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Structures algébriques

I.GROUPE

1.DÉFINITION D’UN GROUPE

Définition

Définition 1

Soit $G$ un ensemble muni d'une loi de composition interne (notée $*$). On dit que $(G;*)$ est un groupe lorsque :
  1. La loi $*$ est associative,
  2. $(G;*)$ possède un élément neutre,
  3. Tout élément de $G$ possède un symétrique dans $G$ pour la loi $*$.
Si de plus la loi $*$ est commutative, on dit que $(G;*)$ est un groupe commutatif (ou groupe abélien).
Exemple

Exemples

  1. $(\mathbb{Z};+)$, $(\mathbb{Q};+)$, $(\mathbb{R};+)$ et $(\mathbb{C};+)$ sont des groupes commutatifs, mais $(\mathbb{N};+)$ n'est pas un groupe car aucun entier $n \ge 1$ n'est symétrisable.
  2. $(\mathbb{Q}^*;\times)$, $(\mathbb{R}^*;\times)$ et $(\mathbb{C}^*;\times)$ sont des groupes commutatifs, mais $(\mathbb{Z}^*;\times)$ n'en est pas un car aucun élément (excepté $1$ et $-1$) n'est symétrisable.
  3. $(\mathbb{Q}^*_+;\times)$ et $(\mathbb{R}^*_+;\times)$ sont des groupes commutatifs.
  4. $(\mathcal{V}_2;+)$ et $(\mathcal{V}_3;+)$ sont des groupes commutatifs.
  5. $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R});+)$ et $(\mathcal{M}_3(\mathbb{R});+)$ sont des groupes commutatifs, mais $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R});\times)$ n'est pas un groupe car les matrices $O = \begin{pmatrix} 0 & 0
    0 & 0 \end{pmatrix}$ et $A = \begin{pmatrix} 1 & 1
    0 & 0 \end{pmatrix}$, par exemple, ne sont pas inversibles dans $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R});\times)$.
  6. $(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z};+)$ et $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z};\times)$ sont des groupes commutatifs, mais $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z};\times)$ n'en est pas un car $\overline{2}$ n'est pas symétrisable dans $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z};\times)$.
  7. La composée de deux rotations de même centre $\Omega$ et d'angles $\theta$ et $\theta'$ est une rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta + \theta'$. Ces deux rotations commutent, c'est-à-dire que :
    \[R(\Omega;\theta) \circ R(\Omega;\theta') = R(\Omega;\theta') \circ R(\Omega;\theta)\]
    L'ensemble des rotations de centre $\Omega$, muni de la loi de composition est donc un groupe commutatif.
  8. Soit $n \in \mathbb{N}^* – \{1\}$. En munissant $\mathbb{R}^n$ de l'addition terme à terme définie par : Pour tous $(x_1;\dots;x_n)$ et $(y_1;\dots;y_n)$ de $\mathbb{R}^n$ : $(x_1;\dots;x_n) + (y_1;\dots;y_n) = (x_1+y_1;\dots;x_n+y_n)$ On obtient un groupe commutatif. L'élément neutre est $(0;\dots;0)$ et l'opposé de $(x_1;\dots;x_n)$ est $(-x_1;\dots;-x_n)$. L'associativité et la commutativité sont immédiates.
Remarque

Remarques

  • Lorsqu'on travaille de manière abstraite dans un groupe non connu, il est fréquent d'emprunter les notations d'un groupe usuel, par exemple $(\mathbb{R};+)$ ou $(\mathbb{R}^*;\times)$. Deux types de notations seront ainsi fréquemment utilisées : La notation additive et la notation multiplicative. \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline Loi & \begin{tabular}{c}Composé de
    deux éléments\end{tabular} & Neutre & \begin{tabular}{c}Symétrique d'un
    élément $x$\end{tabular} & \begin{tabular}{c}Composé de $x$ et d'un
    symétrique\end{tabular}
    \hline $+$ & $x+y$ & $0$ & $-x$ & $x-y$
    \hline $\times$ ou $\cdot$ & $xy$ & $1$ & $x^{-1}$ & $xy^{-1}$
    \hline \end{tabular} De la même façon, si $x \in G$ et si $n \in \mathbb{N}^*$, on notera :
    • $nx = \underbrace{x+x+\dots+x}_{n \text{ fois}}$ si la notation est additive.
    • $x^n = \underbrace{x \cdot x \dots x}_{n \text{ fois}}$ si la notation est multiplicative.
  • Par abus de langage et lorsqu'il n'y a aucune ambiguïté, on dit souvent « soit $G$ un groupe\dots » sans préciser la loi.
Application

Applications

  1. On considère l'ensemble : $\mathbb{U} = \{z \in \mathbb{C} / |z| = 1\}$ Montrer que $(\mathbb{U};\times)$ est un groupe commutatif.
  2. Soit $(G;*)$ un groupe d'élément neutre $e$ tel que pour tout $x \in G$ : $x * x * x = e$. Montrer que pour tout $(x;y) \in G^2$ : $x * y * x * y = y * y * x * x$ et $x * y * y * x = y * x * x * y$.
  3. On munit $\mathbb{R}^2$ d'une loi de composition interne $T$ comme suit : Pour tous $(a;b)$ et $(x;y)$ de $\mathbb{R}^2$ : $(x;y) T (a;b) = (x+a; ye^x + be^{-x})$ Montrer que $(\mathbb{R}^2;T)$ est un groupe non commutatif.
  4. Montrer que l'ensemble $G = \left]-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\left[\right.$ muni de la loi $\bot$ définie par : $x \bot y = \text{Arctan}(\tan(x) + \tan(y))$ est un groupe commutatif.
  5. On pose $G = \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}$, et on définit sur $G$ une loi de composition interne par : Pour tous $(a;b)$ et $(c;d)$ de $G$ : $(a;b)*(c;d) = (ac; ad+b)$
    • [a)] Montrer que la loi $*$ est associative. La loi $*$ est-elle commutative dans $(G;*)$ ? Justifier.
    • [b)] Montrer que $(G;*)$ est un groupe.
    • [c)] On pose : $H = \{(x;0) / x \in \mathbb{R}^*\}$ et $K = \{(1;x) / x \in \mathbb{R}\}$
      • [$c_1)$] Montrer que les parties $H$ et $K$ sont stables dans $(G;*)$.
      • [$c_2)$] Montrer, en utilisant la définition, que $(H;*)$ et $(K;*)$ sont des groupes commutatifs.
      • [$c_3)$] Justifier pourquoi $(H \cup K ; *)$ n'est pas un groupe.

2.PRINCIPALES PROPRIÉTÉS D’UN GROUPE

Proposition

Proposition 1

Soit $(G;*)$ un groupe. Alors :
  1. $G$ est non vide : il contient au moins son élément neutre.
  2. L'élément neutre $e$ de $G$ est unique.
  3. Le symétrique de tout élément de $G$ est unique.
  4. Pour tout $(x;y) \in G^2$ : $(x')' = x$ et $(x*y)' = y'*x'$. ($x'$ étant le symétrique de $x$ dans $(G;*)$)
  5. Tout élément $x \in G$ est régulier. Autrement dit, pour tout $(a;x;y) \in G^3$ :
    \[(a*x = a*y \implies x = y) \text{et} (x*a = y*a \implies x = y)\]
Preuve

Preuve

Les propriétés 2), 3) et 4) ont été déjà établies dans le chapitre précédent. Montrons 5) : Soit $(a;x;y) \in G^3$. En notant $a'$ le symétrique de $a$ dans $G$, l'associativité de $*$ donne :
\[a*x = a*y \implies a'*(a*x) = a'*(a*y) \implies (a'*a)*x = (a'*a)*y \implies e*x = e*y \implies x = y\]
On montre de même que $x*a = y*a \implies x = y$, d'où le résultat.
Proposition

Proposition 2

Soit $(G;*)$ un groupe d'élément neutre $e$. Pour tout $(a;b) \in G^2$, l'équation $a*x = b$ (resp. $x*a = b$) admet une solution unique dans $G$ qui est $x = a'*b$ (resp. $x = b*a'$), où $a'$ désigne le symétrique de $a$ dans $(G;*)$. En d'autres termes : Pour tout $(a;b;x) \in G^3$ : $(a*x = b \iff x = a'*b) \text{et} (x*a = b \iff x = b*a')$
Application

Applications

  1. Soit $(G;*)$ un groupe et $a$ un élément de $G$. On considère les applications $f$ et $g$ définies de $G$ dans $G$ par :
    \[f(x) = a*x \text{et} g(x) = x*a\]
    Montrer que les applications $f$ et $g$ sont bijectives de $G$ dans $G$.
  2. Soit $(G;*)$ un groupe tel que : $(\forall (x;y;z) \in G^3) x*y*z = y*z*x$ Montrer que le groupe $(G;*)$ est commutatif.

3.SOUS-GROUPES

Définition

Définition 2

Soit $(G;*)$ un groupe et $H$ une partie non vide de $G$. On dit que $H$ est un sous-groupe de $(G;*)$ lorsque :
  • $H$ est stable par la loi $*$, c'est-à-dire : $(\forall (x;y) \in H^2) x*y \in H$.
  • $(H;*)$ est un groupe.
Exemple

Exemples

  1. $(\mathbb{Z};+)$ est un sous-groupe de $(\mathbb{R};+)$.
  2. $(\mathbb{R}^*_+;\times)$ est un sous-groupe de $(\mathbb{R}^*;\times)$.
  3. L'ensemble $\mathbb{U}$ constitué des nombres complexes de module 1 est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*;\times)$.
  4. $G$ et $\{e\}$ sont des sous-groupes du groupe $(G;*)$. On les appelle sous-groupes triviaux de $G$.
  5. L'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*;\times)$.
  6. $(\mathbb{Z}^*;\times)$ n'est pas un sous-groupe de $(\mathbb{R}^*;\times)$.
  7. On pose : $E = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & a
    2 & 0 \end{pmatrix} / a \in \mathbb{R} \right\}$. Alors, $(E;+)$ n'est pas un sous-groupe de $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R});+)$, car :
    \[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \in E \text{ mais sa matrice opposée } -A = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \text{ n'appartient pas à } E\]

4.PROPRIÉTÉ CARACTÉRISTIQUE D’UN SOUS-GROUPE

Proposition

Proposition 3

Soit $(G;*)$ un groupe d'élément neutre $e$, et $H$ une partie de $G$.
\[H \text{ est un sous-groupe de } (G;*) \iff \begin{cases} H \neq \varnothing \\ (\forall (x;y) \in H^2) x*y' \in H \end{cases}\]
où $y'$ est le symétrique de $y$ dans $(G;*)$.
Preuve

Preuve

Commençons par montrer la condition est nécessaire. Supposons que $H$ est un sous-groupe de $G$. Puisque $H$ est non vide, alors il contient au moins un élément $a$, et d'après la définition 2, on déduit que $a' \in H$, et par stabilité : $e = a'*a \in H$. Soit $(x;y) \in H^2$. D'après la définition 2 : $x*y' \in H$. Réciproquement, On a $H$ est non vide. D'autre part, si $x \in H$, alors $e = x*x' \in H$ et $x' = e*x' \in H$, ce qui montre que $H$ contient tous les inverses de tous ses éléments. Enfin, si $(x;y) \in H^2$, alors $y' \in H$, donc $x*y = x*(y')' \in H$, ce qui montre la stabilité de $H$ pour la loi $*$.
Remarque

