I.COORDONNÉES D’UN POINT DANS UN REPÈRE – COORDONNÉES D’UN VECTEUR DANS UNE BASE
1.REPÈRE ET BASE DE L’ESPACE
Définition
Définition.
Soit $\vec{i}$, $\vec{j}$ et $\vec{k}$ trois vecteurs non coplanaires de l'espace $\mathcal{V}_3$ et $O$ un point de l'espace $\mathcal{E}$.
Le triplet $(\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ est appelé une base de l'espace $\mathcal{V}_3$.
Le quadruplet $(O, \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ est appelé un repère de l'espace $\mathcal{E}$.
Exemple
Exemples.
Dans le tétraèdre $ABCD$, le quadruplet $(A, \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}; \overrightarrow{AD})$ est un repère de l'espace.
Dans le parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$, $(A, \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AD}; \overrightarrow{AE})$ est un repère de l'espace $\mathcal{E}$.
Remarque
Remarque.
Quatre points non coplanaires $O$, $A$, $B$ et $C$ déterminent une base et un repère de l'espace.
Par exemple, $(O, \overrightarrow{OA}; \overrightarrow{OB}; \overrightarrow{OC})$ est un repère de l'espace $\mathcal{E}$.
1.2. COORDONNÉES D’UN POINT DANS UN REPÈRE
Proposition
Proposition.
Soit $(O, \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ un repère de l'espace $\mathcal{E}$.
Pour tout point $M$ de l'espace $\mathcal{E}$, il existe un unique triplet $(x; y; z)$ tel que : $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$
Le triplet $(x; y; z)$ est appelé triplet de coordonnées du point $M$ dans le repère $(O, \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$.
$x$ est l'abscisse du point $M$, $y$ est l'ordonnée du point $M$, $z$ est la cote du point $M$ et on écrit :
\[M(x; y; z) \text{ou} M\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\]
Remarque
Représentation graphique.
Exemple
Exemples.
Soit $ABCD$ un tétraèdre ; $I$ le milieu du segment $[BD]$ et $G$ le centre de gravité du triangle $ACD$.
Déterminons dans le repère $(A, \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}; \overrightarrow{AD})$ les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $D$, $I$ et $G$ :
On a immédiatement : $A(0; 0; 0)$ ; $B(1; 0; 0)$ ; $C(0; 1; 0)$ ; $D(0; 0; 1)$.
Puisque $I$ est le milieu du segment $[BD]$, alors : $\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\right) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$, d'où : $I\left(\dfrac{1}{2}; 0; \dfrac{1}{2}\right)$.
On a $G$ est le centre de gravité du triangle $ACD$, alors : $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}$, d'où : $G\left(0; \dfrac{1}{3}; \dfrac{1}{3}\right)$.
Remarque
Remarques.
Tous les résultats de la géométrie plane s'étendent à l'espace par l'adjonction d'une troisième coordonnée, la cote.
Proposition.
Soit $(\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ une base de l'espace $\mathcal{V}_3$.
Pour tout vecteur $\vec{u}$ de l'espace $\mathcal{V}_3$, il existe un unique triplet $(x; y; z)$ tel que : $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$
Le triplet $(x; y; z)$ est appelé triplet de coordonnées ou de composantes du vecteur $\vec{u}$ dans la base $(\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ et on écrit :
\[\vec{u}(x; y; z) \text{ou} \vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\]
Proposition
Proposition.
Soit $\vec{u}(x; y; z)$ et $\vec{v}(x'; y'; z')$ deux vecteurs de $\mathcal{V}_3$ muni d'une base $(\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. Alors :
$\vec{u} = \vec{v} \iff (x = x' \text{ et } y = y' \text{ et } z = z')$.
Soit $A(x_A; y_A; z_A)$ et $B(x_B; y_B; z_B)$ deux points de $\mathcal{E}$ muni d'un repère $(O, \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$. Alors :
Le triplet de coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est : $(x_B – x_A; y_B – y_A; z_B – z_A)$.
Le triplet de coordonnées du milieu du segment $[AB]$ est : $\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}; \dfrac{y_A + y_B}{2}; \dfrac{z_A + z_B}{2}\right)$.
Exemple
Exemples.
On considère les points : $A(2; 3; 0)$ et $B(-1; -2; 4)$.
On a : $\overrightarrow{AB}(-1 – 2; -2 – 3; 4 – 0)$, ce qui donne : $\overrightarrow{AB}(-3; -5; 4)$.
Si on note $I$ le milieu du segment $[AB]$, alors : $I\left(\dfrac{2 + (-1)}{2}; \dfrac{3 + (-2)}{2}; \dfrac{0 + 4}{2}\right)$, d'où : $I\left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{2}; 2\right)$.
On considère les deux vecteurs : $\vec{u}(m-2; n+1; 3)$ et $\vec{v}(-3; 2; 3)$.
On a :
\[\vec{u} = \vec{v} \iff \begin{cases} m – 2 = -3 \\ n + 1 = 2 \end{cases} \iff \begin{cases} m = -1 \\ n = 1 \end{cases}\]
On considère les vecteurs : $\vec{u}(-1; 2; -3)$ et $\vec{v}\left(1; -\dfrac{3}{2}; 1\right)$.
