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Les ensembles des nombres N, Z, Q, D et R

Les ensembles : N, Z, D, Q et R

Définitions et notations

Définition
• On note l'ensemble des entiers naturels par $\mathbb{N}$ : \[ \mathbb{N} = \{0; 1; 2; 3; \dots\} \] • On note l'ensemble des entiers relatifs par $\mathbb{Z}$ : \[ \mathbb{Z} = \{\dots, -2; -1; 0; 1; 2; \dots\} \] • On note l'ensemble des nombres décimaux par $\mathbb{D}$ : \[ \mathbb{D} = \left\{ \frac{a}{10^n} \text{ où } a \in \mathbb{Z} \text{ et } n \in \mathbb{Z} \right\} \] • On note l'ensemble des nombres rationnels par $\mathbb{Q}$ : \[ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} \text{ où } a \in \mathbb{Z} \text{ et } b \in \mathbb{N}^* \right\} \] • On note l'ensemble des nombres réels par $\mathbb{R}$. C'est l'ensemble de tous les nombres rationnels et irrationnels.
Remarque
  • On a la chaîne d'inclusions successives suivante : \[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \] Le symbole $\subset$ se lit « est inclus dans ».
Exercice
Compléter à l'aide de l'un des symboles ($\in$, $\notin$, $\subset$, $\not\subset$) :
  • $10 \dots \mathbb{N}$
  • $3.5 \dots \mathbb{Z}$
  • $\frac{2\pi}{3} \dots \mathbb{R}$
  • $\frac{\sqrt{2}}{3} \dots \mathbb{Q}$
  • $\mathbb{R} \dots \mathbb{Z}$
  • $\mathbb{R} \dots \mathbb{N}$
  • $\frac{-\sqrt{12}}{\sqrt{3}} \dots \mathbb{Z}$
  • $\mathbb{N} \dots \mathbb{D}$
  • $\mathbb{Z} \dots \mathbb{Q}$
  • $0 \dots \mathbb{R}^*$
  • $\sqrt{49} \dots \mathbb{N}$
  • $\mathbb{D} \dots \mathbb{R}$
  • $\pi \dots \mathbb{Q}$
  • $\frac{1}{3} \dots \mathbb{D}$

Les opérations dans R

Propriétés des fractions

Proposition
Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ des nombres réels. On a :
  • Somme : $\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$ (où $b \neq 0$ et $d \neq 0$)
  • Produit : $\displaystyle \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$ (où $b \neq 0$ et $d \neq 0$)
  • Inverse : $\displaystyle \frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a}$ (où $a \neq 0$ et $b \neq 0$)
  • Quotient : $\displaystyle \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$ (où $b \neq 0$, $c \neq 0$ et $d \neq 0$)
  • Équivalences :
    \[\begin{aligned}\frac{a}{b} = c &\iff a = b \times c (\text{où } b \neq 0) \\ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} &\iff a \times d = b \times c (\text{où } b \neq 0 \text{ et } d \neq 0)\end{aligned}\]
Exercice
  1. Simplifier l'expression suivante : \[ A = a – (b – c) – (b – c – a) – [(c – a – b) – (a + b + c)] \]
  2. Calculer le nombre suivant : \[ B = \left(\frac{1}{2} – \frac{2}{3} – \frac{3}{4}\right) \times \frac{4}{11} + 3 \times \left(5 – \frac{2}{9}\right) \]
  3. Calculer le nombre suivant : \[ C = \left(\frac{1 + \frac{1}{3}}{1 – \frac{1}{3}}\right) \times \left(\frac{1 + \frac{1}{2}}{1 – \frac{1}{2}}\right) \]
  4. Soient $x$ et $y$ deux nombres réels non nuls tels que $x \neq y$. Montrer que : \[ \frac{-1 + \frac{x}{x-y}}{1 + \frac{y}{x-y}} = \frac{y}{x} \]
  5. Déterminer les valeurs possibles de $x$ pour lesquelles on peut calculer l'expression suivante, puis écrire $A$ sous forme d'une seule fraction : \[ A = \frac{5}{2(x+3)} + \frac{4}{2(1-x)} \]