Remarques

  • En notation additive, la propriété caractéristique précédente s'écrit :
    \[\begin{cases} H \neq \varnothing \\ (\forall (x;y) \in H^2) x – y \in H \end{cases}\]
  • En notation multiplicative, la propriété caractéristique précédente s'écrit :
    \[\begin{cases} H \neq \varnothing \\ (\forall (x;y) \in H^2) x \cdot y^{-1} \in H \end{cases}\]
  • Muni de la loi induite, un sous-groupe est un groupe. C'est la méthode habituelle, car la plus efficace, pour montrer que l'on a affaire à un groupe : on démontre en général que c'est un sous-groupe d'un groupe connu. Cela permet, en particulier, de ne pas à avoir à montrer l'associativité. Le lecteur est donc invité à bien connaître les exemples classiques cités en 1.1, afin de pouvoir les utiliser pour démontrer qu'une de leurs parties est un groupe.
Exemple

Exemples

  1. On considère l'ensemble $\mathbb{U} = \{z \in \mathbb{C} / |z| = 1\}$. Démontrons que $(\mathbb{U};\times)$ est groupe commutatif : On sait que $(\mathbb{C}^*;\times)$ est un groupe commutatif, donc, il suffira de montrer que $(\mathbb{U};\times)$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*;\times)$. Tout d'abord, on a $1 \in \mathbb{U}$ et $\mathbb{U} \subset \mathbb{C}^*$, donc $\mathbb{U} \neq \varnothing$ ; ensuite, on a pour tout $(z_1;z_2) \in \mathbb{U}^2$, $|z_1| = |z_2| = 1$, et donc :
    \[\left|z_1 \times z_2^{-1}\right| = \left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|} = \dfrac{1}{1} = 1\]
    On a donc montré que : $(\forall (z_1;z_2) \in \mathbb{U}^2) z_1 \times z_2^{-1} \in \mathbb{U}$ Par conséquent, $(\mathbb{U};\times)$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*;\times)$, et donc en particulier, c'est groupe commutatif.
  2. On considère l'ensemble $\mathbb{Z}[i] = \{a+ib / (a;b) \in \mathbb{Z}^2\}$. Montrons que $(\mathbb{Z}[i];+)$ est groupe commutatif : Pour cela, il suffit de montrer qu'il s'agit d'un sous-groupe du groupe commutatif $(\mathbb{C};+)$. On a tout d'abord $0 \in \mathbb{Z}[i]$ (car $0 = 0 + i \times 0$) et $\mathbb{Z}[i] \subset \mathbb{C}$. Soit maintenant $z_1$ et $z_2$ deux éléments de $\mathbb{Z}[i]$. Par définition de l'ensemble $\mathbb{Z}[i]$, il existe $(a_1;b_1;a_2;b_2) \in \mathbb{Z}^4$ tel que : $z_1 = a_1+ib_1$ et $z_2 = a_2+ib_2$ ; il s'ensuit donc :
    \[z_1 – z_2 = (a_1+ib_1) – (a_2+ib_2) = (a_1-a_2) + i(b_1-b_2)\]
    Comme $(a_1;b_1;a_2;b_2) \in \mathbb{Z}^4$ alors $a_1-a_2 \in \mathbb{Z}$ et $b_1-b_2 \in \mathbb{Z}$, ce qui entraîne que $z_1-z_2 \in \mathbb{Z}[i]$. Par suite, $(\mathbb{Z}[i];+)$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C};+)$, et donc en particulier, c'est groupe commutatif.
  3. [3)] On considère l'ensemble : $\mathbb{E} = \left\{ M(a;b) = \begin{pmatrix} a & b & 0
    -b & a & 0
    0 & 0 & 0 \end{pmatrix} / (a;b) \in \mathbb{R}^2 \right\}$ Montrons que $(\mathbb{E};+)$ est un sous-groupe de $(\mathcal{M}_3(\mathbb{R});+)$ : (on rappelle que $O_3$ est matrice nulle) On a $O_3 \in \mathbb{E}$ (car $O_3 = M(0;0)$) et $\mathbb{E} \subset \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$. Soit $M(a;b)$ et $M(c;d)$ deux éléments de $\mathbb{E}$ avec $(a;b;c;d) \in \mathbb{R}^4$. On a :
    \[M(a;b) – M(c;d) = \begin{pmatrix} a & b & 0 \\ -b & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} c & d & 0 \\ -d & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-c & b-d & 0 \\ -(b-d) & a-c & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = M(a-c; b-d)\]
    Il s'ensuit donc que $M(a;b) – M(c;d) \in \mathbb{E}$. Ainsi, $(\mathbb{E};+)$ est un sous-groupe de $(\mathcal{M}_3(\mathbb{R});+)$.
Application

Applications

  1. On considère l'ensemble suivant : $\mathbb{H} = \{3^m \times 7^n / (m;n) \in \mathbb{Z}^2\}$ Montrer que $\mathbb{H}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{R}^*;\times)$.
  2. Soit $H$ et $K$ deux sous-groupes d'un groupe $(G;\cdot)$. Montrer que $H \cap K$ est un sous-groupe de $(G;\cdot)$.
  3. Soit $(G;\times)$ un groupe et $a$ un élément de $G$. On considère les ensembles :
    \[C_a = \{x \in G / ax = xa\} \text{et} Z(G) = \{x \in G / (\forall y \in G) xy = yx\}\]
    (L'ensemble $C_a$ est appelé le centralisateur de $a$ et l'ensemble $Z(G)$ est appelé le centre du groupe $G$) Montrer que $C_a$ et $Z(G)$ sont des sous-groupes de $G$.

5.MORPHISMES DE GROUPES

Proposition

Proposition 4

Soit $f$ un morphisme d'un groupe $(G;*)$ dans un groupe $(F;T)$. Alors : L'image de groupe $(G;*)$ est le groupe $(f(G);T)$.
Preuve

Preuve

On a déjà démontré les propriétés suivantes dans les sections précédentes : Si $f$ est un morphisme de $(G;*)$ dans $(F;T)$, alors :
  • $f(G)$ est une partie stable de $(F;T)$.
  • $*$ est associative dans $(G;*)$, donc, $T$ est associative dans $(f(G);T)$.
  • $e$ est l'élément neutre dans $(G;*)$, donc, $f(e)$ est l'élément neutre dans $(f(G);T)$.
  • $x'$ est le symétrique de $x$ dans $(G;*)$, donc, $f(x')$ est le symétrique de $f(x)$ dans $(f(G);T)$.
Par suite, $(f(G);T)$ est un groupe.
Remarque

Remarques

  • Soit $f$ un morphisme d'un groupe $(G;*)$ dans un groupe $(F;T)$. On dit aussi :
    • $f$ est un isomorphisme de groupes si $f$ est bijectif.
    • $f$ est un endomorphisme de groupe $(G;*)$ si $f$ est défini de $(G;*)$ dans $(G;*)$.
    • $f$ est un automorphisme de groupe $(G;*)$ si $f$ est un endomorphisme bijectif.
  • Si le morphisme $f$ est surjectif ou un isomorphisme de groupes alors $f(G) = F$, et dans ce cas, l'image du groupe $(G;*)$ par $f$ est le groupe $(F;T)$. On dit alors que le morphisme $f$ transfère « la structure du groupe $(G;*)$ » en celle du groupe $(F;T)$.
  • Si $f$ est un isomorphisme de $(G;*)$ dans $(F;T)$, alors $(G;*)$ et $(F;T)$ ont la même structure. En particulier :
    • Si $(G;*)$ est un groupe, alors $(F;T)$ est un groupe.
    • Si $(G;*)$ est un groupe commutatif, alors $(F;T)$ est un groupe commutatif.
    Ce résultat est très utile en pratique.
Exemple

Exemples

  1. L'égalité : $(\forall (t;t') \in \mathbb{R}^2) \exp(t+t') = \exp(t) \times \exp(t')$ signifie que l'application :
    \[\begin{array}{cccc} f : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{R}^*_+ \\ & t & \mapsto & \exp(t) \end{array}\]
    est un isomorphisme du groupe $(\mathbb{R};+)$ dans le groupe $(\mathbb{R}^*_+;\times)$. Sa bijection réciproque :
    \[\begin{array}{cccc} g : & \mathbb{R}^*_+ & \to & \mathbb{R} \\ & t & \mapsto & \ln(t) \end{array}\]
    est un isomorphisme du groupe $(\mathbb{R}^*_+;\times)$ dans le groupe $(\mathbb{R};+)$.
  2. Pour $\alpha \in \mathbb{R}$, les applications :
    \[\begin{array}{cccc} f_\alpha : & (\mathbb{R};+) & \to & (\mathbb{R};+) \\ & x & \mapsto & \alpha x \end{array} \text{et} \begin{array}{cccc} g_\alpha : & (\mathbb{R}^*_+;\times) & \to & (\mathbb{R}^*_+;\times) \\ & x & \mapsto & x^\alpha \end{array}\]
    sont des morphisme de groupes.
  3. On considère l'ensemble $\mathbb{U} = \{z \in \mathbb{C} / |z| = 1\}$. Les applications :
    \[\begin{array}{cccc} h : & (\mathbb{U};\times) & \to & (\mathbb{U};\times) \\ & z & \mapsto & z^2 \end{array} \text{et} \begin{array}{cccc} k : & (\mathbb{C}^*;\times) & \to & (\mathbb{C}^*;\times) \\ & z & \mapsto & \overline{z} \end{array}\]
    sont des endomorphismes de groupes.
Application

Applications

  1. On définit sur $\mathbb{R}^2$ une loi de composition interne $*$ comme suit : Pour tous $(a;b)$ et $(c;d)$ de $\mathbb{R}^2$ : $(a;b)*(c;d) = \left(\dfrac{1}{2}ad + \dfrac{1}{2}bc ; \dfrac{1}{2}bd – \dfrac{9}{4}ac\right)$ Et soit $f$ l'application définie par :
    \[\begin{array}{cccc} f : & \mathbb{C} & \to & \mathbb{R}^2 \\ & z = a+ib & \mapsto & \left(\dfrac{4b}{3}; 3a\right) \end{array}\]
    • [a)] Montrer que $f$ est un morphisme de $(\mathbb{C};\times)$ dans $(\mathbb{R}^2;*)$.
    • [b)] En déduire la structure de $(\mathbb{R}^2 – \{(0;0)\};*)$.
    • [c)] Déterminer le symétrique de l'élément $(a;b)$ de $(\mathbb{R}^2 – \{(0;0)\};*)$ par la loi $*$.
    • [d)] Résoudre dans $\mathbb{R}^2 – \{(0;0)\}$ l'équation : $(a;b)*(a;b) = (0;2)$
  2. Soit $\mathcal{L}(\mathbb{R};\mathbb{R})$ l'ensemble des fonctions linéaires. On note $\theta$ la fonction numérique nulle. On a donc :
    \[\mathcal{L}(\mathbb{R};\mathbb{R}) = \{f_a / (\forall x \in \mathbb{R}) f_a(x) = ax\}\]
    En utilisant un morphisme bien adapté, montrer que $(\mathcal{L}(\mathbb{R};\mathbb{R});+)$ est un groupe commutatif, et que $(\mathcal{L}(\mathbb{R};\mathbb{R}) – \{\theta\};\circ)$ est un groupe. ($\circ$ étant la loi de compositions des applications).
  3. On considère l'ensemble : $\mathbb{E} = \left\{ M(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & 0
    -\sin\theta & \cos\theta & 0
    0 & 0 & 1 \end{pmatrix} / \theta \in \mathbb{R} \right\}$
    • [a)] Montrer que $\mathbb{E}$ est une partie stable de $(\mathcal{M}_3(\mathbb{R});\times)$.
    • [b)] En utilisant un morphisme de groupes, montrer que $(\mathbb{E};\times)$ est un groupe commutatif.

