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Projection dans le plan

Projection dans le plan

Projection sur une droite parallèlement à une autre

Définition
Soient $(D)$ et $(\Delta)$ deux droites sécantes du plan. Pour tout point $M$ du plan, il existe un unique point $M'$ tel que : \[ M' \in (D) \text{et} (MM') \parallel (\Delta) \] Le point $M'$ est appelé le projeté de $M$ sur la droite $(D)$ parallèlement à $(\Delta)$. On écrit : \[ p_{(D,\Delta)}(M) = M' \text{ou simplement} p(M) = M' \]
Remarque
  • $(MM') \parallel (\Delta)$ et $M' \in (D)$ équivaut à $p(M) = M'$.
  • Si $A \in (D)$, alors $p(A) = A$ (le projeté de tout point de l'axe de projection est le point lui-même).
  • Si $A \in (\Delta)$, alors $p(A) = O$, où $O$ est le point d'intersection de $(D)$ et $(\Delta)$.
Exercice
Soit $ABC$ un triangle, $E$ un point de $(AC)$, et $F$ un point de $(AB)$ tel que $(BC) \parallel (EF)$. Soit $p$ la projection sur $(AC)$ parallèlement à $(BC)$. On veut déterminer $p(F)$, $p(A)$, $p(B)$, $p(E)$ et $p(C)$. Solution :
  • On a $(EF) \parallel (BC)$ et $E \in (AC)$, donc $p(F) = E$.
  • On a $A \in (AC)$, donc $p(A) = A$.
  • On a $(BC) \parallel (BC)$ et $C \in (AC)$, donc $p(B) = C$.
  • On a $E \in (AC)$, donc $p(E) = E$.
  • On a $C \in (AC)$, donc $p(C) = C$.
Définition
[Projection orthogonale] Si $(D) \perp (\Delta)$ et $p_{(D,\Delta)}(M) = M'$, alors $M'$ est appelé la projection orthogonale du point $M$ sur $(D)$, et on écrit : \[ p_{(D)}(M) = M' \]

Propriétés de la projection

Proposition
  • Conservation du coefficient de colinéarité : Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan et $k$ un nombre réel. Si $\vec{AB} = k\vec{CD}$, alors : \[ \overrightarrow{p(A)p(B)} = k\overrightarrow{p(C)p(D)} \] On dit que la projection conserve le coefficient de colinéarité de deux vecteurs.
  • Conservation du milieu : Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan. Si le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$, alors le point $p(I)$ est le milieu du segment $[p(A)p(B)]$. On dit que la projection conserve le milieu d'un segment.
Exercice
Soit $ABC$ un triangle, $I$ le milieu du segment $[AC]$, et $E$ un point de $(AC)$ tel que : \[ \vec{IE} = \frac{1}{3}\vec{AI} \] Soit $F$ le point défini par $p_{((AB),(IB))}(E) = F$.
  1. Construire une figure convenable.
  2. En utilisant la projection, montrer que : \[ \vec{BF} = \frac{1}{3}\vec{AB} \]
Solution :
  1. [Figure à construire]
  2. Soit $p$ la projection sur $(AB)$ parallèlement à $(IB)$. On a $\vec{IE} = \frac{1}{3}\vec{AI}$. Puisque la projection conserve le coefficient de colinéarité de deux vecteurs, on a : \[ \overrightarrow{p(I)p(E)} = \frac{1}{3}\overrightarrow{p(A)p(I)} \] Or :
    • $p(E) = F$ par définition.
    • $p(A) = A$ car $A \in (AB)$.
    • $p(I) = B$ car $(IB) \parallel (IB)$ et $B \in (AB)$.
    D'où : \[ \vec{BF} = \frac{1}{3}\vec{AB} \]
Remarque
Pour s'entraîner, voir les exercices 1, 2 et 3 de la série d'exercices numéro 3.

