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Vecteurs de l’espace

I.VECTEURS DE L’ESPACE

1.Notion de vecteur dans l’espace

Définition
Définition. Soit $A$ et $B$ deux points de l'espace $\mathcal{E}$.
  • Si $A \neq B$ alors le bipoint $(A;B)$ détermine un vecteur $\overrightarrow{AB}$ d'origine $A$ et d'extrémité $B$ tel que :
    • Sa direction est celle de la droite $(AB)$ de l'espace ;
    • Son sens est de $A$ vers $B$ ;
    • Sa norme, notée $\left\| \overrightarrow{AB} \right\|$, est la longueur du segment $[AB]$ et on écrit : $\left\| \overrightarrow{AB} \right\| = AB$.
    Figure TikZ
  • Si $A = B$ alors le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est appelé le vecteur nul qu'on le note $\vec{0}$ et on écrit : $\overrightarrow{AA} = \vec{0}$.
Remarque
Remarques.
  • Soit $O$ un point de l'espace. Pour tout vecteur $\vec{u}$ de l'espace, il existe un unique point $M$ de l'espace tel que : $\overrightarrow{OM} = \vec{u}$.
    Figure TikZ
  • L'ensemble de tous les vecteurs de l'espace est noté $\mathcal{V}_3$.
  • Le vecteur $-\vec{u}$ est le vecteur de même direction, de même norme que $\vec{u}$, mais de sens contraire.
  • Deux vecteurs sont dits égaux s'ils ont même direction, même sens et même longueur.
  • Dire que $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ signifie que $ABDC$ est un parallélogramme, c'est-à-dire que les segments $[AD]$ et $[BC]$ ont le même milieu. Les droites $(AD)$ et $(BC)$ sont parallèles.
Exemple
Exemples. Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède rectangle ; $I$ est le milieu de $[AE]$ et $J$ est le milieu de $[BF]$.
  • On a $IJGH$ est un parallélogramme d'où : $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{HG}$ et $\overrightarrow{IH} = \overrightarrow{JG}$
  • On a : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{HG} = \overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{EH} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{FG}$.
Figure TikZ
Application
Applications.
  1. Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède rectangle.
    1. Construire les points $I$ et $J$ tels que : $\overrightarrow{BI} = \overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{JD} = \overrightarrow{AC}$.
    2. Soit $O$ et $O'$ respectivement les centres des parallélogrammes $ABCD$ et $EFGH$. Montrer que $AOGO'$ est un parallélogramme.
  2. Soit $ABCD$ un tétraèdre.
    1. Construire le point $E$ tel que : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CE}$.
    2. Construire le point $F$ symétrique du point $C$ par rapport au point $A$ puis montrer que $FAEB$ est un parallélogramme.
    3. Construire les points $H$ et $K$ tels que : $\overrightarrow{EH} = \overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{KA} = \overrightarrow{BD}$.

2.L’addition vectorielle dans l’espace

Définition
Définition. Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace $\mathcal{V}_3$. On pose : $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{BC}$. La somme des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le vecteur $\overrightarrow{AC}$ et on écrit : $\vec{u} + \vec{v} = \overrightarrow{AC}$.
Proposition
Proposition.
  1. Pour tous points $M$, $N$ et $P$ de l'espace, on a : $\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MP}$ (Relation de Chasles)
  2. Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ de l'espace $\mathcal{V}_3$, on a :
    \[\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u} ; (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) ; \vec{u} + \vec{0} = \vec{0} ; \vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}\]
Exemple
Exemple. Soit $ABCDA'B'C'D'$ un cube. On pose : $\vec{i} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA'} + \overrightarrow{B'D'}$. On a : $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DA'} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AA'}$, il s'ensuit donc que :
\[\begin{aligned}\vec{i} &= \overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AA'}) + \overrightarrow{B'D'} \\ &= (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}) + \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{B'D'} \\ &= \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{B'D'} + \overrightarrow{AA'}\end{aligned}\]
Puisque $BDD'B'$ est un parallélogramme, alors : $\overrightarrow{B'D'} = \overrightarrow{BD}$. Par suite : $\vec{i} = \overrightarrow{AA'}$.
Figure TikZ
Application
Applications.
  1. Soit $ABCDA'B'C'D'$ un cube. Déterminer les points $M$ et $N$ sachant que :
    \[\overrightarrow{A'M} = \overrightarrow{B'D} + \overrightarrow{D'C'} + \overrightarrow{CA} \text{et} \overrightarrow{A'N} = \overrightarrow{B'C'} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{D'A}\]
  2. Soit $ABCD$ un tétraèdre ; $H$ le milieu du segment $[BC]$ et $K$ le milieu du segment $[AD]$. Montrer que : $\overrightarrow{BD} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BA} = 4\overrightarrow{HK}$.
  3. Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède rectangle ; $I$ le milieu de $[AD]$ et $J$ le milieu de $[EG]$.
    1. Montrer que : $\overrightarrow{BF} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{HG} = \overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{EC}$.
    2. Déterminer le point $M$ tel que : $\overrightarrow{IJ} + \overrightarrow{GD} + \overrightarrow{EA} = \overrightarrow{IM}$.