II.ANNEAU

1.DISTRIBUTIVITÉ

Définition

Définition 3

Soit $E$ un ensemble muni de deux lois de composition interne $\oplus$ et $\otimes$. On dit que la loi $\otimes$ est distributive par rapport à la loi $\oplus$ si pour tous $x$, $y$ et $z$ de $E$, on a :
\[x \otimes (y \oplus z) = (x \otimes y) \oplus (x \otimes z) \text{et} (y \oplus z) \otimes x = (y \otimes x) \oplus (z \otimes x)\]
Exemple

Exemples

  1. Sur $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, la multiplication est distributive par rapport à l'addition ; c'est-à-dire :
    \[x \times (y+z) = x \times y + x \times z \text{et} (y+z) \times x = y \times x + z \times x\]
  2. [2)] Dans $\mathcal{P}(E)$, ensemble des parties de $E$, l'intersection est distributive par rapport à la réunion :
    \[A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \text{et} (B \cup C) \cap A = (B \cap A) \cup (C \cap A)\]
    De même, la réunion est distributive par rapport à l'intersection :
    \[A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \text{et} (B \cap C) \cup A = (B \cup A) \cap (C \cup A)\]
  3. [3)] Dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ et $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$, la multiplication est distributive par rapport à l'addition ; c'est-à-dire :
    \[M_1 \times (M_2 + M_3) = M_1 \times M_2 + M_1 \times M_3 \text{et} (M_2 + M_3) \times M_1 = M_2 \times M_1 + M_3 \times M_1\]
  4. [4)] Soit $\mathcal{A}(\mathbb{R};\mathbb{R})$ l'ensemble des applications de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}$ étant muni de l'addition usuelle. $f$ et $g$ étant dans $E$, $f+g$ est l'application définie sur $\mathcal{A}(\mathbb{R};\mathbb{R})$ par :
    \[(\forall x \in E) (f+g)(x) = f(x) + g(x)\]
    Etudions la distributivité de composition usuelle « $\circ$ » par rapport à « + ». Soit $f$, $g$ et $h$ trois éléments de $\mathcal{A}(\mathbb{R};\mathbb{R})$.
    • On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
      \[((f+g) \circ h)(x) = (f+g)(h(x)) = f(h(x)) + g(h(x)) = f \circ h(x) + g \circ h(x) = (f \circ h + g \circ h)(x)\]
      D'où : $(f+g) \circ h = (f \circ h) + (g \circ h)$
    • On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
      \[(h \circ (f+g))(x) = h((f+g)(x)) = h(f(x)+g(x))\]
      Faute d'une propriété telle que $f(y+z) = f(y)+f(z)$, on ne peut pas poursuivre. On peut donner dans ce cas un simple contre-exemple : $f = g = Id_{\mathbb{R}}$ et pour tout $x \in \mathbb{R}$, $h(x) = x^2$. Alors pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
      \[h(f(x)+g(x)) = h(2x) = 4x^2 \text{et} h(f(x)) + h(g(x)) = 2h(x) = 2x^2\]
      Donc, on n'a pas en général : $h \circ (f+g) = h \circ f + h \circ g$
    Conclusion : La composition usuelle « $\circ$ » n'est pas distributive par rapport à la loi « + » dans $\mathcal{A}(\mathbb{R};\mathbb{R})$.
Application

Applications

  1. On définit sur $\mathbb{R}^2$ une loi de composition interne $\top$ comme suit :
    \[(\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2) \, (\forall (x';y') \in \mathbb{R}^2) (x;y) \top (x';y') = (xx' + 2yy'; xy' + x'y)\]
    Montrer que $\top$ est distributive par rapport à l'addition « + » dans $\mathbb{R}^2$. (on rappelle que : $(x;y) + (x';y') = (x+x'; y+y')$)
  2. On définit sur $\mathbb{R}$ deux lois de composition interne $\top$ et $*$ comme suit : Pour tout $(x;y) \in \mathbb{R}^2$ : $x * y = x+y-1$ et $x \top y = x+y-xy$ Montrer que $\top$ est distributive par rapport à l'addition « $*$ » dans $\mathbb{R}$.

2.STRUCTURE D’ANNEAU

Définition

Définition 4

Soit $A$ un ensemble muni de deux lois de composition interne $\oplus$ et $\otimes$. On dit que $(A;\oplus;\otimes)$ est un anneau lorsque :
  1. $(A;\oplus)$ est un groupe commutatif.
  2. La loi $\otimes$ est associative et distributive par rapport à la loi $\oplus$.
On dit que l'anneau $(A;\oplus;\otimes)$ est commutatif si la loi $\otimes$ est commutative. On dit que l'anneau $(A;\oplus;\otimes)$ est unitaire si la loi $\otimes$ possède un élément neutre pour la loi $\otimes$.
Remarque

À retenir

\paragraph*{Notations}
  • Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, on note les lois $\oplus$ et $\otimes$ respectivement + (notation additive) et $\times$ (notation multiplicative). Dans le cas habituel :
    • [$\checkmark$] On note $0$ (ou $0_A$), appelé le zéro de l'anneau $A$, l'élément neutre pour +, et
    • [$\checkmark$] On note $1$ (ou $1_A$), appelé l'élément unité de l'anneau $A$, l'élément neutre pour $\times$ si $A$ est unitaire.
    • [$\checkmark$] On note couramment $x \cdot y$ ou même $xy$ à la place de $x \times y$.
    • [$\checkmark$] Le symétrique de $x \in A$ pour l'addition (opposé de $x$) est noté $-x$.
    • [$\checkmark$] Le symétrique de $x \in A$ pour la multiplication (inverse de $x$), s'il existe, est noté $x^{-1}$.
  • Soit $(A;+;\times)$ un anneau unitaire. Soient $x \in A$ et $n \in \mathbb{Z}$. On peut définir le symbole $nx$ dans $A$ par :
    \[nx = \underbrace{x+x+\dots+x}_{n \text{ fois}} \text{ si } n \ge 1 ; nx = \underbrace{(-x)+(-x)+\dots+(-x)}_{-n \text{ fois}} \text{ si } n \le -1 ; 0x = 0_A\]
    De même, on peut définir le symbole $x^n$ dans $A$ par :
    \[x^n = \underbrace{x \times x \times \dots \times x}_{n \text{ fois}} \text{ si } n \ge 1 ; x^n = \underbrace{x^{-1} \times \dots \times x^{-1}}_{-n \text{ fois}} \text{ si } x \text{ est inversible et } n \le -1 ; x^0 = 1_A\]
    Ces notations sont très utiles dans les calculs numériques (réels et complexes) et matriciels.
Exemple

Exemples

  1. $(\mathbb{Z};+;\times)$, $(\mathbb{Q};+;\times)$, $(\mathbb{R};+;\times)$ et $(\mathbb{C};+;\times)$ sont des anneaux commutatifs unitaires, mais $(\mathbb{N};+;\times)$ n'est pas un anneau car $(\mathbb{N};+)$ n'est pas un groupe.
  2. Pour $n \in \mathbb{N}^*$, $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z};+;\times)$ est un anneau commutatif unitaire. Son zéro est $\overline{0}$, et son élément unité est $\overline{1}$.
  3. $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R});+;\times)$ et $(\mathcal{M}_3(\mathbb{R});+;\times)$ sont des anneaux unitaires non commutatifs. L'élément unité pour $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R});+;\times)$ est $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0
    0 & 1 \end{pmatrix}$, et l'élément unité pour $(\mathcal{M}_3(\mathbb{R});+;\times)$ est $I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0
    0 & 1 & 0
    0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
  4. [4)] $(\mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R});+;\times)$ est un anneau commutatif unitaire. Son élément unité est la fonction $u : x \mapsto 1$.
  5. [5)] $(\mathcal{P}(E);\Delta;\cap)$ est un anneau commutatif unitaire. Son élément unité est $E$. Par contre, $(\mathcal{P}(E);\Delta;\cup)$ n'est pas un anneau, car on n'a pas en général : $(A \cup B) \Delta (A \cup C) = A \Delta (B \cup C)$
Application

Applications

  1. On considère l'ensemble : $A = \{a + b\sqrt{2} / (a;b) \in \mathbb{Z}^2\}$
    • [a)] Montrer que pour tout $(a;b) \in \mathbb{Z}^2$ : $a + b\sqrt{2} = 0 \iff a = b = 0$
    • [b)] Montrer que $(A;+;\times)$ est un anneau commutatif unitaire.
  2. On considère l'ensemble : $\mathbb{K} = \left\{ \begin{pmatrix} \alpha & \beta
    -3\beta & \alpha \end{pmatrix} / (\alpha;\beta) \in \mathbb{R}^2 \right\}$ Montrer que $(\mathbb{K};+;\times)$ est un anneau commutatif unitaire.

3.RÈGLES DE CALCUL DANS UN ANNEAU

Proposition

Proposition 5

Soit $(A;+;\cdot)$ un anneau unitaire. On a les propriétés suivantes :
  1. Pour tout $x \in A$ : $0_A \cdot x = x \cdot 0_A = 0_A$.
  2. Pour tout $x \in A$ : $(-1_A) \cdot x = x \cdot (-1_A) = -x$.
  3. Pour tout $(x;y) \in A^2$ : $(-x) \cdot y = x \cdot (-y) = -(x \cdot y)$.
  4. Pour tout $(x;y) \in A^2$ : $(-x) \cdot (-y) = x \cdot y$.
Preuve

Preuve

  1. De l'égalité $x + 0_A = x$, on déduit successivement :
    \[x + 0_A = x \implies x \cdot (x + 0_A) = x^2 \implies x^2 + x \cdot 0_A = x^2 \implies x \cdot 0_A = 0_A\]
    \[x + 0_A = x \implies (x + 0_A) \cdot x = x^2 \implies x^2 + 0_A \cdot x = x^2 \implies 0_A \cdot x = 0_A\]
  2. De l'égalité $1_A + (-1_A) = 0_A$, on déduit que pour tout $x \in A$ : $(1_A + (-1_A)) \cdot x = 0_A \cdot x = 0_A$, il s'ensuit donc $1_A \cdot x + (-1_A) \cdot x = 0_A$, c'est-à-dire $x + (-1_A) \cdot x = 0_A$. Par conséquent : $(-1_A) \cdot x = -x$. On montre de même : $x \cdot (-1_A) = -x$.
  3. On a pour tout $(x;y) \in A^2$ :
    \[x + (-x) = 0_A \implies (x + (-x)) \cdot y = 0_A \cdot y \implies x \cdot y + (-x) \cdot y = 0_A \implies (-x) \cdot y = -(x \cdot y)\]
    On montre de même l'égalité : $x \cdot (-y) = -(x \cdot y)$
  4. On a pour tout $(x;y) \in A^2$ :
    \[x + (-x) = 0_A \implies (x + (-x)) \cdot (-y) = 0_A \cdot y \implies -x \cdot y + (-x) \cdot (-y) = 0_A \implies (-x) \cdot (-y) = x \cdot y\]
Remarque

Remarques

  • En appliquant les règles de calcul citées dans la proposition 5 dans l'anneau $(\mathbb{R};+;\times)$, on obtient :
    \[0 \times x = x \times 0 = x ; x \times (-y) = (-x) \times y = -(x \times y)\]
    \[(-1) \times x = x \times (-1) = -x ; (-x) \times (-y) = x \times y\]
  • Attention, il ne faut pas déduire trop hâtivement de la première propriété qu'un produit n'est nul que lorsqu'un des deux éléments multipliés est nul. Par exemple, dans l'anneau $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R});+;\times)$ :
    \[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ malgré que les deux matrices } \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ et } \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \text{ ne sont pas nulles}\]
  • Il peut arriver que l'on rencontre, dans la littérature, une autre définition de la notion d'anneau dans laquelle on suppose la seconde loi admit un élément neutre. D'ailleurs, tous les anneaux envisagés dans cet ouvrage ou même dans les programmes du BAC+2 (LICENCE \& CLASSES PRÉPAS) seront unitaires. Les anneaux non unitaires n'ont pas en général d'intérêt pratique car on peut toujours injecter un anneau non unitaire dans un anneau unitaire.

