La dérivation - Cours Maths 1ère Bac Sciences Mathématiques

Capacités

Le chapitre sur la dérivation permet d'acquérir les compétences suivantes :

Déterminer la dérivabilité d'une fonction en un point et sur un intervalle.
Calculer et interpréter le nombre dérivé et l'approximation affine.
Utiliser la dérivation pour étudier les variations et les extrema d'une fonction.
Résoudre des problèmes d'optimisation à l'aide de la fonction dérivée.

1.Dérivabilité d’une fonction en un point

1.1. Nombre dérivé en un point

Définition

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$ et $a$ un élément de $I$. On dit que $f$ est dérivable en $a$ s'il existe un réel $\ell$ tel que : $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \ell$ Le nombre $\ell$ est appelé le nombre dérivé de la fonction $f$ en $x_0$. Il est noté $f'(x_0)$. On écrit : $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a)$ ou encore $\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$

Exemple

1) On considère la fonction $f : x \mapsto x^2 + x$. Étudions la dérivabilité de la fonction $f$ en $a=1$ : On a pour tout $h \in \mathbb{R}^*$ : $\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = \dfrac{(1+h)^2 + (1+h) – 2}{h} = h + 3$. Par conséquent : $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} (h+3) = 3$. Ainsi, $f$ est dérivable en 1 et $f'(1) = 3$. 2) On considère la fonction $f : x \mapsto |x-2|$. Étudions la dérivabilité de la fonction $f$ en $a=2$ : On a pour tout $h \in \mathbb{R}^*$ : $\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = \dfrac{|h|}{h}$.

Si $h > 0$ alors $\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = 1$ et donc : $\lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = 1$.
Si $h < 0$ alors $\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = -1$ et donc : $\lim_{h \to 0^-} \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = -1$.

On en déduit alors qu'il n'existe aucun réel $\ell$ tel que : $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = \ell$, ce qui signifie bien que la fonction $f$ n'est pas dérivable en $a=2$. 3) On considère la fonction $f : x \mapsto \sqrt{|x-1|}$. Étudions la dérivabilité de la fonction $f$ en $a=1$ : On a pour tout $h \in \mathbb{R}^*$ : $\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = \dfrac{\sqrt{|h|}}{h} = \dfrac{|h|}{h\sqrt{|h|}}$. Il en résulte alors que :

\lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \dfrac{1}{\sqrt{|h|}} = +\infty.

Par suite, la fonction $f$ n'est pas dérivable en $a=1$.

Remarque

Dans le taux de variation $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, $x-a$ représente une variation de $x$ et $f(x)-f(a)$ la variation correspondante de $y$. Quand les accroissements de $x$ et $y$ deviennent petits, le taux d'accroissement tend vers $f'(a)$. C'est pour cette raison qu'on trouve parfois, notamment en physique, la notation $\dfrac{df}{dx}(a)$ pour le nombre dérivé de $f$ en $a$.
La notion de dérivabilité, étant définie à l'aide d'une limite, est une notion locale.

Application

Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ au point $a$ dans chacun des cas suivants :

$f(x) = 3x^2 + 2x – 1$ et $a = \sqrt{2}$
$f(x) = |x^2 – 2x|$ et $a = 0$
$f(x) = \sqrt{|x+3|}$ et $a = -3$
$f(x) = \dfrac{x+1}{x-5}$ et $a = \dfrac{2}{3}$
$f(x) = \sin x$ et $a = 0$
$f(x) = \cos x$ et $a = \dfrac{\pi}{2}$

1.2. Approximation affine d’une fonction dérivable

Définition

Soit $f$ une fonction dérivable en $a$. La droite $(T)$ d'équation $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ est appelée la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ au point d'abscisse $a$. La fonction $x \mapsto f'(a)(x-a) + f(a)$ s'appelle l'approximation affine de $f$ au voisinage de $a$. On écrit alors :

f(x) \approx f'(a)(x-a) + f(a) \text{ au voisinage de } a \text{ou} f(h) \approx hf'(a) + f(a) \text{ au voisinage de } 0

Propriété

[Interprétation géométrique du nombre dérivé] Si la fonction $f$ est dérivable en $a$ alors sa courbe représentative $\mathscr{C}_f$ admet une tangente $(T)$ au point $A(a, f(a))$ et dont le coefficient directeur est $f'(a)$. L'équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ au point $A$ est donnée par : $(T) : y = f'(a)(x-a) + f(a)$

