Ordre dans $\mathbb{R}$
Comparaison de deux réels
Soient $a$ et $b$ deux réels.
On dit que $a$ est inférieur ou égal à $b$, et on écrit $a \le b$, si :
\[ a – b \le 0 \]
Comparer les nombres $A$ et $B$ dans chacun des cas suivants :
- $A = \frac{7}{15}$ et $B = \frac{6}{17}$
- $A = 3\sqrt{5}$ et $B = 3\sqrt{7}$
Comparer les nombres $A$ et $B$ dans chacun des cas suivants :
- $A = \frac{2n-1}{2n}$ et $B = \frac{2n}{2n+1}$ avec $n \in \mathbb{N}^*$
- $A = \frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ et $B = 2$ avec $a \in \mathbb{R}^*_+$ et $b \in \mathbb{R}^*_+$
Propriétés de l’ordre dans $\mathbb{R}$
[Ordre, addition et multiplication]
Soient $a$, $b$, $c$, $d$ et $k$ des nombres réels.
Multiplication d'inégalités membre à membre :
\[ \text{Si } 0 \le a \le b \text{ et } 0 \le c \le d, \text{ alors } ac \le bd \]
- Ordre et addition : \[ a \le b \iff a + c \le b + c \]
- Addition d'inégalités membre à membre : \[ \text{Si } a \le b \text{ et } c \le d, \text{ alors } a + c \le b + d \]
- Ordre et multiplication :
- Si $k \ge 0$, alors : $a \le b \iff ka \le kb$
- Si $k \le 0$, alors : $a \le b \iff ka \ge kb$
[Exemples]
- Soient $a \le \frac{5}{7}$ et $b \le \frac{16}{7}$. On a : \[ a + b \le \frac{5}{7} + \frac{16}{7} \text{c'est-à-dire} a + b \le \frac{21}{7} \text{donc} a + b \le 3 \]
- Si $a \le \frac{2}{3}$, alors $-3a \ge -2$ car $-3 \le 0$.
- Si $0 \le x \le \frac{3}{2}$ et $0 \le y \le 2$, alors $xy \le \frac{3}{2} \times 2$ c'est-à-dire $xy \le 3$.
[Ordre et inverse]
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls.
- Si $0 < a \le b$, alors : $\frac{1}{b} \le \frac{1}{a}$
- Si $a \le b < 0$, alors : $\frac{1}{b} \le \frac{1}{a}$
[Exemples]
- Si $0 < x \le 3$, alors $\frac{1}{x} \ge \frac{1}{3}$.
- Si $-\frac{5}{6} \le x < 0$, alors $\frac{1}{x} \le -\frac{6}{5}$.
[Ordre, racine carrée et carré]
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.
- Si $0 \le a \le b$, alors : $\sqrt{a} \le \sqrt{b}$
- Si $0 \le a \le b$, alors : $a^2 \le b^2$
- Si $a \le b \le 0$, alors : $a^2 \ge b^2$
[Exemples]
- On a $2 \le \sqrt{5}$, donc $2^2 \le (\sqrt{5})^2$ c'est-à-dire $4 \le 5$.
- On a $-3 \le -2$, donc $(-3)^2 \ge (-2)^2$ c'est-à-dire $9 \ge 4$.
Encadrements
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a \le b$.
Chaque double inégalité parmi les suivantes :
\[ a \le x \le b ; a \le x < b ; a < x \le b ; a < x < b \]
est appelée un encadrement de $x$ d'amplitude $b – a$.
[Exemple]
L'écriture $3,14 \le \pi \le 3,15$ est un encadrement de $\pi$ d'amplitude $3,15 – 3,14 = 0,01$.
Soient $a$, $b$, $c$, $d$, $x$ et $y$ des nombres réels.
Inverse :
Si $a \le x \le b$ (où $a$ et $b$ sont de même signe et non nuls), alors :
\[ \frac{1}{b} \le \frac{1}{x} \le \frac{1}{a} \]
- Somme et différence : Si $a \le x \le b$ et $c \le y \le d$, alors : \[ a + c \le x + y \le b + d \text{et} a – d \le x – y \le b – c \]
- Carré :
- Si $0 \le a \le x \le b$, alors : $a^2 \le x^2 \le b^2$
- Si $a \le x \le b \le 0$, alors : $b^2 \le x^2 \le a^2$
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tels que :
\[ 3 \le x \le 7 \text{et} 2 \le y \le 5 \]
Encadrer les expressions suivantes :
\[ x + y ; x – y ; xy ; \frac{x}{y} \]
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels tels que :
\[ -4 \le x \le -1 \text{et} 2 \le y \le 5 \]
Encadrer les expressions suivantes :
\[ x + y ; x – y ; xy ; \frac{x}{y} ; \frac{2xy}{x^2 – y^2} \]
Intervalles
Soit $(D)$ une droite rapportée au repère $(O, I)$ tel que $OI = 1\text{ cm}$.