4.DIVISEURS DE ZÉRO DANS UN ANNEAU — ANNEAU INTÈGRE

Définition

Définition 5

Soit $(A;+;\cdot)$ un anneau et $a \in A – \{0_A\}$. On dit que $a$ est un diviseur de zéro dans l'anneau $A$ s'il existe $b \in A – \{0_A\}$ tel que :
\[a \cdot b = 0_A \text{ou} b \cdot a = 0_A\]
Exemple

Exemples

  1. Dans l'anneau $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$, l'élément $\overline{2}$ est un diviseur de zéro car : $\overline{2} \neq \overline{0}$ et $\overline{2} \times \overline{3} = \overline{3} \times \overline{2} = \overline{0}$. De même, $\overline{3}$ est un diviseur de zéro dans cet anneau.
  2. Dans l'anneau $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R});+;\times)$, l'élément $\begin{pmatrix} 1 & 0
    2 & 0 \end{pmatrix}$ est un diviseur de zéro car :
    \[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \neq O_2 \text{et} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = O_2\]
  3. Dans l'anneau $(\mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R});+;\times)$, on considère les fonctions suivantes :
    \[f : x \mapsto \begin{cases} \dfrac{1}{x^2+1} & \text{si } x \ge 0 \\ 0 & \text{si } x < 0 \end{cases} \text{et} g : x \mapsto \begin{cases} 0 & \text{si } x \ge 0 \\ x^5 & \text{si } x < 0 \end{cases}\]
    On a $f \neq \theta$ et $g \neq \theta$ où $\theta$ est la fonction nulle (zéro de l'anneau $\mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R})$), mais $f \times g = \theta$. Il s'ensuit donc que les fonctions $f$ et $g$ sont des diviseurs de zéro dans l'anneau $(\mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R});+;\times)$.
Définition

Définition 6

On dit qu'un anneau $(A;+;\cdot)$ est intègre s'il n'est pas réduit à zéro et n'admet aucun diviseur de zéro. Autrement dit :
\[[(A;+;\cdot) \text{ est intègre}] \iff [(\forall (a;b) \in A^2) a \cdot b = 0_A \implies (a = 0_A \text{ ou } b = 0_A)]\]
Exemple

Exemples

  1. $(\mathbb{Z};+;\times)$, $(\mathbb{Q};+;\times)$, $(\mathbb{R};+;\times)$ et $(\mathbb{C};+;\times)$ sont des anneaux intègres.
  2. Les anneaux $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R});+;\times)$, $(\mathcal{M}_3(\mathbb{R});+;\times)$, $(\mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R});+;\times)$ et $(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z};+;\times)$ ne sont pas intègres.
Application

Applications

  1. Montrer que l'anneau $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z};+;\times)$ est intègre.
  2. On considère l'ensemble $A = \{x + y\sqrt{7} / (x;y) \in \mathbb{Z}^2\}$. Montrer que l'anneau $(A;+;\times)$ est intègre.
  3. Dans l'ensemble $A = \mathbb{Q} \times \mathbb{Z}$, on définit les deux lois de composition interne par : Pour tous $(x;y)$ et $(x';y')$ de $A$ : $(x;y) + (x';y') = (x+x'; y+y')$ et $(x;y) \times (x';y') = (xx'; yy')$
    • [a)] Montrer que $(A;+;\times)$ est un anneau commutatif.
    • [b)] Déterminer les diviseurs de zéro dans l'anneau $(A;+;\times)$. L'anneau $(A;+;\times)$ est-il intègre ?
Proposition

Proposition 6

Soit $(A;+;\cdot)$ un anneau unitaire et $a \in A$. Si $a$ est inversible dans $(A;\cdot)$ alors $a$ n'est pas un diviseur de zéro dans l'anneau $(A;+;\cdot)$.
Preuve

Preuve

Supposons que $a$ est inversible dans $(A;\cdot)$. On note $a^{-1}$ son inverse. On a donc pour tout $b \in A$ :
\[a \cdot b = 0_A \implies a^{-1} \cdot (a \cdot b) = a^{-1} \cdot 0_A \implies (a^{-1} \cdot a) \cdot b = 0_A \implies 1_A \cdot b = 0_A \implies b = 0_A\]
On montre de même que $b \cdot a = 0_A \implies b = 0_A$. Ainsi, $a$ n'est pas un diviseur de zéro dans $(A;+;\cdot)$. Signalons au passage que la réciproque est fausse en général. Par exemple, dans l'anneau $(\mathbb{Z};+;\times)$, l'élément $2$ n'est pas un diviseur de zéro et n'est pas inversible dans $(\mathbb{Z};\times)$.
Remarque

Remarque

Soit $M = \begin{pmatrix} a & c
b & d \end{pmatrix}$ une matrice de $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R});+;\times)$. On rappelle que : $\det M = \begin{vmatrix} a & c
b & d \end{vmatrix} = ad – bc$ La matrice $M$ est inversible dans $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R});+;\times)$ si, et seulement si, son déterminant est non nul. Si $\det M \neq 0$ alors la matrice inverse de $M$ est donnée par la formule :
\[M^{-1} = \dfrac{1}{\det M} \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix}\]

3.CORPS

Remarque

À retenir

Certains anneaux jouissent de propriétés supplémentaires qui les rendent plus aisés à manier. Les règles de calculs et les réflexes acquis depuis longtemps dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ y sont encore valables.
Définition

Définition 7

On appelle corps tout anneau unitaire $(K;+;\cdot)$ non réduit à $\{0_K\}$ tel que tout élément autre que $0_K$ est inversible pour la loi $\cdot$. Un corps est dit commutatif si sa multiplication $\cdot$ est commutative.
Exemple

Exemples

  1. $(\mathbb{Q};+;\times)$, $(\mathbb{R};+;\times)$ et $(\mathbb{C};+;\times)$ sont des corps commutatifs, mais $(\mathbb{Z};+;\times)$ n'est pas un corps car l'élément $2$ n'a pas d'inverse pour la loi $\times$ dans $\mathbb{Z}$.
  2. Si $p$ est un nombre premier, alors $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z};+;\times)$ est un corps commutatif. C'est une conséquence du théorème 17 du cours d'arithmétique et du fait que $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z};+;\times)$ est un anneau commutatif.
  3. $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R});+;\times)$ n'est pas un corps car la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0
    0 & 0 \end{pmatrix}$ n'a pas d'inverse pour la loi $\times$ dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.
  4. $(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z};+;\times)$ n'est pas un corps.
  5. On considère l'ensemble : $K = \{a + b\sqrt{5} / (a;b) \in \mathbb{Q}^2\}$. Montrons que $(K;+;\times)$ est un corps commutatif : Tout d'abord, $(K;+;\times)$ est un anneau commutatif unitaire (À vérifier). Soit maintenant $x \in K – \{0\}$. Il existe $(a;b) \in \mathbb{Q}^2 – \{(0;0)\}$ tel que $x = a + b\sqrt{5}$. Puisque $x \neq 0$ alors il admet un inverse dans $\mathbb{R}$ qui est :
    \[x^{-1} = \dfrac{1}{a + b\sqrt{5}} = \dfrac{a – b\sqrt{5}}{a^2 – 5b^2} = \dfrac{a}{a^2 – 5b^2} – \dfrac{b}{a^2 – 5b^2} \sqrt{5} (\text{remarquer bien que } a \neq b\sqrt{5} \text{ car } \sqrt{5} \notin \mathbb{Q})\]
    Puisque $(a;b) \in \mathbb{Q}^2 – \{(0;0)\}$ alors $\left( \dfrac{a}{a^2 – 5b^2}; \dfrac{-b}{a^2 – 5b^2} \right) \in \mathbb{Q}^2$, ce qui montre que $x^{-1} \in K$. En résumé, $(K;+;\times)$ est un corps commutatif.
Remarque

Remarques

  • Il peut arriver que l'on rencontre, dans la littérature, une autre définition de la notion de corps dans laquelle on suppose la commutativité de la multiplication $\cdot$. D'ailleurs, tous les corps envisagés dans cet ouvrage ou même dans les programmes du BAC+2 (LICENCE \& CLASSES PRÉPAS) seront commutatifs. Les corps non commutatifs n'ont pas en général d'intérêt pratique.
  • D'après la proposition 6, l'intégrité est une condition nécessaire, mais insuffisante, pour qu'un anneau soit un corps. Ainsi, $(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z};+;\times)$ n'est pas un corps car il n'est pas un anneau intègre.
Proposition

Proposition 7

Soit $(K;+;\cdot)$ un ensemble muni de deux lois de composition interne $+$ et $\cdot$. Pour que $(K;+;\cdot)$ soit un corps, il faut et il suffit que les trois axiomes suivants soient vérifiés :
  1. $(K;+)$ est un groupe commutatif.
  2. $(K – \{0_K\};\cdot)$ est un groupe.
  3. La loi $\cdot$ est distributive par rapport à la loi $+$.
Application

Applications

  1. Dans l'ensemble $\mathbb{R}^2$, on définit les deux lois de compositions interne $\oplus$ et $\otimes$ par :
    \[(a;b) \oplus (a';b') = (a+a'; b+b') \text{et} (a;b) \otimes (a';b') = (aa'-bb'; ab'+ba')\]
    Montrer que $(\mathbb{R}^2;\oplus;\otimes)$ est un corps commutatif.
  2. On considère l'ensemble : $A = \left\{ \begin{pmatrix} a & b
    -5b & a + 2b \end{pmatrix} / (a;b) \in \mathbb{R}^2 \right\}$ Montrer que $(A;+;\times)$ est un corps commutatif.
  3. On munit l'ensemble $\mathbb{C}$ de deux lois de compositions interne $\top$ et $*$ comme suit :
    \[z_1 \top z_2 = z_1 + z_2 – i \text{et} z_1 * z_2 = iz_1 z_2 + z_1 + z_2\]
    Montrer que $(\mathbb{C};\top;*)$ est un corps commutatif.
  4. On munit l'ensemble $K = \{0;1\}$ des lois $+$ et $\times$ définies par les tables suivantes : \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline $+$ & $0$ & $1$
    \hline $0$ & $0$ & $1$
    \hline $1$ & $1$ & $0$
    \hline \end{tabular} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline $\times$ & $0$ & $1$
    \hline $0$ & $0$ & $0$
    \hline $1$ & $0$ & $1$
    \hline \end{tabular} Vérifier que $(K;+;\times)$ est un corps dans lequel chaque élément est son propre symétrique pour l'addition.
Proposition

