I.FONCTION EXPONENTIELLE NÉPÉRIENNE
1.DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES
Définition 1
La fonction réciproque de la fonction logarithme népérienne est appelée la fonction exponentielle népérienne (ou la fonction exponentielle), et on la note $\exp$.
Remarques
- La fonction $\ln$ est une bijection de $\mathbb{R}_+^*$ vers $\mathbb{R}$ : $ (\forall \beta \in \mathbb{R})(\exists! \alpha \in \mathbb{R}_+^*) \beta = \ln(\alpha)$
- Par définition de la fonction $\exp$ : $ (\forall x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R}_+^*) (y = \exp(x) \Leftrightarrow x = \ln(y))$
- $\exp(0) = 1$ et $\exp(1) = e$ car : $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$
Proposition 1
- La fonction $\exp$ est une bijection de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}_+^*$.
- La fonction $\exp$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
- On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $ \exp(x) > 0 \text{et} \ln(\exp(x)) = x$
- On a pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$ : $ \exp(\ln x) = x$
Corollaire
- Pour tout $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ : $ (\exp(x) = \exp(y) \Leftrightarrow x = y) \text{et} (\exp(x) < \exp(y) \Leftrightarrow x < y)$
- Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $ (\exp(x) = 1 \Leftrightarrow x = 0) \text{et} (\exp(x) < 1 \Leftrightarrow x 1 \Leftrightarrow x > 0)$
Exemples
- Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\exp\left(\dfrac{x+5}{2x+3}\right) = \exp\left(\dfrac{1}{x-1}\right)$
Cette équation est définie pour les réels $x$ tels que $2x+3 \neq 0$ et $x-1 \neq 0$, c'est-à-dire $x \in \mathbb{R} – \left\{1; \dfrac{-3}{2}\right\}$.
On a pour tout $x \in \mathbb{R} – \left\{1; \dfrac{-3}{2}\right\}$ :
\[\exp\left(\dfrac{x+5}{2x+3}\right) = \exp\left(\dfrac{1}{x-1}\right) \Leftrightarrow \dfrac{x+5}{2x+3} = \dfrac{1}{x-1} \Leftrightarrow (x+5)(x-1) = 2x+3 \Leftrightarrow x^2+2x-8 = 0\]Les solutions de l'équation $x^2+2x-8 = 0$ sont $-4$ et $2$, qui sont dans $\mathbb{R} – \left\{1; \dfrac{-3}{2}\right\}$. Par suite, l'ensemble solution de l'équation est : $S = \{2; -4\}$
- Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $\exp(2x+1) \leq \exp\left(\dfrac{6}{x}\right)$
Cette inéquation est définie pour tout réel non nul. On a donc pour tout $x \in \mathbb{R}^*$ :
\[\exp(2x+1) \leq \exp\left(\dfrac{6}{x}\right) \Leftrightarrow 2x+1 \leq \dfrac{6}{x} \Leftrightarrow \dfrac{2x^2+x-6}{x} \leq 0\]En étudiant le signe de $\dfrac{x^2+x-6}{x}$ on obtient comme ensemble solutions : $S = ]-\infty; -2] \cup \left]0; \dfrac{3}{2}\right]$
Applications
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations et les inéquations suivantes :
\[\exp(-x^2) = \exp\left(\dfrac{3x+1}{x-5}\right) ; \exp\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right) = e^2 ; \exp(-x^2) > \exp(-x)\]
\[\exp(5x^2-7x+2) \leq 1 ; \exp\left(\dfrac{1}{x+7}\right) \leq \exp\left(\dfrac{1}{(x+7)^2} – 12\right)\]
2.PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES
Proposition 2
Pour tous réels $x$ et $y$ on a : $ \exp(x+y) = \exp(x) \times \exp(y)$
Preuve
Posons $\exp(x) = t$ et $\exp(y) = s$. On a alors : $x = \ln(t)$ et $y = \ln(s)$
On sait que $\ln(t) + \ln(s) = \ln(st)$, donc $x+y = \ln(ts)$ et alors $\exp(x+y) = ts = \exp(x) \cdot \exp(y)$.