Puissances et écriture scientifique

Propriétés des puissances

Proposition
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls, et soient $n$ et $p$ deux entiers relatifs. On a :
  • $a^n \times a^p = a^{n+p}$ et $\displaystyle \frac{a^n}{a^p} = a^{n-p}$
  • $(a^n)^p = a^{n \times p}$ et $\displaystyle \frac{1}{a^n} = a^{-n}$
  • $(a \times b)^n = a^n \times b^n$ et $\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

Écriture scientifique

Définition
Soit $x$ un nombre décimal non nul. L'écriture scientifique de $x$ est de la forme : \[ x = a \times 10^n \] où $n \in \mathbb{Z}$ et $1 \le a < 10$ (ou $-10 < a \le -1$ si le nombre est négatif).
Exercice
  1. Simplifier les expressions suivantes : \[ A = 2^{-5} \times 3^{-3} \times 2^{10} \times 3^{-3} \times (-1)^{2017} \] \[ B = \frac{4 \times (10^{-2})^3 \times 10}{10^{-5} \times 16} \]
  2. On considère le nombre suivant : $\displaystyle A = \frac{6^{15} \times 25^7}{3^7 \times 9^4}$. Déterminer les entiers $m$ et $n$ tels que $A = 2^m \times 5^n$.
  3. Écrire les nombres suivants en écriture scientifique : \[ 251,3 ; 0,095 ; 27,31 \times 10^3 ; 150 \times 10^{-3} ; -5248,3 ; 7879,03 \times 10^7 \]

Racines carrées

Propriétés fondamentales

Proposition
Soient $a \in \mathbb{R}^+$ et $b \in \mathbb{R}^+$. On a :
  • $\sqrt{a^2} = (\sqrt{a})^2 = a$
  • $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$
  • $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (où $b \neq 0$)
  • $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a}$ (où $a \neq 0$)
  • $\sqrt{a^n} = (\sqrt{a})^n$
Exercice
  1. Simplifier les expressions suivantes : \[ A = \sqrt{2^2 \times 12^3 \times 3} ; B = \sqrt{4^2 + 3^2} ; C = \sqrt{\frac{2}{5}} \times \sqrt{\frac{10}{16}} ; D = (\sqrt{3} + \sqrt{6})(1 – \sqrt{2}) \]
  2. Soient $a$ et $b$ deux nombres réels positifs. Simplifier le nombre suivant : \[ \sqrt{a}\sqrt{a^3b^2} – \sqrt{b}\sqrt{a^4b} + \sqrt{\sqrt{a^4b^4}} \]
  3. Montrer que : \[ \frac{5\sqrt{7}}{\sqrt{2} – \sqrt{7}} + \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{7}} \in \mathbb{Z} \]

Identités remarquables

Propriétés

Proposition
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels. On a :
  • $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
  • $(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2$
  • $(a – b)(a + b) = a^2 – b^2$
  • $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
  • $(a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3$
  • $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)$
  • $a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)$
Exercice
  1. Développer et réduire les expressions suivantes : \[ (a + 2)(a^2 – 2a + 4) ; (x – 1)(x^2 + x + 1) ; (b + 2)^3 ; (y – 5)^3 \]
  2. Factoriser au maximum les expressions suivantes :
    • $A(x) = x^2 – 9 + (x – 1)(x + 3) – 2(x + 3)^2$
    • $B(x) = 4x^2 – 36x$
    • $C(x) = x^3 – 1000$
    • $D(x) = x^3 – 8 + 4(x^2 – 4) – 3x + 6$
    • $E(x) = x^3 + 1 + 2(x^2 – 1) – (x + 1)$