Proposition 8

Soit $(K;+;\cdot)$ un corps. On a alors les propriétés suivantes :
  1. Tout élément $a$ de $K – \{0_K\}$ est régulier pour l'opération $\cdot$ : Pour tout $(x;y) \in K^2$ : $a \cdot x = a \cdot y \implies x = y \text{et} x \cdot a = y \cdot a \implies x = y$
  2. $(K;+;\cdot)$ est un anneau intègre : $(\forall (x;y) \in K^2) [x \cdot y = 0_K \implies (x = 0_K \text{ ou } y = 0_K)]$
  3. Pour tous $a \in K – \{0_K\}$ et $b \in K$, on a :
    \[a \cdot x = b \iff x = a^{-1} \cdot b \text{et} x \cdot a = b \iff x = b \cdot a^{-1}\]
Remarque

À retenir

Voici enfin un récapitulatif des règles de calcul dans un corps commutatif $(K;+;\cdot)$ vues dans ce paragraphe :
  1. Associativité de + : pour tout $(a;b;c) \in K^3$, $(a+b)+c = a+(b+c)$.
  2. Commutativité de + : pour tout $(a;b) \in K^2$, $a+b = b+a$.
  3. Pour tout $a \in K$, $a+0_K = a$ et $a+(-a) = 0_K$.
  4. Associativité de $\cdot$ : pour tout $(a;b;c) \in K^3$, $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
  5. Commutativité de $\cdot$ : pour tout $(a;b) \in K^2$, $a \cdot b = b \cdot a$.
  6. Pour tout $a \in K$, $1_K \cdot a = a$.
  7. Pour tout $a \in K – \{0_K\}$, $a \cdot a^{-1} = 1_K$.
  8. Pour tout $a \in K$, $0_K \cdot a = 0_K$.
  9. Distributivité de la loi $\cdot$ par rapport à la loi + : pour tout $(a;b;c) \in K^3$, $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$.
  10. [10)] Pour tout $(a;b) \in K^2$, $(-a) \cdot b = -(a \cdot b) = a \cdot (-b)$ et $(-a) \cdot (-b) = a \cdot b$.
  11. [11)] Régularité de + : pour tout $(a;b;c) \in K^3$, $a+b = a+c \implies b = c$.
  12. [12)] Pour tout $(a;b) \in K^2$, la différence $a-b$ est définie, elle vaut $a+(-b)$.
  13. [13)] Intégrité : pour tout $(a;b) \in K^2$ : $a \cdot b = 0_K \implies (a = 0_K \text{ ou } b = 0_K)$
  14. [14)] Régularité de $\cdot$ : pour tous $a \in K – \{0_K\}$ et $(b;c) \in K^2$, $a \cdot b = a \cdot c \implies b = c$.
  15. [15)] Pour tous $a \in K – \{0_K\}$ et $b \in K$, $a \cdot x = b \iff x = a^{-1} \cdot b$.
Remarque

Remarque

  • Soit $(A;\oplus;\otimes)$ un anneau unitaire d'élément unité $1_A$, et soit $K$ une partie de $A$, stable pour les lois $\oplus$ et $\otimes$ dans $A$. On peut avoir $(K;\oplus;\otimes)$ un corps commutatif d'élément unité $1_K$ différent de $1_A$. À titre d'exemple, considérons : $A = \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ et $K = \left\{ \begin{pmatrix} x & x
    x & x \end{pmatrix} / x \in \mathbb{R} \right\}$ $(K;+;\times)$ est un corps commutatif. Son zéro est $O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0
    0 & 0 \end{pmatrix}$ et son élément unité est $J = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}
    \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$. Par contre, l'élément unité de $(A;+;\times)$ est la matrice identité $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0
    0 & 1 \end{pmatrix}$. L'inverse de $M = \begin{pmatrix} x & x
    x & x \end{pmatrix}$ (pour $x \neq 0$) est la matrice :
    \[M^{-1} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{4x} & \dfrac{1}{4x} \\[6pt] \dfrac{1}{4x} & \dfrac{1}{4x} \end{pmatrix} = \dfrac{1}{4x} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\]

I.LOI DE COMPOSITION INTERNE

1.INTRODUCTION

Remarque

À retenir

Pour une bonne compréhension du contenu de ce chapitre, voici quelques rappels concernant les opérations usuelles sur quelques ensembles particuliers. Ils ont pour but principalement d'enrichir ce chapitre grâce à des exemples et contre-exemples.
Remarque

L’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$ (Notation : $\mathcal{P}_n$ ou $\mathbb{R}_n[X

$)}, colframe=gray!50!white, colback=white, boxrule=1pt, arc=4pt]
\[P \in \mathcal{P}_n \text{ signifie que } P \text{ est un polynôme de degré inférieur ou égal à } n\]
\[\left(\forall (P;Q) \in \mathcal{P}_n^2\right) (\forall x \in \mathbb{R}) \begin{cases} (P+Q)(x) = P(x) + Q(x) \\ (P \times Q)(x) = P(x) \times Q(x) \end{cases}\]
Remarque

L’ensemble des fonctions définies sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ (Notation : $\mathcal{F}(I;\mathbb{R})$)

\[\mathcal{F}(I;\mathbb{R}) = \{ f \ / \ f : I \to \mathbb{R} , \ x \mapsto f(x) \}\]
\[\left(\forall (f;g) \in \left(\mathcal{F}(I;\mathbb{R})\right)^2\right) (\forall x \in I) \begin{cases} (f+g)(x) = f(x) + g(x) \\ (f \times g)(x) = f(x) \times g(x) \end{cases}\]
Remarque

L’ensemble des classes modulo $n$ (Notation : $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$)

\[\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{\overline{0}; \overline{1}; \overline{2}; \dots; \overline{n}\}\]
Pour tous $\overline{x}$ et $\overline{y}$ de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ : $\overline{x} + \overline{y} = \overline{x+y}$ et $\overline{x} \times \overline{y} = \overline{x \times y}$
Remarque

L’ensemble des parties d’un ensemble $A$ (Notation : $\mathcal{P}(A)$)

\[X \in \mathcal{P}(A) \iff X \subset A\]
Pour tous $X$ et $Y$ de $\mathcal{P}(A)$ : $x \in X \cap Y \iff (x \in X \text{ et } x \in Y)$ ; $x \in X \cup Y \iff (x \in X \text{ ou } x \in Y)$
\[x \in \overline{X} \iff (x \in A \text{ et } x \notin X) \ ; \ x \in X – Y \iff (x \in X \text{ et } x \notin Y) \ ; \ X \Delta Y = (X – Y) \cup (Y – X)\]
Remarque

L’ensemble des matrices carrées d’ordre 2 (Notation : $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$)

\[\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) = \left\{ \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \ / \ (a;b;c;d) \in \mathbb{R}^4 \right\}\]
On définit l'addition et la multiplication dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ comme suit :
\[\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x & z \\ y & t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+x & c+z \\ b+y & d+t \end{pmatrix} \text{et} \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x & z \\ y & t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax+cy & az+ct \\ bx+dy & bz+dt \end{pmatrix}\]
Remarque

L’ensemble des matrices carrées d’ordre 3 (Notation : $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$)

\[\mathcal{M}_3(\mathbb{R}) = \left\{ \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \ / \ (a_1;a_2;a_3;b_1;b_2;b_3;c_1;c_2;c_3) \in \mathbb{R}^9 \right\}\]
On définit l'addition et la multiplication dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ comme suit :
\[\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1+x_1 & a_2+x_2 & a_3+x_3 \\ b_1+y_1 & b_2+y_2 & b_3+y_3 \\ c_1+z_1 & c_2+z_2 & c_3+z_3 \end{pmatrix}\]
\[\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1x_1+a_2y_1+a_3z_1 & a_1x_2+a_2y_2+a_3z_2 & a_1x_3+a_2y_3+a_3z_3 \\ b_1x_1+b_2y_1+b_3z_1 & b_1x_2+b_2y_2+b_3z_2 & b_1x_3+b_2y_3+b_3z_3 \\ c_1x_1+c_2y_1+c_3z_1 & c_1x_2+c_2y_2+c_3z_2 & c_1x_3+c_2y_3+c_3z_3 \end{pmatrix}\]
Plan du cours

L’ensemble des transformations du plan (Notation : $\mathcal{T}$)

Toute application bijective de plan $\mathcal{P}$ vers $\mathcal{P}$ s'appelle une transformation du plan. Les translations, les homothéties et les rotations font parties de l'ensemble des transformations $\mathcal{T}$.
\[\left(\forall (f;g) \in \mathcal{T}^2\right) (\forall M \in \mathcal{P}) (f \circ g)(M) = f(g(M))\]

2.DÉFINITION D’UNE LOI DE COMPOSITION INTERNE

Définition

Définition 1

On appelle loi de composition interne sur un ensemble $E$, toute application de $E \times E$ dans $E$. Traditionnellement, on utilise la notation $x * y$ pour désigner l'image d'un couple $(x;y) \in E \times E$ par une loi $*$ plutôt qu'une notation fonctionnelle. On note $(E;*)$ un ensemble $E$ muni d'une loi de composition interne « $*$ ».
Remarque

À retenir

Notations d'une loi de composition interne
  • Les opérations usuelles sont notées $+$, $-$, $\times$, \dots dans $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$.
  • L'opération $\circ$ est utilisée pour la composition des applications.
  • Les opérations $\cap$, $\cup$, $\Delta$ sont utilisées pour les ensembles.
  • $\wedge$, $\vee$, $*$, $\top$, $\bot$, $\oplus$, $\otimes$, $\bullet$, \dots sont utilisées pour des opérations moins familières.
Exemple

Exemples

  1. L'addition et la multiplication sont des lois de composition interne sur $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$.
  2. La soustraction est une loi de composition interne sur $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$, mais pas sur $\mathbb{N}$.
  3. La division est une loi de composition interne sur $\mathbb{Q}^*$, $\mathbb{R}^*$ et $\mathbb{C}^*$, mais pas sur $\mathbb{Z}^*$ et $\mathbb{C}$.
  4. Si $E$ est un ensemble, on a sur $\mathcal{P}(E)$ les lois de composition internes suivantes :
    • L'intersection : $(A;B) \mapsto A \cap B$.
    • La réunion : $(A;B) \mapsto A \cup B$.
    • La différence : $(A;B) \mapsto A \setminus B$.
    • La différence symétrique : $(A;B) \mapsto A \Delta B$.
  5. Soit $\mathcal{F}(I;\mathbb{R})$ l'ensemble des fonctions réelles définies sur un intervalle $I$.
    • L'addition et la multiplication sont des lois de composition interne sur $\mathcal{F}(I;\mathbb{R})$.
    • Pour $I = \mathbb{R}$, la composition $\circ$ est une loi de composition interne sur $\mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R})$.
  6. L'addition et la multiplication matricielles sont des lois de composition interne sur $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ et $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$.
  7. L'addition et la multiplication sur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ définies dans le chapitre « Arithmétique dans $\mathbb{Z}$ » sont des lois de composition interne sur $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
  8. Le produit scalaire dans le plan vectoriel $\mathcal{V}_2$ n'est pas une loi de composition interne car si $(\vec{u};\vec{v}) \in \mathcal{V}_2^2$ alors $\vec{u} \cdot \vec{v} \in \mathbb{R}$, et donc $\vec{u} \cdot \vec{v} \notin \mathcal{V}_2$.
Application

Applications

  1. Pour tous $x$ et $y$ de $\mathbb{R} – \left\{\dfrac{1}{2}\right\}$, on pose : $x * y = x + y – 2xy$. Montrer que $*$ est une loi de composition interne sur $\mathbb{R} – \left\{\dfrac{1}{2}\right\}$.
  2. Sur l'intervalle $I = {]-1;1[}$, on définit la relation $\bot$ par :
    \[\left(\forall (x;y) \in I^2\right) x \bot y = \dfrac{x+y}{1+xy}\]
    La relation $\bot$ est-elle une loi de composition interne sur $I$ ? Justifier.
  3. On considère l'ensemble $E = \{f_1; f_2; f_3; f_4\}$ où les fonctions $f_i$ ($i \in \{1;2;3;4\}$) des fonctions numériques définies de $\mathbb{R}^*$ vers $\mathbb{R}^*$ par : $f_1: x \mapsto x$ ; $f_2: x \mapsto -x$ ; $f_3: x \mapsto \dfrac{1}{x}$ ; $f_4: x \mapsto -\dfrac{1}{x}$.
    1. Montrer que $\circ$ (composition des fonctions) est une loi de composition interne sur $E$.
    2. Dresser la table de $(E;\circ)$.
  4. On considère l'ensemble $A = \{1;2;4;6;18\}$, et soit $f$ l'application définie par :
    \[\begin{array}{ccrcl} f & : & A \times A & \to & A \\ & & (x;y) & \mapsto & x \wedge y \end{array} (x \wedge y \text{ étant le plus grand commun diviseur des entiers } x \text{ et } y)\]
    1. Dresser la table de la loi $\wedge$ dans $A$.
    2. En déduire que $\wedge$ est une loi de composition interne dans $A$.

