Équations et inéquations du second degré
Le trinôme du second degré et discriminant
On appelle trinôme du second degré toute expression de la forme :
\[ P(x) = ax^2 + bx + c \]
où $a$, $b$ et $c$ sont des réels donnés avec $a \neq 0$.
Le nombre réel noté $\Delta$ (Delta) défini par :
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
est appelé le discriminant du trinôme $P(x)$.
Résolution d’une équation du second degré
Pour résoudre l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$), on calcule son discriminant $\Delta$ :
- Si $\Delta < 0$ : L'équation n'admet aucune solution réelle. L'ensemble des solutions est : \[ S = \emptyset \]
- Si $\Delta = 0$ : L'équation admet une unique solution réelle (appelée racine double) : \[ x_0 = -\frac{b}{2a} \implies S = \left\{ -\frac{b}{2a} \right\} \]
- Si $\Delta > 0$ : L'équation admet deux solutions réelles distinctes : \[ x_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} \text{et} x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \implies S = \{x_1; x_2\} \]
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
- $2x^2 – 5x + 3 = 0$
- $x^2 – 4x + 4 = 0$
- $x^2 + x + 3 = 0$
Factorisation du trinôme
Soit $P(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$.
- Si $\Delta < 0$ : Le trinôme $P(x)$ ne peut pas se factoriser sous forme de produit de facteurs de premier degré dans $\mathbb{R}$.
- Si $\Delta = 0$ : Le trinôme se factorise sous la forme : \[ P(x) = a(x – x_0)^2 = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 \]
- Si $\Delta > 0$ : Le trinôme se factorise sous la forme : \[ P(x) = a(x – x_1)(x – x_2) \]
Si $\Delta > 0$, la somme $S$ et le produit $P$ des deux racines $x_1$ et $x_2$ vérifient les relations suivantes :
\[ S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \text{et} P = x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} \]
Signe du trinôme du second degré
Le signe du trinôme $P(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) dépend du signe de son discriminant $\Delta$ :
- Si $\Delta < 0$ : $P(x)$ est toujours du signe de $a$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
- Si $\Delta = 0$ : $P(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x \neq x_0$, et s'annule en $x_0$.
- Si $\Delta > 0$ : $P(x)$ est du signe de $a$ à l'extérieur des racines ($x < x_1$ ou $x > x_2$) et du signe contraire de $a$ entre les racines ($x_1 < x < x_2$).
Le tableau de signe pour le cas $\Delta > 0$ (en supposant $x_1 < x_2$) se présente ainsi :
\[
\begin{array}{c|ccccccc}
x & -\infty & & x_1 & & x_2 & & +\infty
\hline ax^2+bx+c & & \text{Signe de } a & 0 & \text{Signe de } -a & 0 & \text{Signe de } a &
\end{array} \]
\hline ax^2+bx+c & & \text{Signe de } a & 0 & \text{Signe de } -a & 0 & \text{Signe de } a &
\end{array} \]
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
- $2x^2 – 5x + 3 \ge 0$
- $-x^2 + 3x – 5 > 0$
Équations et inéquations s’y ramenant
Équations bicarrées
On appelle équation bicarrée toute équation de la forme :
\[ ax^4 + bx^2 + c = 0 (\text{avec } a \neq 0) \]
Pour la résoudre, on effectue un changement de variable en posant $X = x^2$ (avec $X \ge 0$), ce qui ramène à l'équation du second degré $aX^2 + bX + c = 0$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante :
\[ x^4 – 3x^2 – 4 = 0 \]
Équations irrationnelles
Pour résoudre une équation contenant des expressions sous une racine carrée, il faut obligatoirement :
- Déterminer l'ensemble de définition (les expressions sous la racine doivent être positives ou nulles).
- Utiliser la propriété : $\sqrt{A} = B \iff \begin{cases} B \ge 0
A = B^2 \end{cases}$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante :
\[ \sqrt{x+1} = x – 5 \]
Systèmes d’équations linéaires
Systèmes de deux équations à deux inconnues
Un système de deux équations linéaires à deux inconnues $x$ et $y$ est de la forme :
\[ (S) : \begin{cases} ax + by = c
a'x + b'y = c' \end{cases} \] Le déterminant de ce système est le nombre réel : \[ \det(S) = \begin{vmatrix} a & b
a' & b' \end{vmatrix} = ab' – a'b \]
a'x + b'y = c' \end{cases} \] Le déterminant de ce système est le nombre réel : \[ \det(S) = \begin{vmatrix} a & b
a' & b' \end{vmatrix} = ab' – a'b \]
- Si $\det(S) \neq 0$ : Le système admet un unique couple solution $(x, y)$ calculé par les formules de Cramer :
\[ x = \frac{\begin{vmatrix} c & b
c' & b' \end{vmatrix}}{\det(S)} = \frac{cb' – c'b}{\det(S)} \text{et} y = \frac{\begin{vmatrix} a & c
a' & c' \end{vmatrix}}{\det(S)} = \frac{ac' – a'c}{\det(S)} \] - Si $\det(S) = 0$ : Le système soit n'admet aucune solution ($S = \emptyset$), soit admet une infinité de solutions.
Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ les systèmes suivants en utilisant la méthode de votre choix (substitution, combinaison linéaire ou déterminant) :
- $\begin{cases} 2x + 3y = 5
x – 2y = -1 \end{cases}$ - $\begin{cases} 3x – y = 2
-6x + 2y = -4 \end{cases}$