Déterminons les coordonnées du vecteur $\vec{w} = 3\vec{u} – 2\vec{v}$ :
On a : $\vec{w} = 3(-\vec{i} + 2\vec{j} – 3\vec{k}) – 2\left(\vec{i} – \dfrac{3}{2}\vec{j} + \vec{k}\right) = -3\vec{i} + 6\vec{j} – 9\vec{k} – 2\vec{i} + 3\vec{j} – 2\vec{k} = -5\vec{i} + 9\vec{j} – 11\vec{k}$.
Par suite : $\vec{w}(-5; 9; -11)$.
Soit $ABCDA'B'C'D'$ un parallélépipède rectangle.
Déterminons dans la base $\left(\overrightarrow{A'A}; \overrightarrow{A'B'}; \overrightarrow{A'D'}\right)$ les coordonnées des vecteurs suivants : $\overrightarrow{AB}$ ; $-3\overrightarrow{B'C'}$ ; $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{A'C}$
On a : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A'B'}$, donc : $\overrightarrow{AB}(0; 1; 0)$
On a : $\overrightarrow{B'C'} = \overrightarrow{A'D'}$, donc : $\overrightarrow{B'C'}(0; 0; 1)$
On a : $\overrightarrow{A'C} = \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{A'D'}$, d'où : $\overrightarrow{A'C}(1; 1; 1)$.
De même : $\overrightarrow{AC'} = -\overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{A'C'} = -\overrightarrow{A'A} + \overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{A'D'}$, d'où : $\overrightarrow{AC'}(-1; 1; 1)$.
Par suite : $\overrightarrow{AC'} + \overrightarrow{A'C}(1 – 1; 1 + 1; 1 + 1)$, c'est-à-dire : $\overrightarrow{AC'} + \overrightarrow{A'C}(0; 2; 2)$.
Application
Applications.
1. Soit $ABCDEFGH$ un cube. On note $O$ le centre du carré, $I$ le milieu du segment $[BG]$ et $J$ le centre de gravité du triangle $BFH$.
Déterminer les coordonnées des points $D$, $H$, $G$, $O$, $I$ et $J$ dans le repère $\left(A, \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AD}; \overrightarrow{AE}\right)$.
2. Dans l'espace muni d'un repère $(O, \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$, on considère les points :
Déterminer les coordonnées de chacun des vecteurs : $\overrightarrow{EF}$ ; $\overrightarrow{EG}$ ; $\overrightarrow{GF}$ ; $\overrightarrow{OG}$
3. Dans l'espace muni d'un repère $(O, \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$, on considère les points :
a) Déterminer les coordonnées de chacun des vecteurs : $\vec{u} = 2\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AC}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{CB} + 2\overrightarrow{CA}$
b) Déterminer les coordonnées des points $I$, $J$ et $K$ milieux respectifs des segments $[AB]$, $[BC]$ et $[AC]$.
II.CONDITION DE COLINÉARITÉ DE DEUX VECTEURS – CONDITION DE COPLANARITÉ DE TROIS VECTEURS
2.1. CONDITION DE COLINÉARITÉ DE DEUX VECTEURS
Théorème
Théorème.
Soit $\vec{u}(x; y; z)$ et $\vec{v}(x'; y'; z')$ deux vecteurs de $\mathcal{V}_3$ muni d'une base $(\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$.
Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si, et seulement si :
\[\Delta_1 = \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} = 0 \text{et} \Delta_2 = \begin{vmatrix} x & x' \\ z & z' \end{vmatrix} = 0 \text{et} \Delta_3 = \begin{vmatrix} y & y' \\ z & z' \end{vmatrix} = 0\]
Les réels $\Delta_1 = xy' – x'y$, $\Delta_2 = xz' – x'z$ et $\Delta_3 = yz' – y'z$ sont appelés les déterminants extraits des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
Preuve
Preuve.
Dire que les vecteurs $\vec{u}(x; y; z)$ et $\vec{v}(x'; y'; z')$ sont colinéaires signifie qu'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ ou $\vec{u} = k\vec{v}$. Supposons par exemple que : $\vec{v} = k\vec{u}$, c'est-à-dire que : $x' = kx$ et $y' = ky$ et $z' = kz$.
Il en résulte donc que :
$
\begin{cases}
x'z = kxz
xy' = kyx
yz' = kzy
\end{cases}
$
et
$
\begin{cases}
x'y = kxy
y'z = kyz
xz' = kxz
\end{cases}
$
. Par suite :
$
\begin{cases}
x'y – xy' = 0
y'z – yz' = 0
xz' – x'z = 0
\end{cases}
$.
Réciproquement, soit $\vec{u}(x; y; z)$ et $\vec{v}(x'; y'; z')$ deux vecteurs tels que : $\begin{cases} x'y – xy' = 0 y'z – yz' = 0 xz' – x'z = 0 \end{cases}$.
Montrons que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
Si $\vec{u} = \vec{0}$ alors les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
Si $\vec{u} \neq \vec{0}$ alors l'une des coordonnées $x$, $y$ et $z$ est non nulle. Supposons par exemple que $x \neq 0$.
On a alors :
$
\begin{cases}
x'y – xy' = 0
y'z – yz' = 0
xz' – x'z = 0
\end{cases}
\implies
\begin{cases}
y' = \dfrac{x'}{x}y
z' = \dfrac{x'}{x}z
\end{cases}
$.
En posant $k = \dfrac{x'}{x}$, on obtient : $x' = kx$ et $y' = ky$ et $z' = kz$. Par suite : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