3.Multiplication d’un vecteur par un réel

Définition
Définition. Soit $\vec{u}$ un vecteur non nul et $k$ un réel non nul. Le produit du vecteur $\vec{u}$ par le réel $k$ est le vecteur $\vec{v}$ noté $k.\vec{u}$, ou simplement $k\vec{u}$, et qui vérifie les conditions suivantes :
  • $\vec{v}$ et $\vec{u}$ ont la même direction ;
  • $\vec{v}$ a le même sens que celui de $\vec{u}$ si $k > 0$, et de sens contraire de $\vec{u}$ si $k < 0$.
  • $\|\vec{v}\| = |k| . \|\vec{u}\|$.
On écrit : $\vec{v} = k\vec{u}$. Pour tout vecteur $\vec{u}$ et tout réel $k$, on pose : $0.\vec{u} = \vec{0}$ et $k.\vec{0} = \vec{0}$.
Exemple
Exemple. Soit $ABCDEFGH$ un cube. On considère le point $M$ du plan tel que : $\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$. La droite $(AM)$ coupe le segment $[BC]$ en $L$. Il est facile de montrer que :
\[\overrightarrow{BL} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \text{et} \overrightarrow{AL} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AM}\]
(Il suffit d'utiliser le théorème de Thalès dans le plan $(ABC)$).
Figure TikZ
Proposition
Proposition. Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l'espace $\mathcal{V}_3$ et pour tout réels $\alpha$ et $\beta$, on a :
  1. $\alpha(\vec{u} + \vec{v}) = \alpha\vec{u} + \alpha\vec{v}$
  2. $(\alpha + \beta)\vec{u} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{u}$
  3. $1.\vec{u} = \vec{u}$
  4. $\alpha(\beta\vec{u}) = \alpha\beta\vec{u}$
  5. $\alpha.\vec{u} = \vec{0} \iff (\alpha = 0 \text{ ou } \vec{u} = \vec{0})$
Remarque
Remarques.
  • Aux règles de calcul citées dans la proposition précédente s'ajoutent les règles suivantes : Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l'espace $\mathcal{V}_3$ et pour tout réels $\alpha$ et $\beta$, on a :
    \[-1.\vec{u} = -\vec{u} ; \alpha(\vec{u} – \vec{v}) = \alpha\vec{u} – \alpha\vec{v} ; (\alpha – \beta)\vec{u} = \alpha\vec{u} – \beta\vec{u} ; \alpha(-\beta\vec{u}) = (-\alpha)(\beta\vec{u}) = -\alpha\beta\vec{u}\]
  • Si $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont trois vecteurs de l'espace $\mathcal{V}_3$, alors : $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v} \iff \vec{v} = \vec{w} – \vec{u}$.
  • Soit $ABCD$ un quadrilatère convexe et $k$ un réel non nul. Alors : $\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{CD}$ si et seulement si, $ABCD$ ou $ABDC$ est un trapèze de bases $[AB]$ et $[CD]$ avec : $AB = |k|CD$