Exemple

1) On considère la fonction $f : x \mapsto x^2$. On a pour tout $h \in \mathbb{R}^*$ : $\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = \dfrac{(1+h)^2 – 1}{h} = h + 2$. Par conséquent : $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} (h+2) = 2$. Donc $f'(1) = 2$. Par suite : $(1+h)^2 \approx 1 + 2h$ au voisinage de 0. En prenant $h = 0,0234$, on obtient l'approximation : $(1,0234)^2 = (1+0,0234)^2 \approx 1,0468$. L'équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A(1; 1)$ est donnée par : $y = 2x – 1$. 2) On considère la fonction $g : x \mapsto \sqrt{x}$. On a pour tout $h > -1$ et $h \neq 0$ : $\dfrac{g(1+h)-g(1)}{h} = \dfrac{\sqrt{1+h} – 1}{h} = \dfrac{1}{\sqrt{1+h}+1}$. Par conséquent : $\lim_{h \to 0} \dfrac{g(1+h)-g(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{1+h}+1} = \dfrac{1}{2}$. Donc $g'(1) = \dfrac{1}{2}$. Par suite : $\sqrt{1+h} \approx 1 + \dfrac{h}{2}$ au voisinage de 0. En prenant $h = 0,0008$, on obtient l'approximation : $\sqrt{1,0008} = \sqrt{1+0,0008} \approx 1,0004$. L'équation de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A(1; 1)$ est donnée par : $y = \dfrac{1}{2}x + \dfrac{1}{2}$.

Remarque

On a déjà vu dans les activités les approximations suivantes, valables pour $h$ voisin de 0 : $\sqrt{1+h} \approx 1+\dfrac{h}{2} ; \dfrac{1}{1+h} \approx 1-h ; (1+h)^2 \approx 1+2h ; (1+h)^3 \approx 1+3h$
L'approximation affine locale consiste donc à assimiler $\mathscr{C}_f$ à $(T)$ pour $h$ proche de 0 (et donc pour $x$ proche de $a$).

Application

1. Donner des valeurs approchées des nombres suivants :

(0,998)^3 ; (2,00578)^2 ; (1,04958)^3 ; \sqrt{1,00791} ; \dfrac{1}{1,0434} ; \dfrac{1}{(0,999)^2}

2. Déterminer une équation cartésienne de la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ au point $A$ d'abscisse $a$, dans chacun des cas suivants :

a) $f(x) = 2x^2 + x – 1$ et $a = 1 ; $ b) $f(x) = 3x^2 + 2$ et $a = -1$
c) $f(x) = -\dfrac{1}{2}x^3 + x^2$ et $a = 2 ; $ d) $f(x) = \dfrac{x+1}{x+2}$ et $a = 1$

2.Dérivabilité à droite – Dérivabilité à gauche

2.1. Définitions et notations

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle du type $[a, a+r[$ où $r \in \mathbb{R}^*_+$. On dit que $f$ est dérivable à droite de $a$ s'il existe un réel $\ell_1$ tel que : $\lim_{\substack{h \to 0
h > 0}} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \ell_1$ Le nombre $\ell_1$ est appelé le nombre dérivé de la fonction $f$ à droite en $a$. Il est noté $f'_d(a)$. On écrit : $\lim_{\substack{x \to a
x > a}} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{\substack{h \to 0
h > 0}} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'_d(a)$
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle du type $]a-r, a]$ où $r \in \mathbb{R}^*_+$. On dit que $f$ est dérivable à gauche de $a$ s'il existe un réel $\ell_2$ tel que : $\lim_{\substack{h \to 0
h < 0}} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \ell_2$ Le nombre $\ell_2$ est appelé le nombre dérivé de la fonction $f$ à gauche en $a$. Il est noté $f'_g(a)$. On écrit : $\lim_{\substack{x \to a
x < a}} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{\substack{h \to 0
h < 0}} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'_g(a)$

Exemple

1) On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x|x-1|$ Étudions la dérivabilité de la fonction $f$ à droite et à gauche au point $a=1$ :

Dérivabilité à droite en 1 : $\lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} \dfrac{x(x-1)}{x-1} = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} x = 1$ ; donc $f$ est dérivable à droite en 1 et $f'_d(1) = 1$.
Dérivabilité à gauche en 1 : $\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} \dfrac{x(1-x)}{x-1} = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} -x = -1$ ; donc $f$ est dérivable à gauche en 1 et $f'_g(1) = -1$.

2) On considère la fonction $g : x \mapsto \sqrt{x}$. Étudions la dérivabilité de la fonction $g$ à droite au point $a=0$ : On a : $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{g(x)-g(0)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = +\infty$ ; donc $g$ n'est pas dérivable à droite en 0.

Application

Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite et à gauche au point $a$ dans chacun des cas suivants :

$f(x) = |x^2-1|$ et $a = -1 ; $ 2) $f(x) = |x^2+3x|$ et $a = -3$
$f(x) = \begin{cases} x^3 + 1 & ; \ x \le 1
x^2 + 2 – \dfrac{1}{x} & ; \ x > 1 \end{cases}$ et $a=1 ; $ 4) $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x^3 + x^2} & ; \ x \ge -1
\sin(\pi x) & ; \ x < -1 \end{cases}$ et $a = -1$

Proposition

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$ et $a$ un élément de $I$. La fonction $f$ est dérivable en $a$ si, et seulement si, elle est dérivable à droite et à gauche en $a$, avec $f'_d(a) = f'_g(a)$, et alors : $f'(a) = f'_d(a) = f'_g(a)$.