3.PARTIE STABLE – LOI INDUITE

Définition

Définition 2

Soit $(E;*)$ un ensemble muni d'une loi de composition interne et $F$ une partie de $E$. On dit que $F$ est stable par $*$ si : $\left(\forall (x;y) \in F^2\right) x * y \in F$ La loi de composition interne alors définie sur $F$ par :
\[\begin{array}{ccrcl} & & F^2 & \to & F \\ & & (x;y) & \mapsto & x * y \end{array}\]
est appelée loi induite par $*$ sur $F$.
Exemple

Exemples

  1. L'ensemble $\mathbb{R}^*$ (resp. $\mathbb{C}^*$) est une partie stable de $(\mathbb{R};\times)$ (resp. $(\mathbb{C};\times)$).
  2. L'ensemble des nombres complexes de module 1 est une partie stable de $(\mathbb{C};\times)$.
  3. L'ensemble $\mathbb{Z}^-$ est une partie stable de $(\mathbb{R};+)$, mais n'est pas une partie stable de $(\mathbb{R};\times)$ car :
    \[(-1;-1) \in \left(\mathbb{Z}^-\right)^2 \text{et} -1 \times (-1) = 1 \notin \mathbb{Z}^-\]
  4. L'ensemble $\mathcal{A}(\mathbb{R};\mathbb{R})$ des fonctions affines est une partie stable de $(\mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R});\circ)$.
  5. L'ensemble $H = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & a
    0 & 1 \end{pmatrix} \ / \ a \in \mathbb{R} \right\}$ est une partie stable de $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R});\times)$. En effet, on a pour tout $(a;b) \in \mathbb{R}^2$ :
    \[\begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a+b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in H.\]
  6. L'ensemble $\mathbb{R}^*$ n'est pas stable pour l'addition dans $\mathbb{R}$ car $(1;-1) \in \left(\mathbb{R}^*\right)^2$ mais $1 + (-1) = 0 \notin \mathbb{R}^*$.
  7. L'ensemble $P = \{z \in \mathbb{C} \ / \ \text{Re}(z) \ge 0\}$ est une partie stable de $(\mathbb{C};+)$, mais n'est pas une partie stable de $(\mathbb{C};\times)$. (Remarquer bien que : $i \times i = -1 \notin P$ malgré que $i \in P$).
  8. On munit $\mathbb{R}$ d'une loi de composition interne $*$ comme suit : $\left(\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2\right) x * y = xy – 3x – 3y + 12$ On considère la partie $S = {]3;+\infty[}$. Montrons que $S$ est une partie stable de $(\mathbb{R};*)$ : On a pour tous $x$ et $y$ de $S$ : $x * y – 3 = xy – 3x – 3y + 9 = (x-3)(y-3)$ Et puisque : $(x \in S \text{ et } y \in S) \implies (x > 3 \text{ et } y > 3) \implies (x-3)(y-3) > 0 \implies x * y – 3 > 0$ alors : $\left(\forall (x;y) \in S^2\right) x * y \in S$. Par suite, $S$ est une partie stable de $(\mathbb{R};*)$.
Application

Applications

  1. On considère l'ensemble : $S = \{x^2+y^2 \ / \ (x;y) \in \mathbb{N}^2\}$
    1. Montrer $S$ est une partie stable de $(\mathbb{N};\times)$.
    2. L'ensemble $S$ est-il stable pour l'addition dans $\mathbb{N}$ ? Justifier.
  2. On considère les ensembles : $A = \{3^n \times 2^m \ / \ (n;m) \in \mathbb{N}^2\}$ et $B = \{n^2 \ / \ n \in \mathbb{N}\}$.
    1. Étudier la stabilité de $A$ pour l'addition et la multiplication dans $\mathbb{N}$.
    2. Même question pour l'ensemble $B$.
  3. On considère l'ensemble : $G = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0
    a & 1 & 0
    b & c & 1 \end{pmatrix} \ / \ (a;b;c) \in \mathbb{R}^3 \right\}$. Montrer que $G$ est une partie stable de $(\mathcal{M}_3(\mathbb{R});\times)$.
  4. Dans l'espace $\mathcal{V}_3$ rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$, on considère l'ensemble :
    \[E = \{\vec{0}; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k}; -\vec{i}; -\vec{j}; -\vec{k}\}\]
    1. Dresser la table de la loi $\wedge$ dans $E$. ($\wedge$ étant le produit vectoriel dans $\mathcal{V}_3$).
    2. Vérifier que $E$ est une partie stable de $(\mathcal{V}_3;\wedge)$.

II.PROPRIÉTÉS D’UNE LOI DE COMPOSITION INTERNE

1.ASSOCIATIVITÉ – COMMUTATIVITÉ

Définition

Définition 3

Soit $(E;*)$ un ensemble muni d'une loi de composition interne.
  • On dit que la loi $*$ est associative dans $(E;*)$ si :
    \[\left(\forall (a;b;c) \in E^3\right) (a * b) * c = a * (b * c)\]
  • On dit que la loi $*$ est commutative dans $(E;*)$ si :
    \[\left(\forall (a;b) \in E^2\right) a * b = b * a\]
Exemple

Exemples

  1. Sur $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$, l'addition et la multiplication sont associatives et commutatives.
  2. Sur l'ensemble $\mathcal{P}(E)$ des parties de $E$, les lois $\cap$ et $\cup$ sont associatives et commutatives.
  3. Sur $\mathbb{R}$, la soustraction n'est ni commutative, ni associative. Contre-exemples :
    \[5 – 7 \ne 7 – 5 \text{et} (7 – 5) – 1 \ne 7 – (5 – 1)\]
  4. L'addition matricielle est associative et commutative dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ et $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$.
  5. La multiplication matricielle est associative dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ et $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$, mais pas commutative.
  6. Dans $\mathcal{V}_3$, le produit vectoriel n'est ni commutative, ni associative. Contre-exemples : Si $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ un repère orthonormé direct, alors : $\vec{i} \wedge \vec{j} = -\vec{j} \wedge \vec{i}$ et $(\vec{i} \wedge \vec{j}) \wedge \vec{j} \ne \vec{i} \wedge (\vec{j} \wedge \vec{j})$.
  7. La composition des fonctions est associative dans $\mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R})$, mais pas commutative.
Remarque

Remarques

  • La loi $*$ n'est pas commutative dans $(E;*)$ signifie que : $\left(\exists (a;b) \in E^2\right) a * b \ne b * a$.
  • La loi $*$ n'est pas associative dans $(E;*)$ signifie que : $\left(\exists (a;b;c) \in E^3\right) (a * b) * c \ne a * (b * c)$.
  • Si la loi $*$ est associative dans $(E;*)$, alors on peut supprimer les parenthèses et écrire :
    \[(a * b) * c = a * (b * c) = a * b * c\]
Remarque

À retenir

Si la loi $*$ est associative dans $(E;*)$, alors, par récurrence sur $n \in \mathbb{N}^*$, on définit en général des applications $(x_1; x_2; \dots; x_n) \mapsto x_1 * x_2 * \dots * x_n$ de $E^n$ dans $E$ : pour $n = 1$, on part de l'application identique de $E$, puis on utilise la formule de récurrence : $x_1 * x_2 * \dots * x_n = \left(x_1 * x_2 * \dots * x_{n-1}\right) * x_n$, $n \ge 2$. Si $x_1, x_2, \dots, x_n \in E$ et $y_1, y_2, \dots, y_m \in E$ ($n, m \in \mathbb{N}^*$), on a :
\[\left(x_1 * x_2 * \dots * x_n\right) * \left(y_1 * y_2 * \dots * y_m\right) = x_1 * x_2 * \dots * x_n * y_1 * y_2 * \dots * y_m\]
On le montre par récurrence sur $m \in \mathbb{N}^*$. En notation additive, $x_1 + x_2 + \dots + x_n$ est aussi noté $\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i$, en notation multiplicative, $x_1 \cdot x_2 \dots x_n$ est aussi noté $\displaystyle\prod_{i=1}^n x_i$. Le cas où tous les $x_i$ sont égaux à un même élément $x$ est important.
Définition

Définition 4

Soit $E$ un ensemble muni d'une loi associative et $x \in E$. Pour tous entiers non nuls $m$ et $n$, on a :
  • En notation additive : $mx + nx = (m+n)x$ et $m(nx) = (mn)x$.
  • En notation multiplicative : $x^m x^n = x^{m+n}$ et $\left(x^m\right)^n = x^{mn}$.
Application

Applications

  1. Étudier la commutativité et l'associativité de la loi de composition interne $*$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
    \[\left(\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2\right) x * y = 2^{xy}\]
  2. Étudier la commutativité et l'associativité de la loi de composition interne $\top$ définie sur $E = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ par :
    \[(a;b) \top (x;y) = (ax; ay+bx)\]
  3. Étudier la commutativité et l'associativité de la loi de composition interne $\bot$ définie sur $\mathbb{C}$ par :
    \[\left(\forall (z;z') \in \mathbb{C}^2\right) z \bot z' = iz\bar{z}' + 2z + (1+i)z' + 2\]
  4. On munit un ensemble $E$ d'une loi de composition interne $*$ (notation multiplicative) telle que :
    \[\left(\forall (x;y) \in E^2\right) x(xy) = (yx)x = y\]
    Montrer que la loi $*$ est commutative.
  5. Soit $(E;\bullet)$ un ensemble muni d'une loi multiplicative telle que : $\left(\forall (x;y;z;\omega) \in E^4\right) x(\omega x)(yz) = \omega x$. Montrer que : $\left(\forall (a;b;c) \in E^3\right) c = ab \implies c^2 = c$. En déduire que : $\left(\forall (a;b;x) \in E^3\right) (ab)x = ax$.

