À la fin de cette première version du chapitre Fonctions logarithmiques, l'élève de 2ème Bac Sciences et Technologies Mécaniques doit être capable de :
- Manipuler ln, résoudre équations et inéquations logarithmiques et étudier une fonction qui contient un logarithme
- identifier les données, les notations et les conditions propres au chapitre Fonctions logarithmiques
- rédiger une solution structurée et vérifier la cohérence du résultat obtenu
- Situer le chapitre Fonctions logarithmiques et vérifier les prérequis.
- Comprendre les définitions et les résultats indispensables.
- Appliquer une méthode explicite à une situation standard.
- Étudier un exemple corrigé en contrôlant chaque étape.
- S'entraîner puis comparer sa démarche aux réponses courtes.
I.FONCTIONS LOGARITHMIQUES
Cette page constitue un socle de travail consacré au chapitre Fonctions logarithmiques pour le parcours 2ème Bac Sciences et Technologies Mécaniques. Elle présente les notions qui permettent de commencer les exercices sans remplacer le cours détaillé, les activités de classe ni la correction argumentée par un enseignant.
Prérequis utiles : Exponentielle, Dérivation, Inéquations et domaine de définition. Avant de poursuivre, l'élève doit vérifier qu'il sait reconnaître les données, employer les notations du chapitre et effectuer les calculs élémentaires associés.
La lecture conseillée est progressive : comprendre d'abord les objets mathématiques, repérer ensuite les conditions des propriétés, reproduire l'exemple sans regarder la solution, puis traiter les questions de vérification. Une formule ne doit jamais être appliquée sans contrôler ses hypothèses.
1.Définition et vocabulaire
Le chapitre « Fonctions logarithmiques » rassemble les objets et les méthodes nécessaires pour manipuler ln, résoudre équations et inéquations logarithmiques et étudier une fonction qui contient un logarithme. Un premier repère essentiel est le suivant : ln x est défini seulement pour x>0.
Il faut connaître le sens de chaque symbole et préciser l'ensemble dans lequel on travaille. Cette précaution évite les erreurs de domaine, de signe ou d'indice et permet de rédiger une réponse compréhensible.
2.Résultats essentiels
Les résultats suivants forment le noyau minimal à maîtriser. Pour chacun, l'élève doit identifier les conditions d'utilisation avant de commencer les calculs :
- ln x est défini seulement pour x>0.
- ln(ab)=ln a+ln b et ln(a/b)=ln a-ln b pour a,b>0.
- ln(a^r)=r ln a lorsque a>0.
- ln est strictement croissante et ln 1=0.
- (ln u)'=u'/u lorsque u>0.
- ln x tend vers -∞ quand x tend vers 0 par valeurs positives et vers +∞ quand x tend vers +∞.
3.Méthode de résolution
Pour traiter une question standard sur ce chapitre, on peut suivre la démarche suivante :
- reformuler la question afin de déterminer s'il faut manipuler ln, résoudre équations et inéquations logarithmiques et étudier une fonction qui contient un logarithme
- relever les données et contrôler les prérequis utiles : Exponentielle, Dérivation, Inéquations et domaine de définition
- choisir la propriété adaptée, notamment parmi les repères suivants : ln x est défini seulement pour x>0. ln(ab)=ln a+ln b et ln(a/b)=ln a-ln b pour a,b>0.
- effectuer le calcul étape par étape, vérifier les conditions, puis interpréter le résultat dans le contexte demandé
4.Exemple corrigé
Énoncé. Résoudre ln(x-1)=ln 4.
Solution. Le domaine impose x>1. L'injectivité de ln donne x-1=4.
Conclusion. x=5, qui respecte le domaine.
Pour réutiliser cette démarche, changer les données de l'énoncé et recommencer sans recopier mécaniquement les calculs. La structure du raisonnement reste utile, mais les conditions et le résultat doivent être recalculés.
Dans le parcours 2ème Bac Sciences et Technologies Mécaniques, ce chapitre peut être mobilisé de la manière suivante : Extraire une durée dans un modèle de décroissance d'amplitude et vérifier au préalable la positivité du rapport.
L'objectif de cette application est de relier la technique mathématique à une situation lisible, sans confondre le modèle et la réalité. Il faut annoncer les variables, expliquer les hypothèses retenues et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
II.S’ENTRAÎNER ET VÉRIFIER
Traiter les trois questions suivantes sur une feuille. Pour chacune, écrire la propriété ou la définition utilisée, détailler le calcul principal et terminer par une conclusion :
- 1. Quel est ln(e³)?
- 2. ln(a+b) vaut-il ln a+ln b?
- 3. Quel domaine pour ln(2x-6)?
Réponses courtes.
- 1. 3.
- 2. Non; cette propriété concerne un produit.
- 3. x>3.