Exemple

1) On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} & ; \ x \ge 1 \\ \dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{3}{4} & ; \ x 1}} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} \dfrac{\sqrt{x}-1}{x-1} = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} \dfrac{1}{\sqrt{x}+1} = \dfrac{1}{2}

; donc $f$ est dérivable à droite en 1 et $f'_d(1) = \dfrac{1}{2}$.

Dérivabilité à gauche en 1 :

\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} \dfrac{\frac{1}{4}x^2 – \frac{1}{4}}{x-1} = \lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} \dfrac{1}{4}(x+1) = \dfrac{1}{2}

; donc $f$ est dérivable à gauche en 1 et $f'_g(1) = \dfrac{1}{2}$.

Puisque $f'_d(1) = f'_g(1) = \dfrac{1}{2}$, alors la fonction $f$ est dérivable au point $a=1$ ; de plus : $f'(1) = \dfrac{1}{2}$. 2) On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^2 – |x|$ Étudions la dérivabilité de la fonction $f$ au point $a=0$ :

Dérivabilité à droite en 0 : $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{x^2-x}{x} = \lim_{x \to 0^+} (x-1) = -1$ ; donc $f$ est dérivable à droite en 0 et $f'_d(0) = -1$.
Dérivabilité à gauche en 0 : $\lim_{x \to 0^-} \dfrac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \dfrac{x^2+x}{x} = \lim_{x \to 0^-} (x+1) = 1$ ; donc $f$ est dérivable à gauche en 0 et $f'_g(0) = 1$.

Puisque $f'_d(0) \neq f'_g(0)$, alors la fonction $f$ n'est pas dérivable au point $a=0$.

Application

Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ au point $a$ dans chacun des cas suivants :

$f(x) = \begin{cases} x^3 & ; \ x \ge -1
x^2 – 2 & ; \ x < -1 \end{cases}$ et $a = -1 ; $ 2) $f(x) = \begin{cases} x\sqrt{x} & ; \ x \ge 0
x^2 & ; \ x < 0 \end{cases}$ et $a = 0$
$f(x) = |x^2-3x|$ et $a=3 ; $ 4) $f(x) = \begin{cases} x^3 – x & ; \ x \ge 1
\dfrac{1}{3}x^3 – \dfrac{1}{3} & ; \ x < 1 \end{cases}$ et $a = 1$

2.2. Interprétation géométrique

Propriété

[Demi-tangente à droite] Si $f$ est une fonction dérivable à droite au point $a$, alors sa courbe représentative $\mathscr{C}_f$ admet une demi-tangente $(T_1)$ au point $A(a; f(a))$ de coefficient directeur $f'_d(a)$. L'équation de la demi-tangente $(T_1)$ est donnée par :

\begin{cases} y = f'_d(a)(x-a) + f(a) \\ x \ge a \end{cases}

Propriété

[Demi-tangente à gauche] Si $f$ est une fonction dérivable à gauche au point $a$, alors sa courbe représentative $\mathscr{C}_f$ admet une demi-tangente $(T_2)$ au point $A(a; f(a))$ de coefficient directeur $f'_g(a)$. L'équation de la demi-tangente $(T_2)$ est donnée par :

\begin{cases} y = f'_g(a)(x-a) + f(a) \\ x \le a \end{cases}

Remarque

[Point anguleux] Si $f$ est une fonction dérivable à gauche et à droite en $a$ telle que $f'_g(a) \neq f'_d(a)$, alors $f$ n'est pas dérivable en $a$. On dit que $A(a; f(a))$ est un point anguleux de la courbe $\mathscr{C}_f$.

Remarque

Si $f'_d(a) = 0$ (resp. $f'_g(a) = 0$), alors la demi-tangente $(T_1)$ (resp. $(T_2)$) est horizontale, c'est-à-dire, parallèle à l'axe des abscisses.
Si $\lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \pm \infty$ ou $\lim_{h \to 0^-} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \pm \infty$, alors la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ admet une demi-tangente verticale au point $A(a; f(a))$ (parallèle à l'axe des ordonnées).

\lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = -\infty

\lim_{x \to a^+} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = -\infty

\lim_{h \to 0^-} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = -\infty

\lim_{x \to a^-} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = -\infty

Exemple

1) On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^2 – |x|$ On a déjà montré que $f$ est dérivable à droite et à gauche en 0 et que : $f'_d(0) = -1$ et $f'_g(0) = 1$. Par conséquent, la courbe $\mathscr{C}_f$ admet au point $O$ deux demi-tangentes définies par :

\text{demi-tangente à droite : } (T_1) : \begin{cases} y = -x \\ x \ge 0 \end{cases} ; \text{demi-tangente à gauche : } (T_2) : \begin{cases} y = x \\ x \le 0 \end{cases}

2) On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = \sqrt{x+1}$ On a : $\lim_{x \to -1^+} \dfrac{g(x)-g(-1)}{x+1} = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{\sqrt{x+1}}{x+1} = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{1}{\sqrt{x+1}} = +\infty$. La fonction $g$ n'est pas donc dérivable à droite au point $-1$. \underline{Interprétation géométrique} La courbe $\mathscr{C}_g$ admet une demi-tangente parallèle à l'axe des ordonnées au point $A(-1; 0)$.

