1.1. ENSEMBLE DE DÉFINITION D’UNE FONCTION NUMÉRIQUE
Définition
Soit $A$ une partie de $\mathbb{R}$.
Une fonction $f$ définie d'un ensemble $A$ dans $\mathbb{R}$ est la donnée pour chaque élément de $A$ d'un unique élément $y$ de $\mathbb{R}$ appelé image de $x$. On note alors $y = f(x)$.
L'ensemble $A$, des nombres réels qui possèdent une image par $f$, est appelé ensemble de définition de la fonction numérique $f$. Il est noté traditionnellement $D_f$.
Remarque
L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est la plus grande partie de $\mathbb{R}$ sur laquelle on peut calculer la valeur de $f(x_0)$ en tout point $x_0$ de cette partie. On a donc :
En pratique, on utilise souvent l'équivalence : $x \in D_f \iff (x \in \mathbb{R} \text{ et } f(x) \in \mathbb{R})$
Exemple
1) L'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x) = x^3 – 5x^2 + 4x – \sqrt{2}$ :
Puisque $f$ est une fonction polynomiale, alors $D_f = \mathbb{R}$.
2) L'ensemble de définition de la fonction $g$ définie par $g(x) = \dfrac{5x + 1}{x^2 – 3x + 2}$ :
On a : $D_g = \{x \in \mathbb{R} \, / \, x^2 – 3x + 2 \neq 0\}$. Les solutions de l'équation $x^2 – 3x + 2 = 0$ sont $x_1 = 1$ et $x_2 = 2$.
Par suite : $D_g = ]-\infty; 1[ \cup ]1; 2[ \cup ]2; +\infty[$
3) L'ensemble de définition de la fonction $h$ définie par $h(x) = \sqrt{x^2 – 3x + 2}$ :
On a : $x \in D_h \iff (x \in \mathbb{R} \text{ et } x^2 – 3x + 2 \ge 0)$
Après avoir dressé le tableau de signe de $x^2 – 3x + 2$, on obtient : $D_h = ]-\infty; 1] \cup [2; +\infty[$.
4) L'ensemble de définition de la fonction $k$ définie par $k(x) = \sqrt{x – 3} + \dfrac{1}{x – 5}$ :
On a : $x \in D_k \iff (x \in \mathbb{R} \text{ et } x – 5 \neq 0 \text{ et } x – 3 \ge 0)$
Donc : $x \in D_k \iff (x \neq 5 \text{ et } x \ge 3)$
Par suite : $D_k = [3; 5[ \cup ]5; +\infty[$.
Application
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f$ dans chacun des cas suivants :
1) $f(x) = \dfrac{x + 1}{2x^2 – x – 1}$ ;
2) $f(x) = \sqrt{\dfrac{x – 1}{x^2 – 5x – 6}}$ ;
3) $f(x) = \dfrac{\sqrt{x – 1}}{\sqrt{x^2 – 5x – 6}}$
4) $f(x) = \dfrac{1 – \sqrt{x}}{2|x| – 1}$ ;
5) $f(x) = \dfrac{\tan x}{\cos x – 1}$ ;
6) $f(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{\sin^2 x + \sin x – 2}$
1.2. PARITÉ D’UNE FONCTION NUMÉRIQUE
Définition
Soit $f$ une fonction numérique et $D_f$ son ensemble de définition.
On dit que la fonction $f$ est paire si pour tout $x \in D_f$ : $-x \in D_f \text{et} f(-x) = f(x)$.
On dit que la fonction $f$ est impaire si pour tout $x \in D_f$ : $-x \in D_f \text{et} f(-x) = -f(x)$.
sont des fonctions paires.
2) Les fonctions suivantes :
\[\begin{array}{ccc}
g_1 : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\
x \mapsto -5x
\end{array}
;
\begin{array}{ccc}
g_2 : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \\
x \mapsto \dfrac{1}{2}x^3
\end{array}
;
\begin{array}{ccc}
g_3 : \left]-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right[ \to \mathbb{R} \\
x \mapsto \sin x – \tan x
\end{array}
;
\begin{array}{ccc}
g_4 : ]-1; 1[ \to \mathbb{R} \\
x \mapsto \dfrac{x^3}{\sqrt{1 – x^2}}
\end{array}\]
sont des fonctions impaires.
