Fonction exponentielle
La fonction exponentielle est l'unique fonction définie sur $\mathbb{R}$ et vérifiant les conditions :
- $f' = f$ (la fonction est égale à sa propre dérivée)
- $f(0) = 1$
Relation fonctionnelle caractéristique de la fonction exponentielle
Pour tous nombres réels $a$ et $b$ :
\[\exp(a+b) = \exp(a) \times \exp(b)\]
- $\exp(3+x) = \exp(3)\exp(x)$
- $\exp(9+7) = \exp(9)\exp(7)$
Propriétés algébriques
Pour tous réels $x$ et $y$ :
- $\exp(-x) = \frac{1}{\exp(x)}$
- $\exp(x-y) = \frac{\exp(x)}{\exp(y)}$
- Pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $(\exp(x))^n = \exp(nx)$
Nouvelle notation
Afin d'alléger les notations, on notera désormais :
\[\exp(1) = e \approx 2,718 \text{et} \exp(x) = e^x\]
Signe de la fonction exponentielle
Pour tout réel $x$, $e^x > 0$.
Nous venons de voir que $e^x = \left(e^{\frac{x}{2}}\right)^2$. On en déduit alors la relation avec la racine carrée :
\[\sqrt{e^x} = e^{\frac{x}{2}}\]
Sens de variation
La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Limites
\[\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \text{et} \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty\]
Croissances comparées
- $\lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} = 1$
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$
- $\lim_{x \to -\infty} x e^x = 0$
Équations et inéquations
Pour tous nombres réels $x$ et $y$ :
\[e^x = e^y \iff x = y\]
\[e^x < e^y \iff x < y\]
- \textbf{Résoudre l'équation : $e^{x^2} – e^{2x-1} = 0$}
\[\begin{aligned}e^{x^2} – e^{2x-1} = 0 &\iff e^{x^2} = e^{2x-1} \\ &\iff x^2 = 2x – 1 \\ &\iff x^2 – 2x + 1 = 0 \\ &\iff (x – 1)^2 = 0 \\ &\iff x = 1\end{aligned}\]L'équation admits donc une unique solution réelle : $S = \{1\}$.
- \textbf{Résoudre l'inéquation : $e^{2x} \ge \frac{e}{e^x}$}
\[\begin{aligned}e^{2x} \ge \frac{e}{e^x} &\iff e^{2x} \times e^x \ge e \text{(car } e^x > 0 \text{)} \\ &\iff e^{3x} \ge e^1 \text{car } e = e^1 \\ &\iff 3x \ge 1 \\ &\iff x \ge \frac{1}{3}\end{aligned}\]L'inéquation admet donc comme ensemble solution l'intervalle : $S = \left[\frac{1}{3} ; +\infty\right[$.
Dérivée de $e^u$
Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
La dérivée de la fonction composée $e^u$ est donnée par :
La dérivée de la fonction composée $e^u$ est donnée par :
\[(e^u)' = u' e^u\]
On pose la fonction : $f(x) = e^{-x^2}$. On reconnaît bien la forme $f(x) = e^{u(x)}$ avec la sous-fonction $u(x) = -x^2$.
La dérivée de cette sous-fonction vaut $u'(x) = -2x$, on a donc directement :
La dérivée de cette sous-fonction vaut $u'(x) = -2x$, on a donc directement :
\[f'(x) = -2xe^{-x^2}\]
Variation de $e^u$
Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
La fonction composée $e^u$ admet les exactes mêmes variations que la fonction $u$ sur cet intervalle.
La fonction composée $e^u$ admet les exactes mêmes variations que la fonction $u$ sur cet intervalle.