Application

Dans chacun des cas suivants, étudier la dérivabilité de la fonction $f$ à droite et à gauche au point $a$ puis définir les demi-tangentes de la courbe $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ au point $A(a; f(a))$.

$1) \ f(x) = x|x-2|$ et $a = 2 ; 2) \ f(x) = |x^2+x|$ et $a = 0$
$3) \ f(x) = \begin{cases} x^3 – x & ; \ x \le -1
x^2 + x & ; \ x > -1 \end{cases} ; 4) \ f(x) = \begin{cases} -x^3 + 3x & ; \ x \le -2
\sqrt{4-x^2} & ; \ -2 < x \le 2 \end{cases}$ et $a = -2$

3.Dérivabilité d’une fonction sur un intervalle

3.1. Fonction dérivée

Définition

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$. On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si elle est dérivable en tout point $x$ de $I$. On note $f'$ la fonction qui, à chaque $x \in I$, associe le nombre dérivé de $f$ en $x$. On l'appelle la fonction dérivée de $f$, ou plus simplement la dérivée de $f$. On écrit aussi : $f' = \dfrac{df}{dx}$.

Exemple

1) Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^2 + x$ Montrons que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et déterminons sa fonction dérivée : On a pour tout $a \in \mathbb{R}$ : $\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h \to 0} (2a+1+h) = 2a+1$ Par conséquent, la fonction $f$ est dérivable en tout point $a$ de $\mathbb{R}$ et de plus : $f'(a) = 2a+1$. En résumé, la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on a : $(\forall x \in \mathbb{R}) \ f'(x) = 2x+1$. 2) Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^+$ par : $f(x) = x\sqrt{x}$ Montrons la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^{*+}$ et déterminons sa fonction dérivée : On a pour tout $a \in \mathbb{R}^{*+}$ :

\lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{(a+h)\sqrt{a+h}-a\sqrt{a}}{h} = \lim_{h \to 0} \left( \dfrac{a}{\sqrt{a+h}+\sqrt{a}} + \sqrt{a+h} \right) = \dfrac{3}{2}\sqrt{a}

Par conséquent, la fonction $f$ est dérivable en tout point $a$ de $\mathbb{R}^{*+}$ et de plus : $f'(a) = \dfrac{3}{2}\sqrt{a}$. En résumé, la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^{*+}$ et on a : $\left(\forall x \in \mathbb{R}^{*+}\right) \ f'(x) = \dfrac{3}{2}\sqrt{x}$.

Définition

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $[a; b]$. On dit que $f$ est dérivable sur $[a; b]$ si elle est dérivable sur l'intervalle ouvert $]a; b[$ et dérivable à droite en $a$ et à gauche en $b$.

Application

Dans chacun des cas suivants, étudier la dérivabilité de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$ puis définir sa fonction dérivée $f'$ sur l'intervalle $I$ :

$1) \ f(x) = x^2 + 3x – 1$ et $I = \mathbb{R} ; 2) \ f(x) = \sqrt{x – x^2}$ et $I = [0; 1]$
$3) \ f(x) = \sqrt{2x – 1}$ et $I = \left[\dfrac{1}{2}; +\infty\right[ ; 4) \ f(x) = (x^2 – x)\sqrt{x – 1}$ et $I = [1; +\infty[$
$5) \ f(x) = 2\cos x + 1$ et $I = \mathbb{R} ; 6) \ f(x) = \dfrac{x}{x^2 – 4}$ et $I = ]-\infty; -2[$

3.2. Opérations sur les fonctions dérivables

Proposition

Soit $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ ; $n$ un entier naturel non nul et $\alpha \in \mathbb{R}$. On a alors les propriétés suivantes :

(f+g)' = f'+g' ; (\alpha f)' = \alpha f' ; (f \cdot g)' = f' \cdot g + g' \cdot f ; \left(f^n\right)' = n \cdot f' \cdot f^{n-1}

Si la fonction $g$ ne s'annule pas sur $I$ alors : $\left(\dfrac{1}{g}\right)' = -\dfrac{g'}{g^2} \text{ et } \left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f' \cdot g – f \cdot g'}{g^2}$. Enfin, si $f$ est strictement positive sur $I$, alors : $\left(\sqrt{f}\right)' = \dfrac{f'}{2\sqrt{f}}$.

