D)$, alors la droite $(D)$ est la médiatrice du segment $[MM']$.
Symétrie centrale
Soit $O$ un point du plan.
La symétrie centrale de centre $O$ est la transformation du plan qui, à tout point $M$, associe l'unique point $M'$ tel que $O$ soit le milieu du segment $[MM']$, ce qui se traduit par l'égalité vectorielle :
\[ \vec{OM'} = -\vec{OM} \]
On note : $M' = S_O(M)$.
Translation
Soit $\vec{u}$ un vecteur du plan.
La translation de vecteur $\vec{u}$ est la transformation du plan qui, à tout point $M$, associe l'unique point $M'$ tel que :
\[ \vec{MM'} = \vec{u} \]
On note : $M' = t_{\vec{u}}(M)$.
Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$.
- Déterminer $S_O(A)$, $S_O(B)$ et $S_{(AC)}(B)$.
- Déterminer l'image du point $A$ par la translation de vecteur $\vec{BC}$.
L’homothétie dans le plan
Définition et caractérisation vectorielle
Soit $\Omega$ un point du plan et $k$ un nombre réel non nul.
L'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k$ est la transformation du plan qui, à tout point $M$, associe l'unique point $M'$ tel que :
\[ \vec{\Omega M'} = k\vec{\Omega M} \]
On note : $M' = h(\Omega, k)(M)$ ou plus simplement $h(M) = M'$.
- Si $k = 1$, l'homothétie est l'identité du plan (chaque point est sa propre image).
- Si $k = -1$, l'homothétie de centre $\Omega$ se confond avec la symétrie centrale de centre $\Omega$.
Soit $A$ et $B$ deux points distincts du plan. Construire les points suivants :
- $M_1 = h(A, 2)(B)$
- $M_2 = h\left(A, -\frac{1}{2}\right)(B)$
Propriété caractéristique de l’homothétie
Soit $h$ une homothétie de rapport $k$. Si $A'$ et $B'$ sont les images respectives de deux points $A$ et $B$ du plan ($A'=h(A)$ et $B'=h(B)$), alors :
\[ \vec{A'B'} = k\vec{AB} \]
En particulier, la distance entre les images est donnée par : $A'B' = |k| \times AB$.
Propriétés de conservation des transformations
Conservation des alignements, des milieux et des angles
La symétrie axiale, la symétrie centrale, la translation et l'homothétie conservent :
- L'alignement : L'image de trois points alignés est formée de trois points alignés.
- Le milieu : L'image du milieu d'un segment est le milieu du segment image.
- Les angles géométriques : L'image d'un angle est un angle de même mesure.
Images de figures géométriques (Droites, Segments, Cercles)
Soit $T$ l'une des quatre transformations usuelles étudiées :
- Image d'une droite : L'image d'une droite par une translation ou une homothétie est une droite qui lui est parallèle.
- Image d'un segment : L'image du segment $[AB]$ est le segment $[A'B']$ tel que $T(A)=A'$ et $T(B)=B'$.
- Image d'un cercle :
- Par une symétrie ou une translation, l'image du cercle $\mathcal{C}(I, R)$ est le cercle $\mathcal{C'}(I', R)$ de même rayon avec $I' = T(I)$.
- Par une homothétie de rapport $k$, l'image du cercle $\mathcal{C}(I, R)$ est le cercle $\mathcal{C'}(I', |k|R)$ avec $I' = h(I)$.
Exercices de synthèse
Soit $ABCD$ un parallélogramme. Soit $I$ un point du segment $[BD]$ distinct de $B$ et $D$.
La droite $(AI)$ coupe la droite $(BC)$ en $J$ et coupe la droite $(CD)$ en $K$.
On considère $h$ l'homothétie de centre $I$ qui transforme $B$ en $D$.
- Faire une figure claire et soignée.
- Déterminer les images des droites $(AB)$ et $(AJ)$ par l'homothétie $h$.
- En déduire les images des points $A$ et $J$ par $h$.
- En utilisant les rapports vectoriels, montrer que : $IA^2 = IJ \times IK$.
On considère un parallélogramme $ABCD$ et deux points $I$ et $J$ du plan tels que :
\[ \vec{CI} = \frac{2}{3}\vec{CB} \text{et} \vec{IJ} = \vec{DC} \]
- Construire la figure géométrique correspondante.
- Exprimer le point $J$ comme l'image d'un point par une translation appropriée.
- Montrer que la droite $(BJ)$ est parallèle à la droite $(AI)$.