On peut dire donc que la fonction $\exp$ transforme les sommes en produits, et en utilisant un raisonnement par récurrence on peut montrer la propriété suivante :
Proposition 3
Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et pour tous réels $x_1, x_2, \ldots, x_n$, on a :
\[\exp(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) = \exp(x_1) \cdot \exp(x_2) \ldots \exp(x_n)\text{, c'est-à-dire : }\exp\left(\sum_{k=1}^n x_k\right) = \prod_{k=1}^n \exp(x_k)\]
À retenir
De la proposition 2, on déduit les résultats suivants :
Proposition 4
Soit $x$ et $y$ deux nombres réels, et $r$ un nombre rationnel. Alors :
\[\exp(-x) = \dfrac{1}{\exp(x)} ; \exp(x-y) = \dfrac{\exp(x)}{\exp(y)} ; \exp(rx) = (\exp(x))^r\]
3.UNE AUTRE ÉCRITURE DE LA FONCTION $\exp$
À retenir
On a $\exp(1) = e$. On a déjà vu que pour tout $x \in \mathbb{R}$ et pour tout $r \in \mathbb{Q}$ : $\exp(rx) = (\exp(x))^r$
En particulier pour $x = 1$ : $\exp(r) = (\exp(1))^r = e^r$
On prolongera cette écriture en notant pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $ \exp(x) = e^x$
Remarquons enfin que cette nouvelle notation est compatible avec les notations des puissances connues. Avec cette nouvelle notation, on résumera les résultats vus précédemment comme suit :
- $(\forall x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R}_+^*) y = e^x \Leftrightarrow x = \ln y$
- $(\forall x \in \mathbb{R}) e^x > 0$
- $(\forall x \in \mathbb{R}) \ln(e^x) = x \text{et} (\forall x \in \mathbb{R}_+^*) e^{\ln x} = x$
- Pour tout $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ : $ (e^x = e^y \Leftrightarrow x = y) \text{et} (e^x < e^y \Leftrightarrow x < y)$
- Pour tout $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ et pour tout $r \in \mathbb{Q}$ :
\[e^{x+y} = e^x \times e^y ; e^{-x} = \dfrac{1}{e^x} ; e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^y} ; e^{rx} = (e^x)^r\]
Exemples
- Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{x^2} \cdot \left(e^x\right)^3 = \left(e^{-x}\right)^2 \cdot e^{-7}$
On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
\[e^{x^2} \cdot \left(e^x\right)^3 = \left(e^{-x}\right)^2 \cdot e^{-7} \Leftrightarrow e^{x^2} \cdot e^{3x} = e^{-2x} \cdot e^{-7} \Leftrightarrow e^{x^2+3x} = e^{-5x-7} \Leftrightarrow x^2+8x+7 = 0\]Les solutions de l'équation $x^2+8x+7 = 0$ sont $-7$ et $-1$. D'où l'ensemble solution est $S = \{-7; -1\}$.
- Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $e^{2x-3} – (e+1)e^{x-2} + 1 < 0$
On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
\[e^{2x-3} – (e+1)e^{x-2} + 1 < 0 \Leftrightarrow e^{-3}\left(e^{2x} – (e+1)e^{x+1} + e^3\right) < 0 \Leftrightarrow e^{2x} – (e+1)e^{x+1} + e^3 < 0\]En posant $t = e^x$ on obtient :\[e^{2x} – (e+1)e^{x+1} + e^3 < 0 \Leftrightarrow (e^x – e)(e^x – e^2) < 0 \Leftrightarrow e < e^x < e^2 \Leftrightarrow 1 < x < 2\]Par suite, l'ensemble solution de l'inéquation est : $S = ]1; 2[$
Applications
- On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{2e^{2x}}{e^{2x}+1}$. Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R}) f(x) + f(-x) = 2$
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $e^{3x-1} – e^{2x-1} = 2e^{x-1} – 2$
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $\dfrac{\left(e^{2x}-16\right)\left(e^x-1\right)}{e^{x+1}-e} \geq 0$
4.DÉRIVÉE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE NÉPÉRIENNE
Proposition 5
La fonction $\exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on a : $ (\forall x \in \mathbb{R}) \exp'(x) = \exp(x)$
Ce qui s'écrit aussi : $ (\forall x \in \mathbb{R}) \left(e^x\right)' = e^x$
Preuve
Posons $f(x) = \ln x$ où $x \in \mathbb{R}_+^*$. On a donc : $f^{-1}(x) = e^x$ et $x \in \mathbb{R}$.
