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Produit scalaire dans le plan

Produit scalaire de deux vecteurs

Définition géométrique et projection orthogonale

Définition
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan et $A$, $B$ et $C$ trois points du plan tels que $\vec{u} = \vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{AC}$. Soit $H$ le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$. Le produit scalaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$, est le nombre réel défini par :
  • Si $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ ont le même sens, alors : \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = AB \times AH \]
  • Si $\vec{AB}$ et $\vec{AH}$ ont des sens contraires, alors : \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = -AB \times AH \]
Si l'un des deux vecteurs est nul, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
Application
Soit $ABCD$ un trapèze isocèle de bases $[AB]$ et $[CD]$ tel que $AB = 6$ et $CD = 5$. Soient $I$ et $J$ les milieux respectifs de $[AB]$ et $[CD]$. Calculer les produits scalaires suivants : \[ \vec{AB} \cdot \vec{AI} ; \vec{BA} \cdot \vec{CD} \]

Expression trigonométrique du produit scalaire

Propriété
Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls, on a : \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v}) \]
Application
Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté $a = 4$. Calculer le produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.

Propriétés algébriques du produit scalaire

Symétrie, linéarité et orthogonalité

Propriété
Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ du plan et pour tout réel $k$, on a :
  • Symétrie : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
  • Linéarité : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} $ et $ (k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})$
  • Carré scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{u} = \vec{u}^2 = \|\vec{u}\|^2$
Propriété
[Condition d'orthogonalité] Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux ($\vec{u} \perp \vec{v}$) si et seulement si leur produit scalaire est nul : \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \]

Identités remarquables scalaires

Propriété
Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ du plan, on a :
  • $(\vec{u} + \vec{v})^2 = \vec{u}^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$
  • $(\vec{u} – \vec{v})^2 = \vec{u}^2 – 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2 = \|\vec{u}\|^2 – 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$
  • $(\vec{u} – \vec{v}) \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \vec{u}^2 – \vec{v}^2 = \|\vec{u}\|^2 – \|\vec{v}\|^2$

Applications du produit scalaire dans le triangle

Théorème d’Al-Kashi (Loi des cosinus)

Propriété
Soit $ABC$ un triangle quelconque. En posant $a = BC$, $b = AC$ et $c = AB$, on a :
  • $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos(\widehat{A})$
  • $b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos(\widehat{B})$
  • $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos(\widehat{C})$
Application
Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 3$, $AC = 5$ et $\widehat{BAC} = 60^{\circ}$. Calculer la distance $BC$.

Théorème de la médiane

Propriété
Soient $A$ et $B$ deux points du plan et $I$ le milieu du segment $[AB]$. Pour tout point $M$ du plan, on a : \[ MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \frac{AB^2}{2} \]
Exercice
Soit $ABCD$ un parallélogramme tel que $AD = 4$, $CD = 6$ et soit $O$ le milieu du segment $[AB]$.
  1. Montrer que pour tout point $M$ du plan, on a : $MA^2 + MB^2 = 2MO^2 + 18$.
  2. En déduire l'ensemble des points $M$ du plan tels que $MA^2 + MB^2 = 24$.

Relations métriques dans un triangle rectangle

Propriété
Soit $ABC$ un triangle, $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $(BC)$ et $I$ le milieu de $[BC]$. Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ si et seulement si l'une des relations métriques suivantes est vérifiée :
  • $BC^2 = AB^2 + AC^2 $ (Théorème de Pythagore)
  • $AB^2 = BH \times BC $ et $ AC^2 = CH \times BC$
  • $AH^2 = HB \times HC$
  • $AI = \frac{1}{2}BC$
Application
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ et $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(BC)$. On donne $AB = 3$ et $AC = 4$. Calculer les longueurs exactes des segments suivants : $BC$, $BH$, $HC$ et $AH$.

Exercice de synthèse

Exercice
Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 3$, $AC = 1$ et $\cos(\widehat{BAC}) = -\frac{1}{3}$.
  1. Vérifier que : $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -1$.
  2. Calculer la distance $BC$.
  3. Soit $I$ le milieu de $[BC]$. Calculer la longueur de la médiane $AI$.