Preuve

Dérivabilité de la somme de deux fonctions : On a pour tout $a \in I$ : $\lim_{h \to 0} \dfrac{(f+g)(a+h)-(f+g)(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \left( \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} + \dfrac{g(a+h)-g(a)}{h} \right) = f'(a) + g'(a)$ Par conséquent, $f+g$ est dérivable sur $I$ et de plus : $\left(\forall a \in I\right) \ \left(f+g\right)'(a) = f'(a) + g'(a)$.
Dérivabilité du produit d'une fonction par un réel : On a pour tout $a \in I$ et pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$ : $\lim_{h \to 0} \dfrac{(\alpha f)(a+h)-(\alpha f)(a)}{h} = \alpha \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \alpha f'(a)$ Par conséquent, $\alpha f$ est dérivable sur $I$ et de plus : $\left(\forall a \in I\right) \ (\alpha f)'(a) = \alpha f'(a)$.
Dérivabilité d'un produit de deux fonctions : On a pour tout $a \in I$ : $\begin{aligned}\lim_{h \to 0} \dfrac{(fg)(a+h)-(fg)(a)}{h} &= \lim_{h \to 0} \left( \dfrac{f(a+h)g(a+h)-f(a)g(a+h)}{h} + \dfrac{f(a)g(a+h)-f(a)g(a)}{h} \right) \\ &= \lim_{h \to 0} \left( \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} g(a+h) + f(a) \dfrac{g(a+h)-g(a)}{h} \right) \\ &= f'(a)g(a) + f(a)g'(a)\end{aligned}$ Par conséquent, $f \cdot g$ est dérivable sur $I$ et de plus : $\left(\forall a \in I\right) \ (f \cdot g)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)$.
Dérivabilité de l'inverse d'une fonction : On a pour tout $a \in I$ : $\lim_{h \to 0} \dfrac{\dfrac{1}{g(a+h)}-\dfrac{1}{g(a)}}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{g(a+h)-g(a)}{h} \times \left(-\dfrac{1}{g(a+h) \cdot g(a)}\right) = -\dfrac{g'(a)}{(g(a))^2}$ Par conséquent, $\dfrac{1}{g}$ est dérivable sur $I$ et de plus : $\left(\forall a \in I\right) \ \left(\dfrac{1}{g}\right)'(a) = -\dfrac{g'(a)}{g^2(a)}$.
Dérivabilité du quotient de deux fonctions : Il suffit de remarquer que pour tout $a \in I$ : $\dfrac{f}{g} = f \times \dfrac{1}{g}$ puis appliquer la formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions.
Dérivabilité de la racine carrée d'une fonction : On a pour tout $a \in I$ : $\lim_{h \to 0} \dfrac{\sqrt{f(a+h)}-\sqrt{f(a)}}{h} = \lim_{h \to 0} \left( \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} \times \dfrac{1}{\sqrt{f(a+h)}+\sqrt{f(a)}} \right) = \dfrac{f'(a)}{2\sqrt{f(a)}}$ Par conséquent, $\sqrt{f}$ est dérivable sur $I$ et de plus : $\left(\forall a \in I\right) \ \left(\sqrt{f}\right)'(a) = \dfrac{f'(a)}{2\sqrt{f(a)}}$.
Dérivabilité d'une puissance d'une fonction : Il suffit de faire un raisonnement par récurrence sur $n \in \mathbb{N}^*$ et remarquer que pour tout $a \in I$ : $\left(f^{n+1}\right)'(a) = \left(f^n \times f\right)'(a)$

Proposition

Toute fonction polynomiale est dérivable sur $\mathbb{R}$.
Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition.

Exemple

1) Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^2 + 3x – 1$. La fonction $f$ est polynomiale ; donc dérivable sur $\mathbb{R}$. De plus, on a pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

f'(x) = \left(x^2 + 3x – 1\right)' = \left(x^2\right)' + (3x-1)' = 2x+3

Ainsi : $ \left(\forall x \in \mathbb{R}\right) \ f'(x) = 2x+3$ 2) Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}^+$ par : $f(x) = x^3 + \sqrt{x}$. On sait que la fonction $x \mapsto x^3$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que la fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*_+$ ; par conséquent, la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*_+$ en tant que somme de deux fonctions dérivables sur cet intervalle. De plus, on a pour tout $x \in \mathbb{R}^*_+$ :

f'(x) = \left(x^3 + \sqrt{x}\right)' = \left(x^3\right)' + \left(\sqrt{x}\right)' = 3x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}

Ainsi : $ \left(\forall x \in \mathbb{R}^*_+\right) \ f'(x) = 3x^2 + \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ 3) Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 4\sin x$. On sait que la fonction $x \mapsto \sin x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ ; donc la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et de plus, on a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f'(x) = 4(\sin x)' = 4\cos x$ 4) Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^4 \cos x$. On sait que les fonctions $x \mapsto x^4$ et $x \mapsto \cos x$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ ; par conséquent, la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ en tant que produit de deux fonctions dérivables sur cet intervalle. De plus, on a pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

f'(x) = \left(x^4 \cos x\right)' = \left(x^4\right)' \cos x + x^4 \left(\cos x\right)' = 4x^3 \cos x – x^4 \sin x

