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Nombres complexes (Partie 1)

Approche algébrique et fondation de l’ensemble $\mathbb{C}$

Introduction et motivation

Définition et Théorème fondamental

Définition
Il existe un ensemble de nombres appelé ensemble des nombres complexes, noté $\mathbb{C}$, qui possède les propriétés suivantes :
  1. $\mathbb{C}$ contient l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels.
  2. Les opérations d'addition et de multiplication dans $\mathbb{C}$ prolongent celles de $\mathbb{R}$ et conservent les mêmes propriétés commutatives, associatives et distributives.
  3. Il existe un élément de $\mathbb{C}$ noté $i$ tel que : $i^2 = -1$.
  4. Tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique sous sa forme algébrique : \[ z = x + iy \text{où } (x, y) \in \mathbb{R}^2 \]
Propriété
Soit $z = x + iy$ un nombre complexe écrit sous forme algébrique.
  • $x$ est appelé la partie réelle de $z$, notée $\text{Re}(z)$.
  • $y$ est appelé la partie imaginaire de $z$, notée $\text{Im}(z)$.
  • Si $y = 0$, $z$ est un nombre réel ($z \in \mathbb{R}$).
  • Si $x = 0$ et $y \neq 0$, $z$ est appelé un imaginaire pur, et on note $z \in i\mathbb{R}$.

Égalité de deux nombres complexes

Propriété
Soient $z = x + iy$ et $z' = x' + iy'$ deux nombres complexes sous forme algébrique : \[ z = z' \iff \begin{cases} \text{Re}(z) = \text{Re}(z')
\text{Im}(z) = \text{Im}(z') \end{cases} \iff \begin{cases} x = x'
y = y' \end{cases} \] En particulier : $x + iy = 0 \iff x = 0 \text{ et } y = 0$.

Interprétation géométrique des nombres complexes

Définition
À tout nombre complexe $z = x + iy$, on associe le point unique $M(x, y)$ du plan.
  • Le point $M(x, y)$ est appelé l'image de $z$, noté $M(z)$.
  • Le nombre complexe $z$ est appelé l'affixe du point $M$, noté $z_M$.
  • Le vecteur $\vec{w}(x, y)$ est l'image vectorielle de $z$, et $z$ est l'affixe de $\vec{w}$, noté $z_{\vec{w}}$.
Propriété
Pour tous points $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$ :
  • L'affixe du vecteur $\vec{AB}$ est : $z_{\vec{AB}} = z_B – z_A$.
  • L'affixe du milieu $I$ du segment $[AB]$ est : $z_I = \dfrac{z_A + z_B}{2}$.

Opérations fondamentales : Conjugué et Module

Le Conjugué d’un nombre complexe

Définition
Soit $z = x + iy$ la forme algébrique d'un nombre complexe. On appelle conjugué de $z$, noté $\bar{z}$, le nombre complexe défini par : \[ \bar{z} = x – iy \]
Propriété
Pour tous complexes $z$ et $z'$ :
  • $\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z}'$ ; $\overline{z \cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z}'$ ; $\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)} = \dfrac{\bar{z}}{\bar{z}'}$ ($z' \neq 0$).
  • $z + \bar{z} = 2\text{Re}(z) = 2x$ ; $z – \bar{z} = 2i\text{Im}(z) = 2iy$.
  • $z \cdot \bar{z} = x^2 + y^2 \in \mathbb{R}^+$.
  • $z \in \mathbb{R} \iff \bar{z} = z$ ; $z \in i\mathbb{R} \iff \bar{z} = -z$.

Le Module d’un nombre complexe

Définition
Le module d'un nombre complexe $z = x + iy$, noté $|z|$, est le réel positif défini par : \[ |z| = \sqrt{z \cdot \bar{z}} = \sqrt{x^2 + y^2} \] Géométriquement, si $M$ est l'image de $z$, alors $|z| = OM$. Pour deux points $A$ et $B$, $AB = |z_B – z_A|$.
Propriété
  • $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$ ; $\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}$ ($z' \neq 0$).
  • $|z^n| = |z|^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
  • Inégalité triangulaire : $|z + z'| \le |z| + |z'|$.

Forme trigonométrique et Argument d’un complexe

Argument d’un nombre complexe non nul

Définition
Soit $z$ un nombre complexe non nul d'image $M$. On appelle argument de $z$, noté $\arg(z)$, toute mesure en radians de l'angle orienté $(\vec{u}, \vec{OM})$. On écrit : \[ \arg(z) \equiv \theta \pmod{2\pi} \]

Forme trigonométrique

Théorème
Tout nombre complexe non nul $z$ peut s'écrire sous la forme : \[ z = r\big(\cos(\theta) + i\sin(\theta)\big) \] où $r = |z|$ est le module de $z$, et $\theta \equiv \arg(z) \pmod{2\pi}$. Cette écriture est appelée forme trigonométrique de $z$, parfois notée $[r, \theta]$.
Propriété
Si $z = [r, \theta]$ et $z' = [r', \theta']$, alors : \[ z \cdot z' = [r \cdot r', \theta + \theta'] \text{et} \dfrac{z}{z'} = \left[\dfrac{r}{r'}, \theta – \theta'\right] \]

Exercice de synthèse et d’application (Cocyclité)

Exercice
Dans le plan complexe, on considère l'origine $O$ et les trois points $E$, $F$ et $H$ d'affixes respectives : \[ z_O = 0 , z_E = 1 + i , z_F = 1 – i , z_H = 2 \] Montrer que les points $O$, $E$, $F$ et $H$ sont cocycliques (appartiennent à un même cercle).