Proposition
Si $f$ est une fonction paire, alors l'axe des ordonnées est un axe de symétrie de sa courbe $\mathscr{C}_f$.
Si $f$ est une fonction impaire, alors l'origine du repère est un centre de symétrie de sa courbe $\mathscr{C}_f$.
Application
Étudier la parité de la fonction $f$ dans chacun des cas suivants :
1) $f(x) = \dfrac{3x}{x^2 + 1}$ ;
2) $f(x) = \dfrac{x^2 – 1}{\sqrt{4 – x^2}}$ ;
3) $f(x) = x^3 – x^2 + 1$
4) $f(x) = \dfrac{\sin x}{2\cos x – 1}$ ;
5) $f(x) = \dfrac{x^4}{x^3 – 1}$ ;
6) $f(x) = \dfrac{|x|}{x^4 + 1}$
2.MONOTONIE D’UNE FONCTION NUMÉRIQUE
2.1. SENS DE VARIATIONS D’UNE FONCTION (RAPPELS)
Définition
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$ inclus dans son ensemble de définition.
On dit que la fonction $f$ est croissante sur $I$ si :
On dit que la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$ si :
\[(\forall (x_1; x_2) \in I^2) (x_1 f(x_2))\]
Proposition
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$, $x_1$ et $x_2$ deux éléments distincts de $I$.
Le nombre $T(x_1; x_2) = \dfrac{f(x_1) – f(x_2)}{x_1 – x_2}$ est appelé le taux de variation (ou d'accroissement) de la fonction $f$ entre $x_1$ et $x_2$. De plus, on a les propriétés suivantes :
$f$ est croissante sur $I$ si, et seulement si : $(\forall (x_1; x_2) \in I^2) : x_1 \neq x_2 \implies T(x_1; x_2) \ge 0$.
$f$ est strictement croissante sur $I$ si, et seulement si : $(\forall (x_1; x_2) \in I^2) : x_1 \neq x_2 \implies T(x_1; x_2) > 0$.
$f$ est décroissante sur $I$ si, et seulement si : $(\forall (x_1; x_2) \in I^2) : x_1 \neq x_2 \implies T(x_1; x_2) \le 0$.
$f$ est strictement décroissante sur $I$ si, et seulement si : $(\forall (x_1; x_2) \in I^2) : x_1 \neq x_2 \implies T(x_1; x_2) < 0$.
Exemple
On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par : $f(x) = \dfrac{x}{x^3 + 16}$.
Étudions la monotonie de la fonction $f$ sur chacun des intervalles $[0; 2]$ et $[2; +\infty[$ :
Soit $x_1$ et $x_2$ deux éléments distincts de $\mathbb{R}^+$. On a :
Monotonie de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; 2]$ :
On a : $0 \le x_1 \le 2$ et $0 \le x_2 \le 2$, donc : $0 \le x_1x_2 \le 4$ et $0 \le x_1 + x_2 \le 4$. Par conséquent :
Il s'ensuit donc que : $\dfrac{16 – x_1x_2(x_1 + x_2)}{(x_1^3 + 16)(x_2^3 + 16)} \ge 0$ ; c'est-à-dire que : $T(x_1; x_2) \ge 0$.
Ainsi, la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0; 2]$.
Monotonie de la fonction $f$ sur l'intervalle $[2; +\infty[$ :
On a : $x_1 \ge 2$ et $x_2 \ge 2$, donc : $x_1x_2 \ge 4$ et $x_1 + x_2 \ge 4$. Par conséquent :
Il s'ensuit donc que : $\dfrac{16 – x_1x_2(x_1 + x_2)}{(x_1^3 + 16)(x_2^3 + 16)} \le 0$ ; c'est-à-dire que : $T(x_1; x_2) \le 0$.
Ainsi, la fonction $f$ est décroissante sur $[2; +\infty[$.