2.L’ÉLÉMENT NEUTRE

Définition

Définition 5

Soit $(E;*)$ un ensemble muni d'une loi de composition interne. Un élément $e$ de $(E;*)$ est dit neutre si : $\left(\forall x \in E\right) e * x = x * e = x$.
Exemple

Exemples

  1. $0$ est un élément neutre de $(\mathbb{N};+)$, $(\mathbb{Z};+)$, $(\mathbb{Q};+)$, $(\mathbb{R};+)$ et $(\mathbb{C};+)$.
  2. $1$ est un élément neutre de $(\mathbb{N};\times)$, $(\mathbb{Z};\times)$, $(\mathbb{Q};\times)$, $(\mathbb{R};\times)$ et $(\mathbb{C};\times)$.
  3. Dans l'ensemble $\mathcal{P}(E)$, $\emptyset$ est neutre pour $\cup$ et $E$ est neutre pour $\cap$.
  4. Dans $\mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R})$, la fonction identique $\text{Id}: x \mapsto x$ est neutre pour la composition.
  5. La matrice nulle $O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0
    0 & 0 \end{pmatrix}$ est neutre dans $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R});+)$ : $\left(\forall M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\right) M + O_2 = O_2 + M$.
  6. La matrice identité $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0
    0 & 1 \end{pmatrix}$ est neutre dans $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R});\times)$ : $\left(\forall M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})\right) M \times I_2 = I_2 \times M$. De même, la matrice identité $I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0
    0 & 1 & 0
    0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ est neutre dans $(\mathcal{M}_3(\mathbb{R});\times)$.
  7. La loi soustraction « $-$ » définie sur $\mathbb{R}$ ne possède pas d'élément neutre.
  8. La loi $\bot$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $\left(\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2\right) x \bot y = x+y+2+xy$ ne possède pas d'élément neutre. En effet, il est impossible de trouver $e \in \mathbb{R}$ tel que : $\left(\forall x \in \mathbb{R}\right) x+e+2+xe = x$.
Remarque

Remarques

  • Si la loi $*$ est commutative dans $(E;*)$, alors une des relations de la définition 5 suffit. On peut prendre alors soit « $\left(\forall x \in E\right) e * x = x$ » ou bien « $\left(\forall x \in E\right) x * e = x$ ».
  • Si $S$ est une partie stable de $(E;*)$, et si $e$ est neutre dans $(E;*)$ alors cela n'implique pas que $e$ est neutre dans $(S;*)$. À titre d'exemple : Prenons $E = \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ et $S = \{\overline{0}; \overline{2}; \overline{4}\}$. $\overline{1}$ est neutre dans $E$ et $\overline{4}$ est neutre dans $S$.
Application

Applications

  1. On munit l'ensemble $\mathbb{Z}$ d'une loi de composition interne $*$ définie par : $\left(\forall (x;y) \in \mathbb{Z}^2\right) x * y = x + y – 3$. Montrer que $(\mathbb{Z};*)$ admet un élément neutre.
  2. On considère l'ensemble : $E = \left\{(x;y) \in \mathbb{Z}^2 \ / \ x^2 – 2y^2 = 1\right\}$. On définit sur $E$ l'opération suivante : $(x;y) * (a;b) = (xa+2yb; xb+ya)$.
    1. Montrer que $*$ est une loi de composition interne sur $E$.
    2. La loi $*$ admet-elle un élément neutre ? Justifier.
  3. On considère l'ensemble : $A = \left\{ \begin{pmatrix} \alpha & \beta
    0 & \alpha \end{pmatrix} \ / \ (\alpha;\beta) \in \mathbb{R}^2 \right\}$.
    1. Montrer que $\times$ est une loi de composition interne sur $A$.
    2. Est-ce-que $(A;\times)$ admet un élément neutre ? Justifier.
Proposition

Proposition 1

Soit $(E;*)$ un ensemble muni d'une loi de composition interne. Si $e$ et $e'$ sont deux éléments neutres pour la loi $*$ dans $E$, alors $e = e'$. Autrement dit : un élément neutre pour une loi de composition interne, lorsqu'il existe, est unique.
Preuve

Preuve

Si deux tels éléments existent, on a $e * e' = e$ car $e'$ est neutre, et $e * e' = e'$ car $e$ est neutre, d'où : $e = e'$.

3.SYMÉTRIQUE D’UN ÉLÉMENT

Définition

Définition 6

Soit $(E;*)$ un ensemble muni d'une loi de composition interne et possédant un élément neutre $e$. Un élément $a \in E$ est dit symétrisable (ou inversible) pour $*$ s'il existe un élément $a'$ de $E$ tel que $a * a' = a' * a = e$. Un tel élément $a'$ (s'il existe) est appelé un symétrique (ou inverse) de $a$ pour $*$.
Remarque

Remarques

  • Si $a'$ est un symétrique de $a$ pour la loi $*$, alors $a$ est un symétrique de $a'$ pour la même loi.
  • Si la loi $*$ est commutative, alors on peut se contenter de l'une des relations $a * a' = e$ ou $a' * a = e$.
  • Si $a'$ est un symétrique de $a$ pour la loi $*$, on dit alors que $a$ et $a'$ sont symétriques dans $(E;*)$.
Exemple

Exemples

  1. Dans $(\mathbb{Z};+)$, $(\mathbb{Q};+)$, $(\mathbb{R};+)$ et $(\mathbb{C};+)$, tout élément $a$ admet un symétrique qui est son opposé $-a$.
  2. Dans $(\mathbb{Q}^*;\times)$, $(\mathbb{R}^*;\times)$ et $(\mathbb{C}^*;\times)$, tout élément $a$ admet un symétrique qui est son inverse $a^{-1}$ ou $\dfrac{1}{a}$.
  3. Dans $(\mathcal{P}(E);\cap)$, l'unique élément symétrisable est $E$ et, dans $(\mathcal{P}(E);\cup)$, l'unique élément symétrisable est l'ensemble vide $\emptyset$.
Remarque

À retenir

  • S'il existe, l'élément neutre de $(E;*)$ est symétrisable pour $*$ et il est son propre symétrique.
  • Dans $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z};+)$, tout élément $\overline{a}$ admet un symétrique qui est $-\overline{a}$ (ou encore $\overline{(-a)}$).
  • Dans $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z};\times)$, tout élément $\overline{a}$ différent de $\overline{0}$ admet un inverse.
  • Dans $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z};\times)$, l'élément $\overline{2}$ n'admet pas d'inverse.
  • Dans $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R});\times)$, la matrice $\begin{pmatrix} 2 & 5
    1 & 3 \end{pmatrix}$ admet un inverse qui est $\begin{pmatrix} 3 & -5
    -1 & 2 \end{pmatrix}$, par contre la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 1
    1 & 1 \end{pmatrix}$ n'en a pas.
    • \end{tcolorbox}
    Proposition

    Proposition 2

    Soit $(E;*)$ un ensemble muni d'une loi de composition interne associative et possédant un élément neutre $e$. Si un élément $a \in E$ est symétrisable, alors, le symétrique de $a$ est unique.
    Preuve

    Preuve

    Supposons qu'il existe deux éléments $b$ et $c$ dans $E$ tels que : $a * b = b * a = e$ \ et \ $a * c = c * a = e$. L'associativité de la loi $*$ permet alors d'écrire : $b = b * e = b * (a * c) = (b * a) * c = e * c = c$, ce qui achève la démonstration.
    Remarque

    Remarques

    • Le symétrique d'un élément $a$ se note :
      • $a^{-1}$ pour une loi notée multiplicativement et s'appelle inverse de $a$.
      • $-a$ pour une loi notée additivement et s'appelle opposé de $a$.
    • Lorsque $f$ est une bijection de $E$ dans $E$, il n'y a donc pas ambiguïté dans la notation $f^{-1}$ : il s'agit aussi bien de son application réciproque que de son inverse pour la loi $\circ$.
    Proposition

    Proposition 3

    Soit $(E;*)$ un ensemble muni d'une loi de composition interne associative et possédant un élément neutre $e$. Si $a$ et $b$ sont deux éléments symétrisables, alors $a * b$ est aussi symétrisable et son symétrique est $(a * b)' = b' * a'$, où $a'$ et $b'$ sont respectivement les symétriques de $a$ et $b$.
    Preuve

    Preuve

    Il suffit de vérifier que : $(a * b) * (b' * a') = e \text{et} (b' * a') * (a * b) = e$, ce qui découle immédiatement de l'associativité de $*$.
    Exemple

    Exemples

    1. Si $f$ et $g$ sont deux bijections d'un ensemble $E$ dans lui-même, alors $f \circ g$ est également bijective et sa bijection réciproque est $g^{-1} \circ f^{-1}$ : $(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$.
    2. Si $A$ et $B$ sont deux matrices inversibles dans $(\mathcal{M}_3(\mathbb{R});\times)$, alors le produit $AB$ est également inversible et son inverse est $B^{-1} A^{-1}$ : $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$.
    Application

    Applications

    1. On munit $\mathbb{R}$ d'une loi de composition interne définie comme suit : $\left(\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2\right) x * y = x + y + \dfrac{1}{2}xy$.
      1. Montrer que la loi $*$ est associative.
      2. Montrer que $*$ admet un élément neutre que l'on déterminera.
      3. Déterminer les éléments symétrisables pour la loi $*$.
      4. Montrer que le symétrique de $-1$ est $2$, et que le symétrique de $6$ est $-3$.
    2. On définit sur l'intervalle $I = \left]-1; 1\right[$ une loi $\top$ comme suit : $\left(\forall (x;y) \in I^2\right) x \top y = \dfrac{x+y}{1+xy}$.
      1. Montrer que $\top$ est une loi de composition interne sur $I$.
      2. Montrer que la loi $\top$ est associative dans $I$.
      3. Déterminer l'élément neutre $e$ dans $(I;\top)$.
      4. Montrer que tout élément $x \in I$ admet un symétrique dans $(I;\top)$.
    3. On munit $\mathbb{C}$ de la loi de composition interne définie comme suit :
      \[\left(\forall (z;z') \in \mathbb{C}^2\right) z \bot z' = zz' + i(z+z') – (1+i)\]
      1. Montrer que $\bot$ est commutative et associative.
      2. Montrer que $\bot$ admet un élément neutre que l'on déterminera.
      3. Déterminer les éléments symétrisables pour la loi $\bot$.

    4.ÉLÉMENT RÉGULIER D’UNE LOI DE COMPOSITION INTERNE

    Définition

    Définition 7

    Soit $(E;*)$ un ensemble muni d'une loi de composition interne. Un élément $a \in E$ est dit régulier ou simplifiable si, et seulement si :
    \[\left(\forall (x;y) \in E^2\right) \begin{cases} a * x = a * y \implies x = y & (1) \\ x * a = y * a \implies x = y & (2) \end{cases}\]
    Remarque

    Remarque

    Si la loi $*$ est commutative dans $E$, alors l'une des implications $(1)$ ou $(2)$ suffit pour que l'élément $a$ soit régulier dans $(E;*)$.
    Exemple

    Exemples

    1. Dans $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, tout élément est régulier pour l'addition.
    2. Dans $\mathbb{R}^*$ ou $\mathbb{C}^*$, tout élément est régulier pour la multiplication.
    3. Soit $(E;*)$ un ensemble muni d'une loi de composition interne associative et possédant un élément neutre $e$. Alors, tout élément inversible de $E$ est régulier. En effet, soit $x \in E$ un élément inversible et $x'$ son inverse. Soit $(a;b) \in E^2$. On a : $x' * (x * a) = (x' * x) * a = e * a = a$ et de même $x' * (x * b) = b$. On en déduit donc que si $x * a = x * b$, alors $a = b$. On démontre de même que : $a * x = a * y \implies x = y$.
    4. Attention, un élément régulier n'est pas nécessairement inversible. À titre d'exemple, dans $(\mathbb{N};+)$, tout élément est régulier mais seul $0$ est inversible : $\left(\forall (a;x;y) \in \mathbb{N}^3\right) a + x = a + y \implies x = y$.
    Application

    Applications

    1. On considère l'ensemble $\mathbb{N}^*$ muni de la loi de composition interne définie par : $a \wedge b = c$ où $c$ est le plus grand commun diviseur des entiers $a$ et $b$. Est-ce-que tout élément de $\mathbb{N}^*$ est régulier dans $(\mathbb{N}^*;\wedge)$ ? Justifier.
    2. On définit sur l'ensemble $\mathbb{Q}_+^*$ une loi de composition interne comme suit :
      \[\left(\forall (x;y) \in \left(\mathbb{Q}_+^*\right)^2\right) x \top y = \dfrac{xy}{x+y}\]
      Déterminer les éléments réguliers dans $(\mathbb{Q}_+^*;\top)$.
    3. Soit $\mathcal{A}(E;E)$ l'ensemble des applications de $E$ dans $E$ muni de la loi de composition $\circ$.
      1. Montrer que les éléments $f$ qui vérifient : « Pour tous $g$ et $h$ de $\mathcal{A}(E;E)$, $f \circ h = f \circ g \implies h = g$ » sont les applications injectives.
      2. Montrer que les éléments $f$ qui vérifient : « Pour tous $g$ et $h$ de $\mathcal{A}(E;E)$, $h \circ f = g \circ f \implies h = g$ » sont les applications surjectives.
    4. Est-ce-que tout élément de $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R});\times)$ est régulier ? Justifier.