- Placer sur l'axe $D(O, I)$ les points $A(2)$, $B(-3)$ et $C\left(-\frac{8}{2}\right)$.
- Représenter sur l'axe $D(O, I)$ l'ensemble des points d'abscisses $x$ dans chacun des cas suivants :
- $2 \le x \le 5$
- $1 \le x < 4$
- $x \ge 2$
- $x < 5$
Les nombres $x$ qui vérifient $2 \le x \le 5$ représentent un intervalle noté $[2; 5]$.
Déterminer, dans chacun des cas suivants, l'intervalle auquel appartient le nombre $a$ :
- $-3 \le a \le 9$
- $0 < a < 5$
- $1 < a \le 4$
- $-7 \le a < 3$
-
\setcounter{enumii}{4}
- $a \le 2$
- $a \ge 3\sqrt{7}$
- $a < \frac{3}{7}$
- $a \le \frac{3}{7}$
On considère les intervalles :
\[ I = [-3; 5] ; J = ]2; 7[ ; K = [6; +\infty[ \]
- Représenter les intervalles $I$, $J$ et $K$ sur la droite numérique à l'aide de couleurs différentes.
- Déterminer : \[ I \cap J ; J \cap K ; I \cap K \]
- Déterminer : \[ I \cup J ; J \cup K ; I \cup K \]
Soient $I$ et $J$ deux intervalles de $\mathbb{R}$.
- $x \in I \cap J$ signifie que $x \in I$ et $x \in J$ (Le symbole $\cap$ se lit « intersection »).
- $x \in I \cup J$ signifie que $x \in I$ ou $x \in J$ (Le symbole $\cup$ se lit « union »).
[Exemples]
- $[1; 5] \cap ]2; 6] = ]2; 5]$
- $]-\infty; 1] \cap [1; 4[ = \{1\}$
- $[-1; 2[ \cap [3; 4[ = \emptyset$
- $[-3; 2[ \cup [1; 4[ = [-3; 4[$
- $]-\infty; 3] \cup ]3; +\infty[ = ]-\infty; +\infty[ = \mathbb{R}$
[Intervalles particuliers]
- $\mathbb{R}^+ = [0; +\infty[$
- $\mathbb{R}^*_+ = ]0; +\infty[$
- $\mathbb{R}^- = ]-\infty; 0]$
- $\mathbb{R}^*_- = ]-\infty; 0[$
- $\mathbb{R} = ]-\infty; +\infty[$
[Caractéristiques d'un intervalle]
Soit $I = [a; b]$ un intervalle de $\mathbb{R}$ tel que $a < b$ (définition valable également pour les intervalles $[a; b[$, $]a; b]$ et $]a; b[$) :
- On appelle longueur de $I$ le nombre : $b – a$
- On appelle centre de $I$ le nombre : $\frac{a + b}{2}$
- On appelle rayon de $I$ le nombre : $\frac{b – a}{2}$
[Exemple]
On considère l'intervalle $I = ]-6; 4[$ :
- La longueur de $I$ est : $l = 4 – (-6) = 10$
- Le centre de $I$ est : $c = \frac{4 + (-6)}{2} = -1$
- Le rayon de $I$ est : $r = \frac{4 – (-6)}{2} = 5$
Valeur absolue
Soit $x \in \mathbb{R}$.
On appelle la valeur absolue du nombre $x$ le nombre réel positif noté $|x|$ tel que :
- Si $x \ge 0$, alors $|x| = x$.
- Si $x \le 0$, alors $|x| = -x$.