Puisque $f'(x) = \dfrac{1}{x} \neq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, alors la fonction $f^{-1}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on a :
\[\left(e^x\right)' = \left(f^{-1}\right)'(x) = \dfrac{1}{f'\left(f^{-1}(x)\right)} = \dfrac{1}{\frac{1}{e^x}} = e^x\]
En utilisant la composée de deux fonctions dérivables, on montre la proposition suivante :Proposition 6
Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ alors la fonction $x \mapsto e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et on a :
\[(\forall x \in I) \left(e^{u(x)}\right)' = u'(x)e^{u(x)}\]
Exemples
Déterminons les dérivées des fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par :
\[f(x) = e^{\sqrt{2x+1}} ; g(x) = e^{-2x^2} – 3e^{3x+1} ; h(x) = e^{-\dfrac{x+1}{x-3}}\]
- La fonction $x \mapsto \sqrt{2x+1}$ est dérivable sur $\left]-\dfrac{1}{2}; +\infty\right[$ et sa dérivée est $x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}$. Donc la fonction $f$ est dérivable sur $\left]-\dfrac{1}{2}; +\infty\right[$ et on a pour tout $x \in \left]-\dfrac{1}{2}; +\infty\right[$ : $ f'(x) = \dfrac{e^{\sqrt{2x+1}}}{\sqrt{2x+1}}$
- Les fonctions polynomiales $x \mapsto -2x^2$ et $x \mapsto 3x+1$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$, et leurs dérivées sont $x \mapsto -4x$ et $x \mapsto 3$ respectivement. Donc la fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et on a pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
\[g'(x) = -4xe^{-2x^2} – 9e^{3x+1}\]
- La fonction rationnelle $x \mapsto -\dfrac{x+1}{x-3}$ est dérivable sur chacun des intervalles $]3; +\infty[$ et $]-\infty; 3[$, et sa dérivée est $x \mapsto \dfrac{4}{(x-3)^2}$ pour tout $x \in \mathbb{R} – \{3\}$. Donc la fonction $h$ est dérivable sur chacun des intervalles $]3; +\infty[$ et $]-\infty; 3[$, et on a pour tout $x \in \mathbb{R} – \{3\}$ : $ h'(x) = \dfrac{4}{(x-3)^2}e^{-\frac{x+1}{x-3}}$
Corollaire
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Les primitives de la fonction $x \mapsto u'(x)e^{u(x)}$ sur $I$ sont les fonctions de la forme $x \mapsto e^{u(x)} + \lambda$ où $\lambda$ est une constante réelle.
Exemples
Déterminons les primitives des fonctions $f$, $g$ et $h$ définies par :
\[f(x) = \dfrac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} ; g(x) = \dfrac{e^{\text{Arc}\tan x}}{1+x^2} ; h(x) = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}e^{\sqrt[3]{x}}\]
- Posons : $u(x) = \sqrt{x}$ ; donc $f'(x) = 2u'(x)e^{u(x)}$. Par suite, les primitives de la fonction $f$ sont :
\[x \mapsto 2e^{\sqrt{x}} + \lambda\text{ où }\lambda \in \mathbb{R}.\]
- Posons : $v(x) = \text{Arc}\tan x$ ; donc $g'(x) = v'(x)e^{v(x)}$. Par suite, les primitives de la fonction $g$ sont :
\[x \mapsto e^{\text{Arc}\tan x} + \lambda\text{ où }\lambda \in \mathbb{R}.\]
- Posons : $w(x) = \sqrt[3]{x}$ ; donc $h(x) = 3w'(x)e^{w(x)}$. Par suite, les primitives de la fonction $h$ sont :
\[x \mapsto 3e^{\sqrt[3]{x}} + \lambda\text{ où }\lambda \in \mathbb{R}.\]
Applications
- Déterminer les dérivées des fonctions définies par les expressions suivantes :
\[f(x) = e^{\sqrt{2x^2-x+5}} ; g(x) = e^{\frac{2}{x^2}-\frac{1}{\sqrt{x}}} ; h(x) = xe^{\frac{2x}{x^2-1}} ; k(x) = \dfrac{\sin(x)}{e^{\cos(2x)}}\]
- Déterminer les primitives des fonctions définies par les expressions suivantes :
\[u(x) = \left(4 – \dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)e^{2x-\sqrt{x}} ; v(x) = -\dfrac{\ln^2 x}{x}e^{\left(\ln x\right)^3} ; w(x) = \dfrac{\sin x}{1+\cos x}e^{1+\cos x}\]
5.LIMITES FONDAMENTALES
Proposition 7
- On a les limites fondamentales suivantes :
\[\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty ; \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 ; \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty ; \lim_{x \to -\infty} xe^x = 0 ; \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x-1}{x} = 1\]
- Si $a$ est un réel non nul alors : $ \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{ax}-1}{x} = a \text{et} \lim_{x \to a} \dfrac{e^x-e^a}{x-a} = e^a$
Preuve
Tous ces résultats se déduisent des limites de la fonction logarithme népérienne.
