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Droite dans le plan

Repère du plan — Coordonnées

Repère du plan

Définition
Trois points $O$, $I$ et $J$ distincts et non alignés définissent un repère $(O; I, J)$.
  • Le point $O$ est appelé l'origine du repère.
  • La droite $(OI)$ est appelée axe des abscisses.
  • La droite $(OJ)$ est appelée axe des ordonnées.
Si on pose $\vec{i} = \vec{OI}$ et $\vec{j} = \vec{OJ}$, alors ce repère se note également $(O; \vec{i}, \vec{j})$. Le couple $(\vec{i}, \vec{j})$ est appelé une base du plan.
Remarque
On distingue trois types de repères :
  • Repère quelconque : Les droites $(OI)$ et $(OJ)$ ne sont pas nécessairement perpendiculaires, et les longueurs $OI$ et $OJ$ ne sont pas nécessairement égales.
  • Repère orthogonal : Les droites $(OI)$ et $(OJ)$ sont perpendiculaires : $(OI) \perp (OJ)$.
  • Repère orthonormé : Les droites $(OI)$ et $(OJ)$ sont perpendiculaires et les longueurs sont égales : $(OI) \perp (OJ)$ et $OI = OJ$.

Coordonnées d’un point et d’un vecteur

Propriété
Soit $(O; \vec{i}, \vec{j})$ un repère du plan.
  • Pour tout point $M$ du plan, il existe un unique couple $(x; y)$ de nombres réels tels que : \[ \vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} \] Le couple $(x; y)$ est appelé coordonnées du point $M$ et on note $M(x; y)$.
  • Pour tout vecteur $\vec{u}$ du plan, il existe un unique couple $(x; y)$ de nombres réels tels que : \[ \vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} \] Le couple $(x; y)$ est appelé \textbf{coordonnées du vecteur $\vec{u}$} et on note $\vec{u}(x, y)$ ou $\vec{u}\begin{pmatrix} x
    y \end{pmatrix}$.
Application
Soit $ABCD$ un parallélogramme de centre $O$. Donner les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $O$ et $D$ dans le repère $(A; \vec{AB}, \vec{AD})$.
Propriété
Soient $A$ et $B$ deux points de coordonnées $(x_A, y_A)$ et $(x_B, y_B)$ dans un repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$.
  • Le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées : \[ \vec{AB}(x_B – x_A, y_B – y_A) \]
  • Le milieu du segment $[AB]$ a pour coordonnées : \[ \left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right) \]
  • Si le repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$ est orthonormé, alors la distance $AB$ est égale à : \[ AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2} \]
Application
Soient $A(4, 4)$, $B(2, 2)$ et $C(5, -1)$ trois points du plan. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
Exercice
[Exercice 1 de la série] On considère les points $A(0,2)$, $B(1,-2)$ et $C(1,1)$ du plan rapporté au repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
  1. Donner les coordonnées des vecteurs : $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et $\vec{BC}$.
  2. Écrire les vecteurs $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ et $\vec{BC}$ dans la base $(\vec{i}, \vec{j})$.
  3. Donner les coordonnées des vecteurs : $\vec{u} = 3\vec{AB}$ et $\vec{v} = \vec{AC} – 2\vec{BC} + 3\vec{AB}$.
  4. Donner les coordonnées du point $I$, milieu du segment $[AC]$.