Tableau de variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}^+$ :
Application
Étudier les variations de la fonction numérique $f$ sur les intervalles $I$ et $J$ dans les deux cas suivants :
1. $f(x) = \dfrac{2x – 3}{x + 1} ; I = ]-1; +\infty[ \text{et} J = ]-\infty; -1[$.
2. $f(x) = \sqrt{x^2 – 4x + 3} ; I = ]-\infty; 1] \text{et} J = [3; +\infty[$.
2.2. MONOTONIE ET PARITÉ
Proposition
Soit $f$ une fonction numérique d'ensemble de définition $D_f$ symétrique par rapport à $0$ (c'est-à-dire que pour tout $x \in D_f$ : $-x \in D_f$).
Pour tout intervalle $I$ inclus dans $\mathbb{R}^+ \cap D_f$, on pose : $I' = \{-x / x \in I\}$. Alors :
Si la fonction $f$ est paire, alors les sens de monotonie sur $I$ et $I'$ sont opposés.
Si la fonction $f$ est impaire, alors les sens de monotonie sur $I$ et $I'$ sont identiques.
Exemple
1) On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^2 + 4|x|$.
On montre facilement que la fonction $f$ est croissante sur $\mathbb{R}^+$.
Puisque la fonction $f$ est paire, alors elle est décroissante sur $\mathbb{R}^-$.
2) On considère la fonction numérique $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$.
On montre facilement que la fonction $g$ est croissante sur $[0; 1]$ et décroissante sur $[1; +\infty[$.
Puisque $g$ est impaire, alors elle est croissante sur $[-1; 0]$ et décroissante sur $]-\infty; -1]$.
Application
1. Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}^*$ par : $f(x) = x + \dfrac{2}{x}$.
Étudier la parité de la fonction $f$.
Étudier la monotonie de la fonction $f$ sur chacun des intervalles $]0; \sqrt{2}]$ et $[\sqrt{2}; +\infty[$.
En déduire la monotonie de la fonction $f$ sur chacun des intervalles $[-\sqrt{2}; 0[$ et $]-\infty; -\sqrt{2}]$.
2. Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = \dfrac{|x|}{x^2 + |x| + 1}$.
Étudier la parité de la fonction $g$.
Étudier la monotonie de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}^+$.
En déduire la monotonie de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}^-$ puis dresser son tableau de variations.
3. Soit $h$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $h(x) = x + |2x – 3| – |2x + 3|$.
Montrer que la fonction $h$ est impaire.
Étudier la monotonie de la fonction $h$ sur chacun des intervalles $\left[0; \dfrac{3}{2}\right]$ et $\left[\dfrac{3}{2}; +\infty\right[$.
Dresser le tableau de variations de la fonction $h$.
Tracer la courbe $\mathscr{C}_h$ de la fonction $h$ dans un repère orthonormé.
2.3. VARIATIONS DES FONCTIONS $f + \lambda$ et $\lambda f$
Proposition
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$ et $\lambda$ un nombre réel non nul.
Les fonctions $f$ et $f + \lambda$ ont le même sens de variation sur l'intervalle $I$.
Si $\lambda > 0$ alors les fonctions $f$ et $\lambda f$ ont le même sens de variation sur l'intervalle $I$.
Si $\lambda < 0$ alors les fonctions $f$ et $\lambda f$ ont des sens de variation opposés sur l'intervalle $I$.
Preuve
Soit $x_1$ et $x_2$ deux éléments distincts de l'intervalle $I$. On a :
Si $\lambda > 0$ alors les fonctions $f$ et $\lambda f$ ont le même sens de variation sur l'intervalle $I$.
Si $\lambda < 0$ alors les fonctions $f$ et $\lambda f$ ont des sens de variation opposés sur l'intervalle $I$.
Exemple
1) Soit $g$ la fonction numérique définie sur $]0; +\infty[$ par : $g(x) = \dfrac{-3}{x}$.
On sait que la fonction $f : x \mapsto \dfrac{1}{x}$ est décroissante sur $]0; +\infty[$. Comme $-3 0$, alors la fonction $u$ est aussi une fonction strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$.
