À la fin de cette première version du chapitre Exponentielle et logarithme, l'élève de Terminale doit être capable de :
- manipuler les fonctions exponentielle et logarithme, résoudre des équations et étudier des évolutions continues
- identifier les données, les notations et les conditions propres au chapitre Exponentielle et logarithme
- rédiger une solution structurée et vérifier la cohérence du résultat obtenu
- Situer le chapitre Exponentielle et logarithme et vérifier les prérequis.
- Comprendre les définitions et les résultats indispensables.
- Appliquer une méthode explicite à une situation standard.
- Étudier un exemple corrigé en contrôlant chaque étape.
- S'entraîner puis comparer sa démarche aux réponses courtes.
I.EXPONENTIELLE ET LOGARITHME
Cette page constitue un socle de travail consacré au chapitre Exponentielle et logarithme pour le parcours Terminale. Elle présente les notions qui permettent de commencer les exercices sans remplacer le cours détaillé, les activités de classe ni la correction argumentée par un enseignant.
Prérequis utiles : puissances, dérivation, équations et variations. Avant de poursuivre, l'élève doit vérifier qu'il sait reconnaître les données, employer les notations du chapitre et effectuer les calculs élémentaires associés.
La lecture conseillée est progressive : comprendre d'abord les objets mathématiques, repérer ensuite les conditions des propriétés, reproduire l'exemple sans regarder la solution, puis traiter les questions de vérification. Une formule ne doit jamais être appliquée sans contrôler ses hypothèses.
1.Définition et vocabulaire
Le chapitre « Exponentielle et logarithme » rassemble les objets et les méthodes nécessaires pour manipuler les fonctions exponentielle et logarithme, résoudre des équations et étudier des évolutions continues. Un premier repère essentiel est le suivant : Pour tous réels x et y, exp(x+y)=exp(x)exp(y) et exp(x)>0.
Il faut connaître le sens de chaque symbole et préciser l'ensemble dans lequel on travaille. Cette précaution évite les erreurs de domaine, de signe ou d'indice et permet de rédiger une réponse compréhensible.
2.Résultats essentiels
Les résultats suivants forment le noyau minimal à maîtriser. Pour chacun, l'élève doit identifier les conditions d'utilisation avant de commencer les calculs :
- Pour tous réels x et y, exp(x+y)=exp(x)exp(y) et exp(x)>0.
- La dérivée de exp(x) est exp(x), et exp est strictement croissante sur R.
- Le logarithme ln est défini sur ]0,+infini[ et constitue la fonction réciproque de l'exponentielle.
- Pour a>0 et b>0, ln(ab)=ln(a)+ln(b) et ln(a/b)=ln(a)-ln(b).
- La dérivée de ln(x) est 1/x sur ]0,+infini[.
- L'équation exp(x)=a avec a>0 équivaut à x=ln(a); toute prise de logarithme exige des quantités strictement positives.
3.Méthode de résolution
Pour traiter une question standard sur ce chapitre, on peut suivre la démarche suivante :
- reformuler la question afin de déterminer s'il faut manipuler les fonctions exponentielle et logarithme, résoudre des équations et étudier des évolutions continues
- relever les données et contrôler les prérequis utiles : puissances, dérivation, équations et variations
- choisir la propriété adaptée, notamment parmi les repères suivants : Pour tous réels x et y, exp(x+y)=exp(x)exp(y) et exp(x)>0. La dérivée de exp(x) est exp(x), et exp est strictement croissante sur R.
- effectuer le calcul étape par étape, vérifier les conditions, puis interpréter le résultat dans le contexte demandé
4.Exemple corrigé
Énoncé. Résoudre exp(2x-1)=5.
Solution. Les deux membres sont positifs, donc on peut appliquer ln. On obtient 2x-1=ln(5). Ainsi 2x=1+ln(5).
Conclusion. La solution est x=(1+ln(5))/2.
Pour réutiliser cette démarche, changer les données de l'énoncé et recommencer sans recopier mécaniquement les calculs. La structure du raisonnement reste utile, mais les conditions et le résultat doivent être recalculés.
Dans le parcours Terminale, ce chapitre peut être mobilisé de la manière suivante : En Terminale, l'exponentielle modélise une évolution dont la vitesse est proportionnelle à la quantité présente; le logarithme permet de retrouver une durée ou un taux.
L'objectif de cette application est de relier la technique mathématique à une situation lisible, sans confondre le modèle et la réalité. Il faut annoncer les variables, expliquer les hypothèses retenues et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
II.S’ENTRAÎNER ET VÉRIFIER
Traiter les trois questions suivantes sur une feuille. Pour chacune, écrire la propriété ou la définition utilisée, détailler le calcul principal et terminer par une conclusion :
- 1. Que vaut ln(exp(3)) ?
- 2. Quel est le domaine de ln(x-2) ?
- 3. Quelle est la dérivée de exp(4x) ?
Réponses courtes.
- 1. 3.
- 2. x>2.
- 3. 4 exp(4x).