Théorème de Thalès

Théorème direct de Thalès

Proposition
[Théorème direct de Thalès] Soient $(D_1)$ et $(D_2)$ deux droites sécantes en un point $A$. Soient $B$ et $M$ deux points de $(D_1)$ distincts de $A$, et $C$ et $N$ deux points de $(D_2)$ distincts de $A$. Si $(BC) \parallel (MN)$, alors : \[ \frac{AB}{AM} = \frac{AC}{AN} = \frac{BC}{MN} \]
Remarque
Le théorème direct de Thalès s'applique principalement pour calculer des longueurs.
Exercice
On considère la figure suivante où le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme. On donne $AB = 8\text{ cm}$, $AD = 4,5\text{ cm}$ et $AE = 1,5\text{ cm}$. Calculer la distance $AM$. Solution : On a $(AM) \parallel (DC)$, donc d'après le théorème direct de Thalès dans le triangle $EDC$ (avec $A \in (ED)$ and $M \in (EC)$) : \[ \frac{ED}{EA} = \frac{DC}{AM} \text{c'est-à-dire} \frac{EA + AD}{EA} = \frac{AB}{AM} \] D'où : \[ AM = \frac{AB \times EA}{EA + AD} = \frac{8 \times 1,5}{1,5 + 4,5} = \frac{12}{6} = 2\text{ cm} \]
Proposition
[Traduction vectorielle du théorème direct] Si les points $A$, $M$ et $B$ sont alignés, les points $A$, $N$ et $C$ sont alignés, et $(BC) \parallel (MN)$, alors : \[ \begin{cases} \vec{AM} = k\vec{AB}
\vec{AN} = k\vec{AC}
\vec{MN} = k\vec{BC} \end{cases} \] où $k$ est le même nombre réel dans les trois égalités vectorielles.

Théorème réciproque de Thalès

Proposition
[Théorème réciproque de Thalès] Soient $(D_1)$ et $(D_2)$ deux droites sécantes en un point $A$. Soient $B$ et $M$ deux points de $(D_1)$ distincts de $A$, et $C$ et $N$ deux points de $(D_2)$ distincts de $A$. Si les points $A$, $M$, $B$ d'une part, et les points $A$, $N$, $C$ d'autre part, sont dans le même ordre, et si : \[ \frac{AB}{AM} = \frac{AC}{AN} \] Alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles : $(BC) \parallel (MN)$.
Remarque
Le théorème réciproque (ou indirect) de Thalès s'applique principalement pour démontrer le parallélisme de deux droites.
Exercice
Dans la figure ci-dessus :
  1. Construire le point $N$ tel que : \[ \vec{DN} = \frac{3}{4}\vec{DC} \]
  2. Montrer que $(EC) \parallel (AN)$.
Solution :
  1. [Figure à construire]
  2. On a les droites $(DE)$ et $(DC)$ sécantes en $D$. Les points $D, A, E$ et les points $D, N, C$ sont dans le même ordre. On a : \[ \frac{DE}{DA} = \frac{4,5 + 1,5}{4,5} = \frac{6}{4,5} = \frac{60}{45} = \frac{4}{3} \] Et : \[ \frac{DC}{DN} = \frac{DC}{\frac{3}{4}DC} = \frac{4}{3} \] Alors : \[ \frac{DE}{DA} = \frac{DC}{DN} \] Par conséquent, d'après le théorème réciproque de Thalès : \[ (EC) \parallel (AN) \]
Proposition
[Traduction vectorielle du théorème réciproque] Si : \[ \begin{cases} \vec{AM} = k\vec{AB}
\vec{AN} = k\vec{AC} \end{cases} \] Alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles : $(BC) \parallel (MN)$.

Théorème direct de Thalès par la projection

Proposition
[Théorème de Thalès par la projection] Soient $(D)$ et $(\Delta)$ deux droites sécantes et $p = p_{(D,\Delta)}$ la projection correspondante. Soient $A$ et $B$ deux points distincts d'une droite $(L)$ non parallèle à $(\Delta)$. Si $C$ est un point de $(L)$ tel que $p(A) = A'$, $p(B) = B'$ et $p(C) = C'$, alors : \[ \frac{AC}{AB} = \frac{A'C'}{A'B'} \]