[Exemple]
\[ |3 – \sqrt{2}| = 3 – \sqrt{2} \text{et} |\sqrt{2} – 3| = -(\sqrt{2} – 3) = 3 – \sqrt{2} \]
Soient $A(a)$ et $B(b)$ deux points sur un axe normé. On a :
\[ AB = |b – a| \]
[Exemple]
La distance entre les points $A(-7)$ and $B(-5)$ est :
\[ AB = |-5 – (-7)| = |-5 + 7| = |2| = 2 \]
[Propriétés de la valeur absolue]
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels. On a :
- $|-x| = |x|$
- $|x|^2 = |x^2| = x^2$
- $|xy| = |x| \times |y|$
- $\left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|}$ (où $y \neq 0$)
- $|x + y| \le |x| + |y|$ (Inégalité triangulaire)
- $|x – y| \ge ||x| – |y||$
- $\sqrt{x^2} = |x|$
- $|x| = |y| \iff x = y \text{ ou } x = -y$
[Exemple]
$|x| = 2 \iff x = 2 \text{ ou } x = -2$.
Résoudre les équations suivantes :
\[ (E_1) : |2x – 5| = 7 \text{et} (E_2) : |3x + 6| = -2 \]
Valeur absolue et intervalles
Soient $x \in \mathbb{R}$ et $r \in \mathbb{R}^*_+$. On a :
- $|x| \le r \iff -r \le x \le r \iff x \in [-r; r]$
- $|x| \ge r \iff x \ge r \text{ ou } x \le -r \iff x \in ]-\infty; -r] \cup [r; +\infty[$
Approximations et valeurs approchées
Soit $a \le x \le b$ (ou $a \le x < b$, ou $a < x \le b$, ou $a < x < b$).
- Le nombre $a$ est appelé l'approximation par défaut de $x$ à $b – a$ près.
- Le nombre $b$ est appelé l'approximation par excès de $x$ à $b – a$ près.
[Exemple]
On a $2,645 < \sqrt{7} < 2,646$ :
- Le nombre $2,645$ est une approximation par défaut de $\sqrt{7}$ à $10^{-3}$ près.
- Le nombre $2,646$ est une approximation par excès de $\sqrt{7}$ à $10^{-3}$ près.
Soient $x \in \mathbb{R}$, $a \in \mathbb{R}$ et $r \in \mathbb{R}^*_+$.
Si $|x – a| \le r$, on dit que $a$ est une valeur approchée (ou approximation) de $x$ à $r$ près.
[Exemple]
On a $|\sqrt{5} – 2,23| \le 0,01$. Donc $2,23$ est une valeur approchée de $\sqrt{5}$ à $10^{-2}$ près.
Déterminer toutes les valeurs approchées de $\frac{3}{7}$ à $0,1$ près.
Si $a \le x \le b$, alors $\frac{a + b}{2}$ est une valeur approchée de $x$ à $\frac{b – a}{2}$ près.
[Exemple]
Cherchons une valeur approchée de $\sqrt{5} + \sqrt{7}$ :
On a $2,236 \le \sqrt{5} \le 2,237$ et $2,645 \le \sqrt{7} \le 2,646$.
Donc :
\[ 4,881 \le \sqrt{5} + \sqrt{7} \le 4,883 \]
Par conséquent, $(\sqrt{5} + \sqrt{7}) \in [4,881; 4,883]$.
Le centre de l'intervalle est $c = 4,882$ et son rayon est $r = 0,001 = 10^{-3}$.
Donc $4,882$ est une valeur approchée de $\sqrt{5} + \sqrt{7}$ à $10^{-3}$ près.
[Approximations décimales]
Soit $x$ un nombre réel tel que :
\[ N \times 10^{-p} \le x \le (N + 1) \times 10^{-p} \text{avec } p \in \mathbb{N} \text{ et } N \in \mathbb{Z} \]
- Le nombre $N \times 10^{-p}$ est appelé l'approximation décimale par défaut de $x$ à $10^{-p}$ près.
- Le nombre $(N + 1) \times 10^{-p}$ est appelé l'approximation décimale par excès de $x$ à $10^{-p}$ près.
[Exemple]
On a $0,62 \le \frac{5}{8} \le 0,63$, c'est-à-dire :
\[ 62 \times 10^{-2} \le \frac{5}{8} \le 63 \times 10^{-2} \]
- Le nombre $62 \times 10^{-2}$ est l'approximation décimale par défaut de $\frac{5}{8}$ à $10^{-2}$ près.
- Le nombre $63 \times 10^{-2}$ est l'approximation décimale par excès de $\frac{5}{8}$ à $10^{-2}$ près.
On pose $x = \frac{\sqrt{7} – \sqrt{3}}{2}$.
Sachant que $1,73 < \sqrt{3} < 1,74$ et $2,64 < \sqrt{7} < 2,65$, donner l'approximation décimale par défaut et par excès de $x$ à $10^{-2}$ près.