Soit $v$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}^+$ par : $v(x) = 2\sqrt{x} – 7$.
On a pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ : $v(x) = u(x) – 7$. Donc, la fonction $v$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$.
Application
Étudier la monotonie de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$ dans chacun des cas suivants :
1) $f(x) = 2\sqrt{x} – 3 \text{et} I = \mathbb{R}^+$ ;
2) $f(x) = x^2 – 5 \text{et} I = \mathbb{R}^-$.
3) $f(x) = \dfrac{x + 1}{x} \text{et} I = ]0; +\infty[$ ;
4) $f(x) = \dfrac{14x – 10}{x} \text{et} I = ]-\infty; 0[$.
3.COMPARAISON DE DEUX FONCTIONS NUMÉRIQUES
3.1. FONCTION POSITIVE – FONCTION NÉGATIVE
Définition
Soit $f$ une fonction numérique et $D_f$ son ensemble de définition.
On dit que la fonction $f$ est positive sur $D_f$ si : $(\forall x \in D_f) f(x) \ge 0$.
et on écrit : $f \ge 0$.
On dit que la fonction $f$ est négative sur $D_f$ si : $(\forall x \in D_f) f(x) \le 0$.
et on écrit : $f \le 0$.
Exemple
1) Les fonctions $f_1 : x \mapsto x^2 + 3$ et $f_2 : x \mapsto 3|x| + 5$ et $f_3 : x \mapsto 1 + \sin x$ sont positives sur $\mathbb{R}$.
2) Les fonctions $g_1 : x \mapsto -2x^2$ et $g_2 : x \mapsto \dfrac{-3}{x^2 + 1}$ et $g_3 : x \mapsto \cos x – 1$ sont négatives sur $\mathbb{R}$.
3) On considère la fonction numérique $f$ définie par : $f(x) = \dfrac{4 – x^2}{2x – 3}$.
Étudions le signe de la fonction $f$ sur $D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{3}{2}\right\}$ :
En dressant le tableau de signe de l'expression $f(x)$, on obtient :
On en déduit donc que :
La fonction $f$ est positive sur $\left]-\infty; -2\right] \cup \left]\dfrac{3}{2}; 2\right]$
La fonction $f$ est négative sur $\left[-2; \dfrac{3}{2}\right[ \cup \left[2; +\infty\right[$
Application
Étudier le signe de la fonction $f$ dans chacun des cas suivants :
1) $f(x) = \dfrac{3x + 2}{-2x^2 + x + 1}$ ;
2) $f(x) = \dfrac{x^2 + x – 6}{2x + 1}$ ;
3) $f(x) = (x^2 + x + 1)(\sqrt{x + 1} – 1)$
3.2. COMPARAISON DE DEUX FONCTIONS NUMÉRIQUES
Définition
Soit $f$ et $g$ deux fonctions numériques définies sur un même ensemble $D$.
On dit que $f$ est inférieure ou égale à $g$ sur $D$ (ou que $g$ est supérieure ou égale à $f$ sur $D$) si :
\[(\forall x \in D) f(x) \le g(x)\]
et on écrit : $f \le g$ sur $D$.
Exemple
1) On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = x^2 + x + 2$ et $f(x) = x + 1$.
Comparons les fonctions $f$ et $g$ :
On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $g(x) – f(x) = (x^2 + x + 2) – (x + 1) = x^2 + 1$.
Comme $x^2 + 1 \ge 0$, alors $f(x) \le g(x)$ ; d'où : $f \le g$.
2) On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = (x – 1)^2$ et $g(x) = -2x^2 + 4x – 1$.
Comparons les fonctions $f$ et $g$ :
On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $g(x) – f(x) = -3x^2 + 6x = 3x(2 – x)$.
En résumé :
$f \ge g$ sur la réunion des intervalles $[2; +\infty[$ et $]-\infty; 0]$ ;
$f \le g$ sur l'intervalle $[0; 2]$.