Condition analytique de colinéarité de deux vecteurs

Définition
Soient $\vec{u}(a, b)$ et $\vec{v}(a', b')$ deux vecteurs du plan. Le nombre $ab' – a'b$ est appelé le déterminant des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans cet ordre. On le note $\det(\vec{u}, \vec{v})$ ou $\begin{vmatrix} a & a'
b & b' \end{vmatrix}$, et on écrit : \[ \begin{vmatrix} a & a'
b & b' \end{vmatrix} = ab' – a'b \]
Exemple
Calculer les déterminants suivants : \[ \begin{vmatrix} 1 & 6
-2 & -3 \end{vmatrix} \text{et} \begin{vmatrix} -2\sqrt{6} & 4\sqrt{3}
3 & -3\sqrt{2} \end{vmatrix} \]
Propriété
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$.
Application
[Exercice 2 de la série] Soit $m$ un paramètre réel.
  1. On considère les vecteurs : $\vec{u_1} = -\vec{i} + 2\vec{j}$, $\vec{u_2} = -4\vec{i} + \vec{j}$ et $\vec{u_3} = (2m – 3)\vec{i} + 2\vec{j}$.
    1. Étudier la colinéarité de $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$.
    2. Déterminer la valeur de $m$ pour que $\vec{u_1}$ et $\vec{u_3}$ soient colinéaires.
  2. On considère les points $A(2, 3)$, $B(3, 5)$ et $C(m – 1, 3m – 2)$. Déterminer la valeur de $m$ pour que le point $C$ appartienne à la droite $(AB)$.

Équation cartésienne d’une droite

Définition
Dans un repère quelconque du plan, toute droite $(D)$ a une équation appelée équation cartésienne qui s'écrit sous la forme : \[ ax + by + c = 0 \] où $a$, $b$ et $c$ sont trois réels donnés avec $(a, b) \neq (0, 0)$.
Remarque
Soit $(D)$ la droite du plan d'équation cartésienne $ax + by + c = 0$. Les vecteurs $\vec{u}(-b, a)$ et $\vec{u'}(b, -a)$ sont des vecteurs directeurs de la droite $(D)$. On note souvent la droite passant par un point $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ par $\mathcal{D}(A, \vec{u})$.
Application
Compléter le tableau suivant :
  • Si $(D) : 2x + 5y – 4 = 0$, alors un vecteur directeur est $\vec{u}(\dots ; \dots)$
  • Si $(D) : y + 3x – 2 = 0$, alors un vecteur directeur est $\vec{u}(\dots ; \dots)$
  • Si $\vec{u}(3; 5)$ est un vecteur directeur de $(D)$, alors son équation est de la forme $\dots\dots$
  • Si $(D) : x + 4 = 0$, alors un vecteur directeur est $\vec{u}(\dots ; \dots)$
Application
  1. Donner l'équation cartésienne de la droite $(D) = \mathcal{D}(A, \vec{u})$ avec $A(1, 3)$ et $\vec{u}(2, 2)$.
  2. Donner l'équation cartésienne de la droite $(BC)$ avec $B(-2, 3)$ et $C(0, -4)$.

Représentation paramétrique d’une droite

Définition
Soit $(D)$ une droite passant par le point $A(x_A, y_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(\alpha, \beta)$. Le système suivant : \[ \begin{cases} x = x_A + \alpha t
y = y_A + \beta t \end{cases} (t \in \mathbb{R}) \] est appelé une représentation paramétrique de la droite $(D)$.
Application
  1. Donner une représentation paramétrique de la droite $(MN)$ avec $M(-1, 4)$ et $N(5, 4)$.
  2. Donner l'équation cartésienne de la droite $(D)$ définie par la représentation paramétrique suivante : \[ \begin{cases} x = 5 + 2t
    y = 4 – t \end{cases} (t \in \mathbb{R}) \]

Position relative de deux droites

Propriété
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs directeurs respectivement de deux droites $(D)$ et $(\Delta)$.
  • $(D)$ et $(\Delta)$ sont parallèles ($(D) \parallel (\Delta)$) si et seulement si $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$.
  • $(D)$ et $(\Delta)$ sont sécantes si et seulement si $\det(\vec{u}, \vec{v}) \neq 0$.
Application
Étudier la position relative de $(D)$ et $(\Delta)$ en déterminant leur point d'intersection si elles sont sécantes, dans les cas suivants :
  • Cas 1 : $(D) : x + 2y – 3 = 0$ et $(\Delta) : 2x + y – 6 = 0$.
  • Cas 2 : $(D) : x + y – 5 = 0$ et $(\Delta) : \begin{cases} x = 1 + t
    y = -2 + 2t \end{cases} \; (t \in \mathbb{R})$.