Ainsi : $ \left(\forall x \in \mathbb{R}\right) \ f'(x) = x^3 (4\cos x – x\sin x)$ 5) Soit $f$ la fonction numérique définie par : $f(x) = \dfrac{6}{4x^2 + 3x – 1}$. Le domaine de définition de la fonction $f$ est : $D_f = \mathbb{R} – \left\{-1 ; \dfrac{1}{4}\right\}$. Puisque $f$ est une fonction rationnelle, alors elle est dérivable sur chaque intervalle inclus dans $D_f$. De plus, on a pour tout $x \in D_f$ :

f'(x) = \left(\dfrac{6}{4x^2 + 3x – 1}\right)' = 6 \left(\dfrac{1}{4x^2 + 3x – 1}\right)' = -6 \times \dfrac{(4x^2 + 3x – 1)'}{(4x^2 + 3x – 1)^2} = -6 \times \dfrac{8x + 3}{(4x^2 + 3x – 1)^2}

Par suite : $ \left(\forall x \in D_f\right) \ f'(x) = – \dfrac{48x + 18}{\left(4x^2 + 3x – 1\right)^2}$ 6) Soit $f$ la fonction numérique définie par : $f(x) = \sqrt{x^2 – x}$. Le domaine de définition de la fonction $f$ est : $D_f = ]-\infty; 0] \cup [1; +\infty[$. La fonction $x \mapsto x^2 – x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ car c'est une fonction polynomiale. Il s'ensuit donc que la fonction $f$ est dérivable en tout point de $D_f$ tel que $x^2 – x > 0$. Par conséquent, la fonction $f$ est dérivable sur chaque intervalle inclus dans $D_f – \{0 ; 1\}$. De plus, on a pour tout $x \in D_f – \{0 ; 1\}$ :

f'(x) = \left(\sqrt{x^2 – x}\right)' = \dfrac{\left(x^2 – x\right)'}{2\sqrt{x^2 – x}} = \dfrac{2x – 1}{2\sqrt{x^2 – x}}

Par suite : $ \left(\forall x \in D_f – \{0 ; 1\}\right) \ f'(x) = \dfrac{2x – 1}{2\sqrt{x^2 – x}}$ 7) Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \left(x^3 – 4x^2 + 5x – 7\right)^6$. La fonction $f$ est polynomiale ; donc dérivable sur $\mathbb{R}$. De plus, on a pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

Applications

Proposition

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ ; $a$ et $b$ deux nombres réels avec $a \neq 0$. Soit $J$ l'ensemble des réels $x$ tels que $(ax+b) \in I$. Alors : La fonction $f$ définie par : $f(x) = u(ax+b)$ est dérivable sur l'intervalle $J$ et de plus :

\left(\forall x \in J\right) \ f'(x) = a u'(ax+b)

Exemple

1) On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \sin(3x+2)$ On sait que la fonction $\sin$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, donc il en est de même pour la fonction $f$. On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f'(x) = 3\sin'(3x+2) = 3\cos(3x+2)$ 2) On considère la fonction $f$ définie par : $f(x) = \tan\left(\dfrac{\pi}{2} x\right)$ Soit $D_f$ le domaine de définition de $f$. On a :

x \in D_f \Leftrightarrow \left[ \left(\forall k \in \mathbb{Z}\right) \ \dfrac{\pi}{2} x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \right] \Leftrightarrow \left[ \left(\forall k \in \mathbb{Z}\right) \ x \neq 2k + 1 \right]

Donc : $D_f = \mathbb{R} – \{2k + 1 / k \in \mathbb{Z}\}$. On sait que la fonction $\tan$ est dérivable sur tout intervalle inclus dans son ensemble de définition ; donc $f$ est dérivable sur $D_f$ et de plus, pour tout $x \in D_f$ : $f'(x) = \dfrac{\pi}{2} \tan'\left(\dfrac{\pi}{2} x\right) = \dfrac{\pi}{2} \times \dfrac{1}{\cos^2\left(\dfrac{\pi}{2} x\right)}$

Applications

4.Applications de la dérivation

4.1. MONOTONIE D’UNE FONCTION NUMÉRIQUE

Proposition

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.

Si la fonction $f$ est constante sur $I$, alors : $\left(\forall x \in I\right) \ f'(x) = 0$
Si la fonction $f$ est croissante sur $I$, alors : $\left(\forall x \in I\right) \ f'(x) \geq 0$
Si la fonction $f$ est décroissante sur $I$, alors : $\left(\forall x \in I\right) \ f'(x) \leq 0$

Preuve

Soit $x \in I$. On pose $J = I – \{x\}$ et on considère la fonction $F$ définie par : $\left(\forall t \in J\right) \ F(t) = \dfrac{f(t)-f(x)}{t-x}$. Puisque la fonction $f$ est dérivable sur $I$, alors elle est dérivable en $x$. Donc : $\lim_{t \to x} \dfrac{f(t)-f(x)}{t-x} = f'(x)$.

