Généralités sur les polynômes
Définition et vocabulaire
• Un polynôme (ou fonction polynôme) est une expression de la forme :
\[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \]
où $n$ est un entier naturel ($n \in \mathbb{N}$) et $a_0, a_1, \dots, a_n$ sont des nombres réels appelés les coefficients du polynôme.
• Si $a_n \neq 0$, l'entier $n$ est appelé le degré du polynôme $P$. On le note $\deg(P)$ ou $\text{d}^{\circ}(P)$.
• Les expressions $a_k x^k$ sont appelées les monômes du polynôme. $a_0$ est appelé le terme constant.
- Le polynôme nul (dont tous les coefficients sont nuls) n'a pas de degré par convention, ou on note $\deg(0) = -\infty$.
- Un polynôme de degré 0 est une fonction constante non nulle ($P(x) = a_0$ avec $a_0 \neq 0$).
Soient les expressions suivantes :
- $P(x) = 3x^3 – 5x^2 + x – 7$ est un polynôme de degré 3, on note $\deg(P) = 3$.
- $Q(x) = 2x^2 – \sqrt{x} + 1$ n'est pas un polynôme à cause du terme $\sqrt{x}$.
- $R(x) = \frac{2x+1}{x^2-3}$ n'est pas un polynôme car $x$ figure au dénominateur.
Égalité de deux polynômes
Deux polynômes $P$ et $Q$ sont égaux si et seulement si :
- Ils ont le même degré ($\deg(P) = \deg(Q)$).
- Les coefficients de leurs termes de même degré sont égaux deux à deux.
Soit $P(x) = 2x^2 – 3x + 1$. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que pour tout réel $x$ :
\[ P(x) = a(x-1)^2 + b(x-1) + c \]
Opérations sur les polynômes
Somme, produit et degré
Soient $P$ et $Q$ deux polynômes non nuls. On a :
- $\deg(P \times Q) = \deg(P) + \deg(Q)$
- $\deg(P + Q) \le \max(\deg(P), \deg(Q))$
On considère les polynômes suivants :
\[ P(x) = 2x^2 – 3x + 1 \text{et} Q(x) = x^3 – x + 2 \]
- Déterminer le polynôme $S(x) = P(x) + Q(x)$ et donner son degré.
- Déterminer le polynôme $M(x) = P(x) \times Q(x)$ et donner son degré.
Racine d’un polynôme et divisibilité
Racine (ou zéro) d’un polynôme
Soit $P$ un polynôme et $\alpha$ un nombre réel.
On dit que $\alpha$ est une racine (ou un zéro) du polynôme $P$ si et seulement si :
\[ P(\alpha) = 0 \]
Soit $P(x) = x^3 – 2x^2 – x + 2$.
- On a $P(1) = 1^3 – 2(1)^2 – 1 + 2 = 0$, donc $1$ est une racine de $P$.
- On a $P(0) = 2 \neq 0$, donc $0$ n'est pas une racine de $P$.
Division euclidienne d’un polynôme par $x – \alpha$
Soit $P$ un polynôme de degré $n$ ($n \ge 1$) et $\alpha$ un réel.
Il existe un unique polynôme $Q$ de degré $n-1$ tel que :
\[ P(x) = (x – \alpha)Q(x) + P(\alpha) \]
Divisibilité par $x – \alpha$
Un polynôme $P$ est divisible par $(x – \alpha)$ si et seulement si $\alpha$ est une racine de $P$ (c'est-à-dire $P(\alpha) = 0$). Dans ce cas, on a :
\[ P(x) = (x – \alpha)Q(x) \text{avec} \deg(Q) = \deg(P) – 1 \]
Soit le polynôme $P(x) = x^3 – 4x^2 + x + 6$.
- Vérifier que $2$ est une racine de $P$.
- Effectuer la division euclidienne de $P(x)$ par $(x-2)$ pour déterminer le polynôme $Q(x)$ tel que $P(x) = (x-2)Q(x)$.
Polynômes de degré 2 (Trinômes)
Forme canonique
Tout polynôme $P(x) = ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$) peut s'écrire sous la forme canonique :
\[ P(x) = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 – \frac{\Delta}{4a^2}\right] \]
où le nombre réel $\Delta = b^2 – 4ac$ est appelé le discriminant du trinôme.
- Déterminer la forme canonique du trinôme : $P(x) = 2x^2 – 4x – 6$.
- En déduire les racines de $P(x)$ et sa factorisation.