    III.MORPHISMES

    1.DÉFINITION D’UN MORPHISME

    Définition

    Définition 8

    Soit $(E;*)$ et $(F;\top)$ deux ensembles munis de lois de composition interne et soit $f$ une application de $E$ dans $F$. On dit que $f$ est un morphisme de $(E;*)$ dans $(F;\top)$ lorsque :
    \[\left(\forall (x;y) \in E^2\right) f(x * y) = f(x) \top f(y)\]
    Définition

    Définition 9

    • Un morphisme s'appelle aussi un homomorphisme.
    • Un endomorphisme de $(E;*)$ est un morphisme de $(E;*)$ dans lui-même.
    • Un isomorphisme est un morphisme bijectif.
    • Un automorphisme est un endomorphisme bijectif.
    Exemple

    Exemples

    1. On considère l'application :
      \[\begin{array}{ccccc} f & : & (\mathbb{Z};+) & \to & (\mathbb{Z}^*;\times) \\ & & x & \mapsto & 5^x \end{array}\]
      On a pour tout $(x;y) \in \mathbb{Z}^2$ : $f(x+y) = 5^{x+y} = 5^x \times 5^y = f(x) \times f(y)$. Par conséquent, $f$ est un morphisme de $(\mathbb{Z};+)$ dans $(\mathbb{Z}^*;\times)$.
    2. On considère l'application :
      \[\begin{array}{ccccc} g & : & \left]0; +\infty\right[ & \to & \mathbb{R} \\ & & x & \mapsto & \ln x \end{array}\]
      On a pour tout $(x;y) \in \left(\left]0; +\infty\right[\right)^2$ : $g(xy) = \ln(xy) = \ln x + \ln y = g(x) + g(y)$. Par conséquent, $g$ est un morphisme de $\left]0; +\infty\right[$ dans $\mathbb{R}$.
    3. On considère l'application :
      \[\begin{array}{ccccc} h & : & \mathbb{C} & \to & \mathbb{R} \\ & & z & \mapsto & |z| \end{array}\]
      On a pour tout $(z_1; z_2) \in \mathbb{C}^2$ : $h(z_1 \times z_2) = |z_1 \times z_2| = |z_1| \times |z_2| = h(z_1) \times h(z_2)$. Par conséquent, $h$ est un morphisme de $(\mathbb{C};\times)$ dans $(\mathbb{R};\times)$.
    4. On considère l'application :
      \[\begin{array}{ccccc} k & : & \mathbb{R} & \to & \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \\ & & x & \mapsto & \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{array}\]
      On a pour tout $(x;y) \in \mathbb{R}^2$ : $k(x+y) = \begin{pmatrix} 1 & x+y
      0 & 1 \end{pmatrix}$. D'autre part :
      \[k(x) \times k(y) = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & y \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & x+y \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = k(x+y)\]
      Par conséquent, $k$ est un morphisme de $(\mathbb{R};+)$ dans $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R});\times)$.
    5. On considère l'application :
      \[\begin{array}{ccccc} \varphi & : & \mathbb{R} & \to & \mathbb{C}^* \\ & & \theta & \mapsto & e^{i\theta} \end{array}\]
      On a pour tout $(\theta_1; \theta_2) \in \mathbb{R}^2$ : $\varphi(\theta_1 + \theta_2) = e^{i(\theta_1 + \theta_2)} = e^{i\theta_1} \times e^{i\theta_2} = \varphi(\theta_1) \times \varphi(\theta_2)$. Par conséquent, $\varphi$ est un morphisme de $(\mathbb{R};+)$ dans $(\mathbb{C}^*;\times)$.
    Application

    Applications

    1. Soit $f_a$ l'application définie de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}^2$ par : $\left(\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2\right) f_a(x;y) = \left(ax; \dfrac{y}{a}\right) (\text{où } a \in \mathbb{R}^*)$.
      1. Montrer que $f_a$ est une application bijective.
      2. Soit $\mathcal{F}$ l'ensemble des applications $f_a$ quand $a$ varie sur $\mathbb{R}^*$.
        • Déterminer l'application $f_a \circ f_{a'}$ où $(a;a') \in \left(\mathbb{R}^*\right)^2$.
        • En déduire que la composition des applications $\circ$ est une loi de composition interne sur $\mathcal{F}$.
      3. On considère l'application :
        \[\begin{array}{ccccc} h & : & \mathbb{R}^* & \to & \mathcal{F} \\ & & a & \mapsto & f_a \end{array}\]
        Montrer que $h$ est un morphisme de $(\mathbb{R}^*;\times)$ dans $(\mathcal{F};\circ)$.
    2. Soit $f$ l'application définie de $\mathcal{P}(E)$ dans $\mathcal{P}(E)$ par : $f(X) = C_E^X = E – X$.
      1. Montrer que $f$ est un morphisme de $(\mathcal{P}(E);\cap)$ dans $(\mathcal{P}(E);\cup)$.
      2. Montrer que $f$ est un morphisme de $(\mathcal{P}(E);\cup)$ dans $(\mathcal{P}(E);\cap)$.
      3. L'application $f$ est-elle un automorphisme ? Justifier.
    3. On considère l'ensemble : $\mathcal{E} = \left\{ M(x;y) = \begin{pmatrix} x & y
      -y & x+y \end{pmatrix} \ / \ (x;y) \in \mathbb{R}^2 \right\}$. Et soit $z_0 = a + ib$ un nombre complexe avec $(a;b) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^*$. On considère l'application :
      \[\begin{array}{ccccc} \phi & : & \mathcal{E} & \to & \mathbb{C} \\ & & M(x;y) & \mapsto & x + yz_0 \end{array}\]
      1. Montrer que $\phi$ est un isomorphisme de $(\mathcal{E};+)$ dans $(\mathbb{C};+)$.
      2. Déterminer le nombre complexe $z_0$ pour que $\phi$ soit un morphisme de $(\mathcal{E};\times)$ dans $(\mathbb{C};\times)$.

    2.PROPRIÉTÉS D’UN MORPHISME

    Proposition

    Proposition 4

    Soit $f$ un morphisme de $(E;*)$ dans $(F;\top)$.
    1. $f(E)$ est une partie stable de $(F;\top)$.
    2. Si la loi $*$ est associative dans $(E;*)$, alors la loi $\top$ est associative dans $(f(E);\top)$.
    3. Si la loi $*$ est commutative dans $(E;*)$, alors la loi $\top$ est commutative dans $(f(E);\top)$.
    4. Si la loi $*$ admet un élément neutre $e$ dans $(E;*)$, alors $f(e)$ est un élément neutre dans $(f(E);\top)$.
    5. Si la loi $*$ admet un élément neutre $e$ dans $(E;*)$, et un élément $x$ admet un symétrique $x'$ dans $(E;*)$, alors $f(x)$ admet un symétrique dans $(f(E);\top)$ qui est $f(x')$.
    Preuve

    Preuve

    1. Soit $y_1$ et $y_2$ deux éléments de $f(E)$. Il existe donc $(x_1; x_2) \in E^2$ tel que : $y_1 = f(x_1)$ et $y_2 = f(x_2)$. Puisque $f$ un morphisme de $(E;*)$ dans $(F;\top)$, alors : $y_1 \top y_2 = f(x_1) \top f(x_2) = f(x_1 * x_2)$. Comme $*$ est une loi de composition interne sur $E$, alors $x_1 * x_2 \in E$, et donc $f(x_1 * x_2) \in f(E)$. Par suite, $y_1 \top y_2 \in f(E)$. Ainsi, $f(E)$ est une partie stable de $(F;\top)$.
    2. Soit $(u; v; w) \in (f(E))^3$. Il existe donc $(x; y; z) \in E^3$ tel que : $u = f(x)$ et $v = f(y)$ et $w = f(z)$. Puisque $f$ un morphisme de $(E;*)$ dans $(F;\top)$, alors :
      \[(u \top v) \top w = (f(x) \top f(y)) \top f(z) = f(x * y) \top f(z) = f\left[(x * y) * z\right]\]
      Si la loi $*$ est associative dans $(E;*)$, alors :
      \[(u \top v) \top w = f\left[(x * (y * z)\right] = f(x) \top f(y * z) = f(x) \top \left[f(y) \top f(z)\right] = u \top (v \top w)\]
      Par suite, la loi $\top$ est associative dans $(f(E);\top)$.
    3. Supposons que la loi $*$ est commutative dans $(E;*)$. En conservant les notations de 1), on obtient :
      \[y_1 \top y_2 = f(x_1) \top f(x_2) = f(x_1 * x_2) = f(x_2 * x_1) = f(x_2) \top f(x_1) = y_2 \top y_1\]
      ce qui montre bien que la loi $\top$ est commutative dans $(f(E);\top)$.
    4. Soit $u \in f(E)$. Il existe alors $x \in E$ tel que $u = f(x)$. On suppose que la loi $*$ admet un élément neutre $e$ dans $(E;*)$. Il s'ensuit donc : $u \top f(e) = f(x) \top f(e) = f(x * e) = f(x) = u$. On montre de même que $f(e) \top u = u$, ce qui entraîne immédiatement que $f(e)$ est l'élément neutre dans $(f(E);\top)$.
    5. Soit $x'$ le symétrique de $x$ dans $(E;*)$. De $x * x' = e$ et $x' * x = e$, ajouté au fait que $f$ un morphisme de $(E;*)$ dans $(F;\top)$, on déduit : $f(x) \top f(x') = f(x * x') = f(e)$ et $f(x') \top f(x) = f(x' * x) = f(e)$. Comme $f(e)$ est un élément neutre dans $(f(E);\top)$, alors $f(x)$ admet un symétrique dans $(f(E);\top)$ qui est $f(x')$.
    Remarque

    Corollaire

    Si $f$ un isomorphisme de $(E;*)$ dans $(F;\top)$ (c'est-à-dire morphisme bijectif), alors $f$ transfère les propriétés de la loi $*$ dans $(E;*)$ vers la loi $\top$ de $(F;\top)$, et va ainsi conserver toutes les propriétés liées à cette loi. On exprime ce résultat en disant que $(E;*)$ et $(F;\top)$ ont la même structure.
    1