Application
Comparer les fonctions $f$ et $g$ dans chacun des cas suivants :
1) $f(x) = x \text{et} g(x) = \dfrac{1}{x}$ ;
2) $f(x) = \dfrac{x}{x + 1} \text{et} g(x) = x^2$
3) $f(x) = \dfrac{1 + 2x}{1 + 4x} \text{et} g(x) = \dfrac{1 – 4x}{1 – 2x}$ ;
4) $f(x) = \sqrt{x^2 + 4} \text{et} g(x) = x + 2$
4.FONCTION MAJORÉE – FONCTION MINORÉE – FONCTION BORNÉE
Définition
Soit $f$ une fonction numérique et $D_f$ son ensemble de définition.
On dit que la fonction $f$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que : $ (\forall x \in D_f) f(x) \le M$.
Le nombre $M$ est dit un majorant de la fonction $f$.
On dit que la fonction $f$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que : $ (\forall x \in D_f) f(x) \ge m$.
Le nombre $m$ est dit un minorant de la fonction $f$.
On dit que la fonction $f$ est bornée si elle à la fois majorée et minorée, c'est-à-dire qu'il existe deux réels $m$ et $M$ tels que : $ (\forall x \in D_f) m \le f(x) \le M$.
Exemple
1) On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \dfrac{2x^2 + 3}{x^2 + 1}$.
Montrons que la fonction $f$ est majorée sur $\mathbb{R}$ par le nombre $3$ :
On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $3 – f(x) = 3 – \dfrac{2x^2 + 3}{x^2 + 1} = \dfrac{3x^2 + 3 – 2x^2 – 3}{x^2 + 1} = \dfrac{x^2}{x^2 + 1}$.
Puisque $\dfrac{x^2}{x^2 + 1} \ge 0$, alors $f(x) \le 3$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Ainsi, $f$ est majorée par le nombre $3$.
Proposition
Soit $f$ une fonction numérique et $D_f$ son domaine de définition.
Pour que la fonction $f$ soit bornée, il faut et il suffit que : $ (\exists \alpha \in \mathbb{R}^+) ; (\forall x \in D_f) |f(x)| \le \alpha$.
Preuve
Supposons qu'il existe $\alpha \in \mathbb{R}^+$ tel que pour tout $x \in D_f$ : $|f(x)| \le \alpha$.
Il s'ensuit donc que : $-\alpha \le f(x) \le \alpha$ pour tout $x \in D_f$. Donc, la fonction $f$ est bornée sur $D_f$.
Inversement, supposons que la fonction $f$ soit bornée. Il existe donc deux réels $m$ et $M$ tels que pour tout $x \in D_f$, $m \le f(x) \le M$. Puisque $-|m| \le m$ et $M \le |M|$, alors : $-|m| \le f(x) \le |M|$.
En notant $\alpha$ le plus grand des nombres $|m|$ et $|M|$, on obtient : $(\forall x \in D_f) : |f(x)| \le \alpha$.
Application
1. On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \dfrac{2x^2 + 7x + 7}{x^2 + 3x + 3}$.
Montrer que la fonction $f$ est majorée par $\dfrac{7}{3}$.
Montrer que la fonction $f$ est minorée par $1$.
2. Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}^*$ par : $g(x) = x + \dfrac{1}{x}$.
Montrer que la fonction $g$ est majorée par $2$ sur $\mathbb{R}^*_-$.
En déduire que la fonction $g$ est minorée par $-2$ sur $\mathbb{R}^*_+$.
3. Soit $u$ et $v$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $u(x) = \dfrac{x^4 – x^2}{x^4 + 1} \text{et} v(x) = 2\cos x – 7\sin(2x) + 3$
Montrer que les fonctions $u$ et $v$ sont bornées sur $\mathbb{R}$.
4. On considère la fonction numérique $w$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par : $w(x) = x – \sqrt{x + 1}$
Montrer par l'absurde que la fonction $w$ n'est pas majorée sur $\mathbb{R}^+$.
5.EXTREMUMS D’UNE FONCTION NUMÉRIQUE
Définition
Soit $f$ une fonction numérique, $D_f$ son ensemble de définition et $x_0 \in D_f$.