Si la fonction $f$ est constante sur $I$, alors : $\left(\forall t \in J\right) \ F(t) = 0$. Donc : $\lim_{t \to x} F(t) = 0$, c'est-à-dire : $f'(x) = 0$.
Si la fonction $f$ est croissante sur $I$, alors : $\left(\forall t \in J\right) \ F(t) \geq 0$. Donc : $\lim_{t \to x} F(t) \geq 0$, c'est-à-dire : $f'(x) \geq 0$.
Si la fonction $f$ est décroissante sur $I$, alors : $\left(\forall t \in J\right) \ F(t) \leq 0$. Donc : $\lim_{t \to x} F(t) \leq 0$, c'est-à-dire : $f'(x) \leq 0$.

Proposition

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.

Si $f'$ est positive sur $I$ et ne s'y annule qu'en un nombre fini de points, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.
Si $f'$ est négative sur $I$ et ne s'y annule qu'en un nombre fini de points, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.
Si $f'$ est nulle sur $I$, alors la fonction $f$ est constante sur $I$.

Exemple

1) On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^3 – 12x$ La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ car c'est une fonction polynomiale. De plus, on a pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

f'(x) = \left(x^3 – 12x\right)' = 3x^2 – 12 = 3\left(x^2 – 4\right)

On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $$ f'(x) > 0 \Leftrightarrow x \in ]-\infty; -2[ \cup ]2; +\infty[ \text{et} f'(x) 0$, alors le signe de $f'(x)$ est celui du trinôme $4x^2 – 3x$. On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $4x^2 – 3x > 0 \Leftrightarrow x(4x – 3) > 0 \Leftrightarrow x \in ]-\infty; 0[ \cup \left]\dfrac{3}{4}; +\infty\right[$. Par conséquent :

La fonction $f$ est strictement croissante sur les intervalles $]-\infty; 0[$ et $\left]\dfrac{3}{4}; +\infty\right[$ ;
La fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]0; \dfrac{3}{4}\right[$.

Remarque

Les résultats de la proposition précédente ne sont valables que sur un intervalle.
La fonction dérivée est un outil puissant pour étudier la monotonie d'une fonction numérique. Pour étudier la monotonie d'une fonction $f$ dérivable sur un intervalle de $\mathbb{R}$, on calcule la fonction dérivée $f'$ puis on détermine son signe et on utilise la proposition précédente.

Applications

4.2. EXTREMA D’UNE FONCTION DÉRIVABLE SUR UN INTERVALLE

Proposition

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a$ un élément de $I$. Si $f$ admet un extremum local au point $a$, alors : $f'(a) = 0$.

Remarque

La réciproque de la proposition précédente est évidemment fausse comme le montre l'exemple classique $f(x) = x^3$ sur $\mathbb{R}$. Pour cet exemple, on a $f'(0) = 0$ mais $f$ ne présente pas un extremum en $0$. La condition $f'(a) = 0$ est donc nécessaire mais pas suffisante pour que la fonction $f$ présente un extremum un point $a$ d'un intervalle ouvert $I$.
Si $f$ admet un extremum local au point $a$, alors la tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A(a; f(a))$ est horizontale.

Proposition

Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $a$ un élément de $I$. Si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors $f$ admet un extremum en $a$.

Exemple

1) On considère la fonction $f$ définie par : $f(x) = x + \dfrac{1+x}{1+2x}$

Le domaine de définition de la fonction $f$ est : $D_f = \left]-\infty; -\dfrac{1}{2}\right[ \cup \left]-\dfrac{1}{2}; +\infty\right[$.
Calculons les limites de $f$ aux bornes de son domaine de définition : $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \left(x + \dfrac{1+x}{1+2x}\right) = -\infty \text{ car } \lim_{x \to -\infty} x = -\infty \text{ et } \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1+x}{1+2x} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x}{2x} = \dfrac{1}{2}$ $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(x + \dfrac{1+x}{1+2x}\right) = +\infty \text{ car } \lim_{x \to +\infty} x = +\infty \text{ et } \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1+x}{1+2x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{2x} = \dfrac{1}{2}$ $\lim_{x \to \left(-\frac{1}{2}\right)^+} f(x) = \lim_{x \to \left(-\frac{1}{2}\right)^+} \left(x + \dfrac{1+x}{1+2x}\right) = +\infty \text{ et } \lim_{x \to \left(-\frac{1}{2}\right)^-} f(x) = \lim_{x \to \left(-\frac{1}{2}\right)^-} \left(x + \dfrac{1+x}{1+2x}\right) = -\infty$
La fonction $f$ est dérivable sur $D_f$ car c'est une fonction rationnelle. De plus, on a pour $x \in D_f$ : $f'(x) = \left(x + \dfrac{1+x}{1+2x}\right)' = 1 – \dfrac{1}{(1+2x)^2} = \dfrac{(1+2x)^2 – 1}{(1+2x)^2}$ Et par suite, pour tout $x \in D_f$ : $ f'(x) = \dfrac{4x(1+x)}{(1+2x)^2}$

Tableau de variations de la fonction $f$ :

La fonction $f$ admet deux extremums locaux sur son domaine de définition :
- Un minimum local en $0$ et qui est $f(0) = 1$.
- Un maximum local en $-1$ et qui est $f(-1) = -1$.