Les résultats $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{ax}-1}{x} = a$ et $\lim_{x \to a} \dfrac{e^x-e^a}{x-a} = e^a$ peuvent être démontrés en utilisant le nombre dérivé.
Proposition 8
Pour tout entier naturel $n$, on a : $ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty ; \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0 ; \lim_{x \to +\infty} x^n e^{-x} = 0$
Preuve
- On a pour tout $x \in \mathbb{R}^*$ :
\[\dfrac{e^x}{x^n} = \dfrac{\left(e^{\frac{x}{n}}\right)^n}{x^n} = \left(\dfrac{e^{\frac{x}{n}}}{x}\right)^n = \left(\dfrac{1}{n} \dfrac{e^{\frac{x}{n}}}{\frac{x}{n}}\right)^n\text{, et donc : }\dfrac{e^x}{x^n} = \dfrac{1}{n^n} \left(\dfrac{e^{\frac{x}{n}}}{\frac{x}{n}}\right)^n.\text{ En posant }t = \dfrac{x}{n}\text{ on obtient : }\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = \lim_{t \to +\infty} \dfrac{1}{n^n}\left(\dfrac{e^t}{t}\right)^n\]Puisque $\lim_{t \to +\infty} \dfrac{e^t}{t} = +\infty$, alors $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$. De plus, on a aussi : $ \lim_{x \to +\infty} x^n e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^n}{e^x} = 0$
- On a : $ \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = \lim_{X \to +\infty} (-X)^n e^{-X} = \lim_{X \to +\infty} \dfrac{(-1)^n X^n}{e^X} \text{(Ici on a posé }X = -x\text{)}$ Puisque $\lim_{X \to +\infty} \dfrac{e^X}{X^n} = +\infty$ alors $\lim_{X \to +\infty} \dfrac{X^n}{e^X} = 0$. Par suite : $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$
Exemples
- Calculons les limites suivantes : $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^2+3x+4}$ et $\lim_{x \to -\infty} \left(x^3-x^2+5x\right)e^x$
\[\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^2+3x+4} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^2\left(1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x^2}\right)} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^2} \times \dfrac{1}{1+\dfrac{3}{x}+\dfrac{4}{x^2}} = +\infty\]Car : $ \lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^2} = +\infty \text{et} \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3}{x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{4}{x^2} = 0$\[\lim_{x \to -\infty} \left(x^3-x^2+5x\right)e^x = \lim_{x \to -\infty} \left(x^3 e^x – x^2 e^x + 5xe^x\right) = 0\text{ car : }\lim_{x \to -\infty} x^3 e^x = \lim_{x \to -\infty} x^2 e^x = \lim_{x \to -\infty} xe^x = 0\]
- Calculons la limite $\lim_{x \to -\infty} x^5 e^{-x^2}$ : On a en posant $t = \sqrt{|x|}$ : $ \lim_{x \to -\infty} x^5 e^{-x^2} = \lim_{t \to +\infty} \left(-t^{10} e^{-t^4}\right) = 0$
- Calculons les limites suivantes : $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{\sin x}-1}{x}$ et $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{e^{\sqrt[3]{x}}-1}{\sqrt[3]{x}}$ On a : $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{\sin x}-1}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{\sin x}-1}{\sin x} \times \dfrac{\sin x}{x}$. Puisque $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{\sin x}-1}{\sin x} = \lim_{t \to 0} \dfrac{e^t-1}{t} = 1$ et $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ alors : $\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{\sin x}-1}{x} = 1 \times 1 = 1$. On a : $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{e^{\sqrt[3]{x}}-1}{x} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{e^{\sqrt[3]{x}}-1}{\sqrt[3]{x}} \times \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = +\infty$ car $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{e^{\sqrt[3]{x}}-1}{\sqrt[3]{x}} = \lim_{t \to 0^+} \dfrac{e^t-1}{t} = 1$ et $\lim_{x \to 0^+} \sqrt[3]{x^2} = 0^+$.