On dit que $f(x_0)$ est la valeur maximale absolue (ou le maximum absolu) de la fonction $f$ si :
\[(\forall x \in D_f) f(x) \le f(x_0)\]
On dit que $f(x_0)$ est une valeur maximale relative de la fonction $f$ s'il existe un intervalle ouvert $I$ centré en $x_0$ et inclus dans $D_f$ tel que : $(\forall x \in I) f(x) \le f(x_0)$
On dit que $f(x_0)$ est la valeur minimale absolue (ou le minimum absolu) de la fonction $f$ si :
\[(\forall x \in D_f) f(x) \ge f(x_0)\]
On dit que $f(x_0)$ est une valeur minimale relative de la fonction $f$ s'il existe un intervalle ouvert $I$ centré en $x_0$ et inclus dans $D_f$ tel que : $(\forall x \in I) f(x) \ge f(x_0)$
Les valeurs minimales et maximales de la fonction $f$ sont appelées les extremums de $f$.
Exemple
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$.
On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $\dfrac{1}{2} – f(x) = \dfrac{1}{2} – \dfrac{x}{x^2 + 1} = \dfrac{x^2 + 1 – 2x}{2(x^2 + 1)} = \dfrac{(x – 1)^2}{2(x^2 + 1)}$.
Puisque $\dfrac{(x – 1)^2}{2(x^2 + 1)} \ge 0$, alors pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f(x) \le \dfrac{1}{2}$. Comme $f(1) = \dfrac{1}{2}$, alors : $f(x) \le f(1)$.
Ainsi, la fonction $f$ admet un maximum absolu en $1$ qui est $f(1) = \dfrac{1}{2}$.
De même, on a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f(x) + \dfrac{1}{2} = \dfrac{x}{x^2 + 1} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{x^2 + 1 + 2x}{2(x^2 + 1)} = \dfrac{(x + 1)^2}{2(x^2 + 1)}$.
Puisque $\dfrac{(x + 1)^2}{2(x^2 + 1)} \ge 0$, alors pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f(x) \ge -\dfrac{1}{2}$. Comme $f(-1) = -\dfrac{1}{2}$, alors : $f(x) \ge f(-1)$.
Ainsi, la fonction $f$ admet un minimum absolu en $-1$ qui est $f(-1) = -\dfrac{1}{2}$.
Remarque
Ne jamais confondre minorant et minimum d'une fonction. Le minimum d'une fonction est un minorant qui admet un antécédent. Autrement dit, le réel $m$ est une valeur minimale de $f$ sur $I$ si, et seulement si :
\[\begin{cases}
(\forall x \in I) f(x) \ge m \\
(\exists x_0 \in I) ; f(x_0) = m
\end{cases}\]
Ne jamais confondre majorant et maximum d'une fonction. Le maximum d'une fonction est un majorant qui admet un antécédent. Autrement dit, le réel $M$ est une valeur maximale de $f$ sur $I$ si, et seulement si :
\[\begin{cases}
(\forall x \in I) f(x) \le M \\
(\exists x_0 \in I) ; f(x_0) = M
\end{cases}\]
Application
1. On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ : $f(x) = x^2 + 2x + 3 \text{et} g(x) = -x^2 + 3x + 5$.
Montrer que $2$ est la valeur minimale absolue de la fonction $f$.
Montrer que $\dfrac{29}{4}$ est la valeur maximale absolue de la fonction $g$.
2. On considère la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}^*$ : $h(x) = |x| + \dfrac{1}{|x|}$.
Montrer que $h$ admet un minimum absolu au point $1$.
6 REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DE QUELQUES FONCTIONS USUELLES
6.1. LA FONCTION TRINÔME DU SECOND DEGRÉ – PARABOLE
Exemple
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 3x^2 – 6x + 1$.
La courbe $\mathscr{C}_f$ de $f$ est une parabole de sommet $\Omega(1; -2)$ et d'axe de symétrie la droite d'équation $x = 1$.