II.VECTEURS COLINÉAIRES – DROITES DE L’ESPACE

1.Colinéarité de deux vecteurs

Définition
Définition. On dit que deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l'espace $\mathcal{V}_3$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que :
\[\vec{v} = k\vec{u} \text{ou} \vec{u} = k\vec{v}\]
Remarque
Remarques.
  • Le vecteur nul $\vec{0}$ est colinéaire avec tout vecteur de l'espace $\mathcal{V}_3$.
  • On considère deux vecteurs non nuls $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{u'} = \overrightarrow{A'B'}$. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{u'}$ sont colinéaires si, et seulement si : $(AB) \parallel (A'B')$.
  • Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires, c'est-à-dire : il existe $k \in \mathbb{R}$ tel que : $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$
Exemple
Exemple. Soit $ABCDEFGH$ un cube. $K$ le milieu du segment $[EF]$ et $L$ le milieu du segment $[CF]$. Soit $M$ le point du côté $[CD]$ tel que : $\overrightarrow{CM} = \frac{1}{4}\overrightarrow{CD}$. D'après la relation de Chasles, On trouve : $\overrightarrow{ML} = \overrightarrow{CL} – \overrightarrow{CM}$. Comme $L$ est le milieu du segment $[CF]$ alors : $\overrightarrow{CL} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CF}$. En utilisant les propriétés de multiplication d'un vecteur par un réel, on trouve :
\[\overrightarrow{ML} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{CF} – \frac{1}{2}\overrightarrow{CD}\right) (1)\]
D'autre part, on a : $\overrightarrow{CK} = \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FK}$ et $\overrightarrow{DK} = \overrightarrow{CK} – \overrightarrow{CD}$. Donc : $\overrightarrow{DK} = \overrightarrow{CF} + \overrightarrow{FK} – \overrightarrow{CD}$ Puisque $K$ est le milieu du segment $[EF]$, alors : $\overrightarrow{FK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{FE}$. Il s'ensuit donc que : $\overrightarrow{FK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CD}$ et alors :
\[\overrightarrow{DK} = \overrightarrow{CF} + \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} – \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CF} – \frac{1}{2}\overrightarrow{CD} (2)\]
De $(1)$ et $(2)$ on en déduit que : $\overrightarrow{ML} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DK}$. Par suite, $\overrightarrow{ML}$ et $\overrightarrow{DK}$ sont colinéaires, d'où : $(ML) \parallel (DK)$.
Figure TikZ
Application
Applications.
  1. Soit $ABCDEFGH$ un cube. On considère les points $I$, $N$ et $P$ définis par :
    \[\overrightarrow{AP} = \frac{1}{5}\overrightarrow{AD} ; \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NE} = \vec{0} ; \overrightarrow{BI} = \frac{2}{5}\overrightarrow{BC}\]
    1. Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{IF}$ et $\overrightarrow{NP}$ sont colinéaires.
    2. Soit $J$ le symétrique du point $B$ par rapport à $A$. Montrer que les points $I$, $J$ et $P$ sont alignés.
  2. Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède rectangle.
    1. Construire les points $K$, $L$ et $M$ définis par :
      \[\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AE} \text{et} \overrightarrow{EL} = \frac{3}{4}\overrightarrow{EF} \text{et} \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{HF} + \frac{3}{2}\overrightarrow{AE}\]
    2. Montrer que les points $K$, $L$ et $M$ sont alignés.
Proposition
Proposition. Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace $\mathcal{V}_3$ et $(a;b) \in \mathbb{R}^2$.
  1. Si $a\vec{u} + b\vec{v} = \vec{0}$ et $(a;b) \neq (0;0)$ alors les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
  2. Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires alors pour tout $(a;b) \in \mathbb{R}^2$ : $a\vec{u} + b\vec{v} = \vec{0} \implies a = b = 0$
Preuve
Preuve.
  1. Supposons que $a\vec{u} + b\vec{v} = \vec{0}$ et $a \neq 0$, alors : $\vec{u} = -\dfrac{b}{a}\vec{v}$ ; d'où : les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.
  2. Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non colinéaires tels que : $a\vec{u} + b\vec{v} = \vec{0}$. Montrons par l'absurde que : $a = b = 0$. Supposons que $a \neq 0$ alors : $a\vec{u} + b\vec{v} = \vec{0} \implies \vec{u} = -\dfrac{b}{a}\vec{v}$, ce qui entraine que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires et ce qui est contradictoire avec les hypothèses. On a donc nécessairement $a = b = 0$.
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