2) On considère la fonction $g$ définie sur $I = \left[\dfrac{\pi}{4} ; \dfrac{5\pi}{4}\right]$ par : $g(x) = \sin x – \cos x$ La fonction $g$ est dérivable sur $I$ en tant que différence de deux fonctions dérivables sur cet intervalle. De plus, pour tout $x \in I$ : $ g'(x) = \cos x + \sin x = \sqrt{2} \cos\left(x – \dfrac{\pi}{4}\right)$. On a pour tout $x \in I$ : $ g'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos\left(x – \dfrac{\pi}{4}\right) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{3\pi}{4}$ Tableau de variations de la fonction $g$ :

On en déduit donc que la fonction $g$ admet un maximum absolu en $\dfrac{3\pi}{4}$ qui est : $f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$

Applications

5.DÉRIVÉES SUCCESSIVES

Exemple

1) On considère la fonction $f$ définie par : $f(x) = 6x^3 – 5x^2 + 11x – 7$ On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f'(x) = 18x^2 – 10x + 11 ; f''(x) = 36x – 10 ; f^{(3)}(x) = 36$ Enfin, on a pour tout entier $n \geq 4$ : $f^{(n)}(x) = 0$.

Applications

6.L’ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE $y” + \omega^2 y = 0$

Définition

Soit $\omega$ un nombre réel non nul.

L'équation $y'' + \omega^2 y = 0$ où l'inconnue est une fonction $y$ telle que $y''$ est sa dérivée seconde est appelée équation différentielle.
Toute fonction $f$ deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et vérifiant $f''(x) + \omega^2 f(x) = 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ est appelée solution de l'équation différentielle $y'' + \omega^2 y = 0$.

Proposition

Soit $\omega$ un nombre réel non nul. La solution générale de l'équation différentielle $y'' + \omega^2 y = 0$ est l'ensemble des fonctions $y$ définies sur $\mathbb{R}$ par : $y(x) = \alpha \cos(\omega x) + \beta \sin(\omega x)$ où $(\alpha; \beta) \in \mathbb{R}^2$

Exemple

1) La solution générale de l'équation différentielle $y'' + y = 0$ est :

y(x) = \alpha \cos x + \beta \sin x \text{où} (\alpha; \beta) \in \mathbb{R}^2

2) La solution générale de l'équation différentielle $y'' + 2y = 0$ est :

y(x) = \alpha \cos\left(\sqrt{2}x\right) + \beta \sin\left(\sqrt{2}x\right) \text{où} (\alpha; \beta) \in \mathbb{R}^2

Proposition

Soit $\omega$ un nombre réel non nul et $(x_0; y_0; y_1) \in \mathbb{R}^3$. Alors l'équation différentielle $y'' + \omega^2 y = 0$ possède une solution unique $f$ vérifiant les conditions : $f(x_0) = y_0 \text{et} f'(x_0) = y_1$

Exemple

Déterminons la solution $f$ de l'équation différentielle $y'' + 4y = 0$ vérifiant : $f(0) = 1$ et $f'(0) = 2$. La solution générale de l'équation $y'' + 4y = 0$ est : $y(x) = \alpha \cos(2x) + \beta \sin(2x)$ où $(\alpha; \beta) \in \mathbb{R}^2$. Comme $f$ est solution de l'équation $y'' + 4y = 0$, alors : $f(x) = \alpha \cos(2x) + \beta \sin(2x)$ où $(\alpha; \beta) \in \mathbb{R}^2$. On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f'(x) = -2\alpha \sin(2x) + 2\beta \cos(2x)$. Les conditions $f(0) = 1$ et $f'(0) = 2$ se traduisent donc par le système : $\begin{cases} \alpha = 1
2\beta = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \alpha = \beta = 1$. Ainsi : $(\forall x \in \mathbb{R})\ f(x) = \cos(2x) + \sin(2x)$

Remarque

Dans le cas où $\omega = 0$, l'équation différentielle $y'' + \omega^2 y = 0$ devient $y'' = 0$. Dans ce cas, la solution générale de l'équation $y'' = 0$ est donnée par : $y(x) = ax + b$ où $(a; b) \in \mathbb{R}^2$.
La solution générale de l'équation différentielle $y'' + \omega^2 y = 0$ avec $\omega \neq 0$ peut encore s'écrire sous la forme : $y(x) = \lambda \cos(\omega x + \varphi)$ ou $y(x) = \lambda \sin(\omega x + \varphi)$ avec $(\lambda; \varphi) \in \mathbb{R}^2$.