Tableau de variations de la fonction $f$ :
Tableau de quelques valeurs de $f(x)$ et construction de $\mathscr{C}_f$ :
Dresser le tableau de variations de chacune des fonctions suivantes puis tracer sa courbe représentative :
$f(x) = -2x^2 + x + 1 ; g(x) = x^2 + 2x + 2 ; h(x) = -x^2 + |x|$
6.2. LA FONCTION HOMOGRAPHIQUE – HYPERBOLE
Exemple
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \dfrac{3x – 2}{2x + 1}$.
La courbe $\mathscr{C}_f$ de $f$ est une hyperbole de centre $\Omega\left(-\dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{2}\right)$ et d'asymptotes les droites d'équations cartésiennes $x = -\dfrac{1}{2}$ et $y = \dfrac{3}{2}$.
Tableau de variations de la fonction $f$ : (ici $\Delta = 7$ et $\Delta > 0$)
Tableau de quelques valeurs de $f(x)$ et construction de $\mathscr{C}_f$ :
6.4. LA FONCTION $x \mapsto \sqrt{x + a}$ ($a \in \mathbb{R}$)
Exemple
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \sqrt{x – 1}$.
L'ensemble de définition de la fonction $f$ est : $D_f = [1; +\infty[$
Tableau de variations de la fonction $f$ :
Tableau de quelques valeurs de $f(x)$ et construction de $\mathscr{C}_f$ :
Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R}) 0 \le f(x) < 1$.
Tracer la courbe représentative de $f$ sur l'intervalle $[-6; 6]$.
7 COMPOSÉE DE DEUX FONCTIONS NUMÉRIQUES
Définition
Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies respectivement sur deux ensembles $I$ et $J$ tels que : $f(I) \subset J$.
La fonction numérique $h$ définie sur $I$ par :
\[h(x) = g(f(x))\]
est appelée composée des fonctions $f$ et $g$ dans cet ordre.
Elle est notée $g \circ f$ (se lit : g rond f).
On a alors : $\left(\forall x \in I\right) \ g \circ f(x) = g(f(x))$
Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies respectivement sur deux intervalles $I$ et $J$ tels que : $f(I) \subset J$.
Si $f$ et $g$ ont le même sens de variation, alors $g \circ f$ est croissante (éventuellement strictement croissante) sur l'intervalle $I$.
Si $f$ et $g$ ont des sens de variation contraires, alors $g \circ f$ est décroissante (éventuellement strictement décroissante) sur l'intervalle $I$.
Preuve
On suppose que $f$ est croissante sur $I$ et $g$ est croissante sur $J$.
Soit $x_1$ et $x_2$ deux éléments de $I$ tels que $x_1 \le x_2$. Puisque $f$ est croissante sur $I$, alors : $f(x_1) \le f(x_2)$.
Comme $f(x_1) \in J$ et $f(x_2) \in J$, alors : $g(f(x_1)) \le g(f(x_2))$ (car $g$ est croissante sur $J$).
Il s'ensuit donc que : $g \circ f(x_1) \le g \circ f(x_2)$. Ainsi, la fonction $g \circ f$ est croissante sur $I$.
On suppose que $f$ est croissante sur $I$ et $g$ est décroissante sur $J$.
Soit $x_1$ et $x_2$ deux éléments de $I$ tels que $x_1 \le x_2$. Puisque $f$ est croissante sur $I$, alors : $f(x_1) \le f(x_2)$.
Comme $f(x_1) \in J$ et $f(x_2) \in J$, alors : $g(f(x_1)) \ge g(f(x_2))$ (car $g$ est décroissante sur $J$).
Il s'ensuit donc que : $g \circ f(x_1) \ge g \circ f(x_2)$. Ainsi, la fonction $g \circ f$ est décroissante sur $I$.
Application
1. En utilisant la propriété de la monotonie de la composée de deux fonctions, étudier la monotonie de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$ dans chacun des cas suivants :
$f(x) = 1 + \dfrac{5}{x^3}$ et $I = \mathbb{R}^-$ ; \item $f(x) = \dfrac{-3}{x^2 + 1}$ et $I = \mathbb{R}^+$
$f(x) = \dfrac{\cos x – 1}{\cos x + 1}$ et $I = [0; \pi[$ ; \item $f(x) = x^4 + x^2$ et $I = \mathbb{R}^+$
2. Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \dfrac{x^2 – 2x + 2}{2x^2 – 4x + 3}$.