Applications
- Calculer les limites suivantes : $\lim_{x \to +\infty} x\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right) ; \lim_{x \to +\infty} e^x – x^4 \ln x ; \lim_{x \to +\infty} \left(\ln\left(e^x+1\right)-x\right)$
- Étudier la dérivabilité de la fonction $f : x \mapsto \sqrt{1-e^{-2x}}$ à droite au point $0$.
- Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = x+1$ est une asymptote oblique de la courbe de la fonction $g$ définie par : $g(x) = (x-1)e^{\frac{2}{x}}$
- Calculer la limite suivante : $\lim_{\substack{x \to \pi
x > \pi}} \left(\dfrac{1}{1+\cos x}\right)^4 \dfrac{1}{e^{\frac{1}{\pi-x}}}$
II.FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE $a$
1.DÉFINITION DE LA FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE $a$
Définition 2
Soit $a$ un réel strictement positif et différent de $1$. La fonction exponentielle de base $a$ est la fonction réciproque de la fonction $\log_a$. On la note $\exp_a$.
Remarques
- D'après la définition 2, on a : $ (\forall x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R}_+^*) (y = \exp_a(x) \Leftrightarrow x = \log_a(y))$
- Soit $x$ un réel positif et $y$ un réel strictement positif. On a alors :
\[y = \exp_a(x) \Leftrightarrow x = \log_a(y) = \dfrac{\ln y}{\ln a} \Leftrightarrow \ln y = x\ln a \Leftrightarrow y = e^{x\ln a}\]Ainsi, pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $ \exp_a(x) = e^{x\ln a}$
2.PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES
Proposition 9
Soit $x$ et $y$ deux réels et $r$ un nombre rationnel ($r \in \mathbb{Q}$). Alors :
\[\exp_a(x+y) = \exp_a(x)\exp_a(y) ; \exp_a(x-y) = \dfrac{\exp_a(x)}{\exp_a(y)} ; \exp_a(rx) = \left(\exp_a(x)\right)^r\]
3.UNE AUTRE ÉCRITURE DE LA FONCTION $\exp_a$
À retenir
Soit $a$ un réel strictement positif et différent de $1$. On a : $\exp_a(1) = e^{\ln(a)} = a$
Et puisque pour tout $r \in \mathbb{Q}$ : $\exp_a(r) = \left(\exp_a(1)\right)^r = a^r$
On prolonge cette écriture sur l'ensemble des nombres réels en écrivant pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $\exp_a(x) = a^x$
Proposition 10
Soit $a$ un réel strictement positif et différent de $1$. Alors :
- $(\forall x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R}_+^*) y = a^x \Leftrightarrow x = \dfrac{\ln y}{\ln a}$
- $(\forall x \in \mathbb{R}) \log_a\left(a^x\right) = x \text{et} (\forall x \in \mathbb{R}_+^*) a^{\log_a(x)} = x$
- Pour tout $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ : $ a^{x+y} = a^x \times a^y \text{et} a^{x-y} = \dfrac{a^x}{a^y}$
Remarque
Dans ce paragraphe, on a supposé que $a > 0$ et $a \neq 1$, et après avoir prolongé l'écriture $\exp_a$ sous la forme d'une puissance de $a$, on a obtenu : $ (\forall x \in \mathbb{R}) a^x = e^{x\ln a}$
Le fait que $e^0 = 1$ nous conduit à poser « par convention » : $1^x = 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$
On a donc : $ (\forall a \in \mathbb{R}_+^*)(\forall x \in \mathbb{R}) a^x = e^{x\ln a}$
Proposition 11
Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Alors, pour tout $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ :
\[a^{x+y} = a^x \times a^y ; a^{-x} = \dfrac{1}{a^x} ; a^{x-y} = \dfrac{a^x}{a^y} ; \left(a^x\right)^y = a^{xy} ; (ab)^x = a^x \cdot b^x ; \left(\dfrac{a}{b}\right)^x = \dfrac{a^x}{b^x}\]
Exemples
- Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $5^x = 15$ Cette équation s'écrit $e^{x\ln 5} = 15$, ce qui est équivaut à $x\ln 5 = \ln 15$, c'est-à-dire à $x = \dfrac{\ln 15}{\ln 5}$. Par suite, l'ensemble des solutions de cette équation est : $S = \left\{\dfrac{\ln 15}{\ln 5}\right\}$
- Soit $a$ un réel de l'intervalle $]1; +\infty[$, et soit $x$ et $y$ deux réels strictement positifs. Simplifions les expressions suivantes : $\alpha = a^{\dfrac{\log(\log a)}{\log a}}$ et $\beta = \log_a\left(\left(\log_a a^a\right)^a\right)$ et $\lambda = \dfrac{x^{\log_a(y)}}{y^{\log_a(x)}}$ Pour $\alpha$ : $ \alpha = a^{\dfrac{\log(\log a)}{\log a}} = a^{\log_a(\log a)} = \log a$ Pour $\beta$ : $ \beta = \log_a\left(\left(\log_a a^a\right)^a\right) = \log_a\left(\left(a\right)^a\right) = a\log_a(a) = a$ Pour $\lambda$ : $ \lambda = \dfrac{x^{\log_a(y)}}{y^{\log_a(x)}} = \dfrac{e^{\dfrac{\ln(x)\ln(y)}{\ln(a)}}}{e^{\dfrac{\ln(x)\ln(y)}{\ln(a)}}} = 1$
- Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $3^{2x} \geq 5^{1-x}$ Cette inéquation est équivalente à $2x\ln 3 \geq (1-x)\ln 5$, c'est-à-dire que $(2\ln 3 + \ln 5)x \geq \ln 5$. Par suite, l'ensemble solution de cette inéquation est : $S = \left[\dfrac{\ln 5}{2\ln 3 + \ln 5}; +\infty\right[$
- Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'inéquation : $7^{x+1} – 7^{-x} < 6$ Cette inéquation est équivalente à $7 \cdot 7^x – \dfrac{1}{7^x} – 6 < 0$, c'est-à-dire à $7 \cdot 7^{2x} – 6 \cdot 7^x – 1 < 0$. Or, on sait que pour tout $t \in \mathbb{R}$, $7t^2 – 6t – 1 = (7t+1)(t-1)$. Il s'ensuit donc que l'inéquation $7 \cdot 7^{2x} – 6 \cdot 7^x – 1 < 0$ est équivalente à $\left(7^{x+1}+1\right)\left(7^x-1\right) < 0$, c'est-à-dire que $7^x 0$). Ainsi, l'ensemble solution de cette inéquation est : $S = \mathbb{R}_-^*$
Applications
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :
\[-5 \times 4^{x+1} + 2 \times 4^{-x} = 3 ; 3^x – 5\sqrt{3^x} + 4 = 0 ; 9^{2x+1} = \dfrac{36}{6^x} ; 16^x – 3^{\dfrac{1}{2}} 2^{2x+\dfrac{1}{2}} = 3^{\dfrac{2x+1}{2}} – 2^{4x-1}\]
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante : $ \log 2 + \log\left(4^{x-2}+9\right) \leq 1 + \log\left(2^{x-2}+1\right)$
- Montrer que pour tout $(a, b, c) \in \left(\mathbb{R}_+^*\right)^3$ : $ a^{\ln \dfrac{b}{c}} \cdot b^{\ln \dfrac{c}{a}} \cdot c^{\ln \dfrac{a}{b}} = 1$
4.ÉTUDE DE LA FONCTION $\exp_a$
Proposition 12
La fonction $\exp_a$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $ \left(\exp_a\right)'(x) = \left(a^x\right)' = (\ln a) a^x$
Exemples
Calculons la dérivée de chacune des fonctions définies par :
\[f(x) = 4^x + 4^{-4x} ; g(x) = 5^{\sqrt{x+1}} ; h(x) = 2^{\dfrac{x}{x^2+1}}\]
- La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on a : $ (\forall x \in \mathbb{R}) f'(x) = 4^x \ln 4 – 4 \times 4^{-4x} \ln 4 = \left(4^x – 4^{-4x+1}\right)\ln 4$
