Fonctions primitives et calcul intégral

Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$ et $G$ celle de $g$ sur $I$. On sait que $F+G$ est une primitive de $f+g$ et $\lambda F$ est une primitive de $\lambda f$. Il s'ensuit que : On peut regrouper les deux formules de la propriété 2 dans la formule suivante : « dite de linéarité »

On a pour tout $x \in J$ : $F(x) = \varphi(v(x)) = \varphi \circ v(x)$ où $\varphi : x \mapsto \int_{a}^{x} f(t) dt$. Donc : $F = \varphi \circ v$ Puisque $v$ est dérivable sur $J$ avec $v(J) \subset I$, et $\varphi$ est dérivable sur $I$ avec $\varphi' = f$, alors la fonction $F$ est dérivable sur $J$ et on a pour tout $x \in J$ : $F'(x) = v'(x) \varphi'(v(x)) = v'(x) f(v(x))$

Soit $F$ une primitive de la fonction $f$ sur $I$. On a alors : On pose $G = F \circ u$. Puisque $u$ est dérivable sur $E$ et $u(E) \subset I$ et $F$ est dérivable sur $I$, alors $G$ est dérivable sur $E$ et on a : $G' = (F' \circ u) \times u' = (f \circ u) \times u'$. Par suite, $F \circ u$ est une primitive de $(f \circ u) \times u'$ sur $E$. Ainsi : $\int_{u(\alpha)}^{u(\beta)} f(x) dx = \int_\alpha^\beta f(u(t)) u'(t) dt$ Si $u$ est une bijection de $E$ vers $I$ alors pour tout $(a,b) \in I^2$ :

Soit $F$ une primitive de la fonction $f$ sur $[a;b]$. Donc : $\int_a^b f(x)dx = F(b) – F(a)$. Puisque $f$ est positive sur $[a;b]$, alors la fonction $F$ est croissante sur $[a;b]$, donc $F(b) – F(a) \ge 0$, d'où $\int_a^b f(x)dx \ge 0$. Si $f(x) \le g(x)$ pour tout $x \in [a;b]$, alors $\int_a^b (g(x) – f(x))dx \ge 0$, et donc $\int_a^b f(x)dx \le \int_a^b g(x)dx$.

Le plan est rapporté à un repère orthogonal $(O; \vec{i}, \vec{j})$. $f$ une fonction définie et continue sur le segment $[a; b]$ ($a < b$). $\mathscr{C}_f$ la courbe de $f$ dans le repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$. on rappelle que l'unité de mesure d'aire est l'aire du rectangle de dimensions $\|\vec{i}\|$ et $\|\vec{j}\|$. Soit $(\Delta)$ le domaine délimité par $\mathscr{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$. On note $\sigma(\Delta)$ ou $\sigma(f)$ l'aire du domaine $(\Delta)$.

• Le nombre positif $\int_a^b |f(x)|dx$ est appelé l'aire géométrique du domaine $(\Delta)$.
• Le nombre $\int_a^b f(x)dx$ est appelé l'aire algébrique du domaine $(\Delta)$.

• Dans le cas où la fonction $f$ est positive sur $[a; b]$, on a déjà vu du paragraphe 1.3, qui concerne l'interprétation géométrique de l'intégrale, que : $\sigma(\Delta) = \int_a^b f(x)dx$ (unité de mesure).
• Dans le cas où la fonction $f$ est négative sur $[a; b]$, alors $(\Delta) = \{M(x, y) / f(x) \le y \le 0\}$. En utilisant la symétrie axiale d'axe $(Ox)$ (axe des abscisses), on remarque bien que l'aire du domaine $\sigma(\Delta)$ est égale à l'aire du domaine $(\Gamma)$ délimité par $\mathscr{C}_{-f}$ (courbe de $-f$), l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = a$ et $x = b$. Donc : $\sigma(\Delta) = \sigma(\Gamma) = \int_a^b -f(x)dx$ Comme $|f| = -f$, alors $\sigma(\Delta) = \int_a^b |f(x)|dx$ (unité de mesure).
• Si la fonction $f$ change de signe sur $[a; b]$, par exemple il existe $c \in [a; b]$ tel que $f$ soit positive sur $[c; b]$ et négative sur $[a; c]$ alors : $\sigma(\Delta) = \sigma(\Delta_1) + \sigma(\Delta_2)$ avec $\sigma(\Delta_1) = \int_a^c -f(x)dx$ et $\sigma(\Delta_2) = \int_c^b f(x)dx$ et donc :
  \[\sigma(\Delta) = \int_a^c |f(x)|dx + \int_c^b |f(x)|dx = \int_a^b |f(x)|dx (\text{unité d'aire}).\]

Soit $v(t)$ le volume de l'ensemble des points appartenant à $(S)$ et qui sont compris entre les plans d'équations $z = a$ et $z = t$. Et soit $t_0 \in [a, b]$ et $h \in \mathbb{R}_+^*$ tel que $t_0 + h \in [a; b]$. le volume de l'ensemble des points de $(S)$ et qui sont compris entre les plans d'équations $z = t_0$ et $z = t_0 + h$ est $v(t_0 + h) – v(t_0)$. Ce volume est encadré par les volumes des cylindres de hauteur $h$ et d'aires de bases respectives $S(t_0)$ et $S(t_0 + h)$. Si $S(t_0) \le S(t_0 + h)$, on obtient : $h S(t_0) \le v(t_0 + h) – v(t_0) \le h S(t_0 + h)$ Si $S(t_0 + h) \le S(t_0)$, on obtient : $h S(t_0 + h) \le v(t_0 + h) – v(t_0) \le h S(t_0)$ Dans les deux cas on a : $\left|\frac{v(t_0 + h) – v(t_0)}{h} – S(t_0)\right| \le \left|S(t_0 + h) – S(t_0)\right|$ Et puisqu'on a supposé que la fonction $S$ est continue sur $[a, b]$ alors $\lim_{h \to 0^+} S(t_0 + h) = S(t_0)$ et donc : Il s'ensuit que $v$ est dérivable sur $[a, b]$ et pour tout $t \in [a; b]$, $v'(t) = S(t)$. Cela signifie donc que $v$ est la primitive de $S$ qui s'annule en $a$. Donc, pour tout $t \in [a; b]$ : $v(t) = \int_a^t S(x)dx$ Par suite, le volume du solide $(S)$ est : $v(S) = v(b) = \int_a^b S(x)dx$ ou encore $v(S) = \int_a^b S(t)dt$.

Pour tout entier $n \ge 2$ et pour tout $k \in \{0, 1, \dots, n-1\}$, on a : Il s'ensuit donc que : $\int_{x_k}^{x_{k+1}} m_k dx \le \int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x)dx \le \int_{x_k}^{x_{k+1}} M_k dx$ C'est-à-dire que : $m_k(x_{k+1} – x_k) \le \int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x)dx \le M_k(x_{k+1} – x_k)$ Et puisque $x_{k+1} – x_k = \frac{b-a}{n}$ alors : D'après la relation de Chasles pour les intégrales, on a : $\sum_{k=0}^{n-1} \int_{x_k}^{x_{k+1}} f(x)dx = \int_a^b f(x)dx$ Et par suite, pour tout $n \ge 2$ : $\mu_n \le \int_a^b f(x)dx \le \lambda_n$.