Montrer que : $\left(\forall x \in \mathbb{R}\right) \ \dfrac{1}{2} < f(x) \le 1$.
On considère les fonctions numériques $u$ et $v$ définies par : $u(x) = x^2 – 2x$ et $v(x) = \dfrac{x + 2}{2x + 3}$.
Donner le tableau de variations de chacune des fonctions $u$ et $v$.
En utilisant les variations des fonctions $u$ et $v$, étudier les variations de la fonction $f$ sur chacun des intervalles $[1; +\infty[$ et $]-\infty; 1]$.
8 FONCTION PÉRIODIQUE
Définition
Soit $f$ une fonction numérique et $D_f$ son ensemble de définition.
On dit que $f$ est périodique s'il existe un réel non nul $T$ tel que pour tout $x \in D_f$ :
Le nombre réel $T$ est appelé alors une période de $f$. La plus petite période strictement positive de la fonction $f$ (lorsqu'elle existe) est appelée la période de la fonction $f$.
Application
1. Soit $a$ un réel strictement positif.
Montrer que la fonction $x \mapsto \tan(ax)$ est périodique et donner sa période.
2. Déterminer la période de chacune des fonctions suivantes :
\[f_1 : x \mapsto \cos^2 x ; f_2 : x \mapsto \sin\left(\dfrac{x}{2} – \dfrac{\pi}{3}\right) ; f_3 : x \mapsto \sin(3x) + \cos(2x) ; f_4 : x \mapsto \tan(3x) – \cos(4x)\]
3. Montrer que la fonction $x \mapsto x – E(x)$ est périodique de période égale 1.
Proposition
Soit $f$ une fonction périodique de période $T$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère $(O; \vec{i}; \vec{j})$.
Pour tout $k \in \mathbb{Z}^*$, le nombre $kT$ est aussi une période de la fonction $f$.
La courbe de $\mathscr{C}_f$ est invariante par toute translation de vecteur $kT\vec{i}$ avec $k \in \mathbb{Z}$.
Si $x_0 \in \mathbb{R}$ est un réel donné, la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ est la réunion des images de l'ensemble $\left\{M(x; f(x)) / x \in D_f \cap [x_0, x_0 + T[\right\}$ par toutes les translations de vecteur $kT\vec{i}$ avec $k \in \mathbb{Z}$.
Ainsi, pour étudier une fonction périodique de période $T$, il suffit de l'étudier sur un intervalle de $\mathbb{R}$ de longueur $T$. (Très souvent, on choisit un des deux intervalles $[0, T[$ ou $\left[-\dfrac{T}{2}, \dfrac{T}{2}\right[$.
Preuve
Soit $k \in \mathbb{Z}$. Montrons que $kT$ est aussi une période de la fonction $f$ :
Deux cas se présentent : $k \in \mathbb{N}^*$ et $k \in \mathbb{Z}^*_-$.
Exemple
Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \left(x – 2E\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)\left(2E\left(\dfrac{x}{2}\right) – x + 2\right)$
Montrons que $f$ est périodique de période 2 :
On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
Ainsi, la fonction $f$ est périodique de période 2.
Représentons la courbe $\mathscr{C}_f$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4 ; 4]$ :
Puisque $f$ est périodique de période 2, alors il suffit de tracer sa courbe $\mathscr{C}_f$ sur l'intervalle $[0 ; 2[$ puis de procéder par translation de vecteur $2\vec{i}$ sur les autres intervalles pour obtenir la courbe complète sur l'intervalle $[-4 ; 4]$.
On a pour tout $x \in [0 ; 2[ : E\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0$ (car $\dfrac{x}{2} \in [0 ; 1[$), donc : $f(x) = x(-x + 2) = -x^2 + 2x$.
Application
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$, périodique de périodique $T = 3$ et telle que :