- On a pour tout $x \in [-1, +\infty[$, $g(x) = e^{\sqrt{x+1}\ln(5)}$. Donc la fonction $g$ est dérivable sur $]-1, +\infty[$ et on a pour tout $x \in ]-1, +\infty[$ :
\[g'(x) = \left(e^{\sqrt{x+1}\ln(5)}\right)' = \left(\sqrt{x+1}\ln(5)\right)' e^{\sqrt{x+1}\ln(5)} = \dfrac{\ln 5}{2\sqrt{x+1}} \cdot 5^{\sqrt{x+1}}\]
- On a pour tout $x \in \mathbb{R}$, $h(x) = e^{\dfrac{x}{x^2+1}\ln(2)}$. Donc la fonction $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on a pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
\[h'(x) = \left(e^{\dfrac{x}{x^2+1}\ln(2)}\right)' = \left(\dfrac{x}{x^2+1}\ln(2)\right)' e^{\dfrac{x}{x^2+1}\ln(2)} = \dfrac{\left(1-x^2\right)\ln 2}{\left(x^2+1\right)^2} \cdot 2^{\dfrac{x}{x^2+1}}\]
Proposition 13
- Si $a > 1$ alors la fonction $x \mapsto a^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ :
\[(\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2) x < y \Leftrightarrow a^x < a^y\]
- Si $0 < a < 1$ alors la fonction $x \mapsto a^x$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ :
\[(\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2) x a^y\]
Applications
- Déterminer la dérivée de chacune des fonctions définies par :
\[g(x) = \left(\dfrac{2}{3}\right)^x ; h(x) = \left(3^x + 2^{-x} – 5^{-x}\right)^4 ; k(x) = 5^{\sqrt[3]{x^2+x+1}}\]
- On considère la fonction $f$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $ f(x) = 2^x + 2^{\dfrac{6}{x}}$
- Calculer $f'(x)$ puis montrer que $f$ est strictement décroissante sur $\left]0; \sqrt{6}\right]$ et strictement croissante sur $\left[\sqrt{6}; +\infty\right[$.
- En déduire que l'équation $f(x) = 12$ admet une solution unique sur $]0; +\infty[$ que l'on déterminera.
Proposition 14
- Si $a > 1$ alors : $ \lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty \text{et} \lim_{x \to -\infty} a^x = 0$.
- Si $0 < a < 1$ alors : $ \lim_{x \to +\infty} a^x = 0 \text{et} \lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty$.
Exemples
\[\lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{\pi}{3}\right)^x = +\infty ; \lim_{x \to -\infty} \left(\dfrac{\pi}{3}\right)^x = 0 ; \lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{1+\sqrt{2}}{3}\right)^x = 0 ; \lim_{x \to -\infty} \left(\dfrac{1+\sqrt{2}}{3}\right)^x = +\infty\]
\[\lim_{x \to +\infty} \left(3^x – e^x\right) = \lim_{x \to +\infty} 3^x \left(1 – \left(\dfrac{e}{3}\right)^x\right) = +\infty\text{ car : }\lim_{x \to +\infty} 3^x = +\infty\text{ et }\lim_{x \to +\infty} \left(\dfrac{e}{3}\right)^x = 0\]
Application
On considère la fonction numérique définie par : $ f(x) = 4^x – 2^{x+1}$
- Déterminer $D_f$ le domaine de définition de la fonction $f$.
- Calculer les limites de la fonction $f$ aux bornes du domaine de définition.
- Étudier les variations de la fonction $f$.
- Écrire l'équation de la tangante à la courbe $\mathscr{C}_f$ de $f$ au point d'abscisse $0$.
- Construire la courbe $\mathscr{C}_f$ dans un repère orthonormé.