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Ensembles et applications

I.GÉNÉRALITÉS SUR LES ENSEMBLES

1.Notion d’ensemble – Élément d’un ensemble

Définition
Définition. Un ensemble $E$ est une collection d'objets satisfaisant un certain nombre de propriétés et chacun de ces objets est appelé élément de cet ensemble. Si $x$ est un élément de l'ensemble $E$, on dit que $x$ appartient à $E$ et on note $x \in E$. Si $x$ n'appartient pas à $E$, on note $x \notin E$.
Remarque
Remarques. NOTATIONS
  • Il y a des notations réservées à certains ensembles ; par exemple, $\mathbb{N}$ est l'ensemble des entiers naturels ; $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$ désignent respectivement l'ensemble des entiers relatifs, des nombres décimaux, des nombres rationnels et des nombres réels ; $\mathbb{R}^*$, $\mathbb{R}^+$, $\mathbb{R}^*_+$ désignent respectivement l'ensemble des réels non nuls, des réels positifs, des réels strictement positifs, etc.
  • Dans le cas général, on note un ensemble par une des lettres : $A, B, C, E, F, X, Y, \dots$
  • L'ensemble $E$ dont les éléments sont $1, 2, 3$ et $4$ est noté $E = \{1; 2; 3; 4\}$. Un diagramme de Venn est une courbe fermée qui entoure certains éléments d'un ensemble ; il sert à schématiser cet ensemble.
    Figure TikZ
  • Un ensemble qui ne contient aucun élément est appelé l'ensemble vide. Il est noté $\emptyset$, ou aussi $\{\}$ mais ne se note pas $\{\emptyset\}$.
  • Un ensemble qui contient un et un seul élément s'appelle un singleton.
  • Un ensemble qui contient deux éléments distincts s'appelle une paire.

2.Définition d’un ensemble

Exemple
Exemples.
  1. Soit $D_{24}$ l'ensemble des diviseurs positifs du nombre $24$.
    • Écriture en extension : $D_{24} = \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24\}$.
    • Écriture en compréhension : $D_{24} = \{n \in \mathbb{N} / n \text{ divise } 24\}$.
  2. Soit $A$ et $B$ deux points distincts du plan $\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$ la médiatrice du segment $[AB]$. On sait que la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants aux extrémités de ce segment ; on peut donc écrire l'ensemble $\mathcal{D}$ en compréhension comme suit :
    \[\mathcal{D} = \{M \in \mathcal{P} / AM = BM\}\]
  3. Soit $E$ l'ensemble des entiers naturels premiers et inférieurs à $12$. Alors : $E = \{2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11\}$.
  4. L'ensemble des multiples positifs de $5$ est : $F = \{5n / n \in \mathbb{N}\}$.
  5. L'ensemble des entiers naturels pairs est : $P = \{2k / k \in \mathbb{N}\}$.
  6. L'ensemble des entiers naturels impairs est : $I = \{2k+1 / k \in \mathbb{N}\}$.
  7. Soit $H$ l'ensemble des entiers relatifs dont le carré est inférieur ou égale à $26$.
    • Écriture en extension : $H = \{-5 ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5\}$.
    • Écriture en compréhension : $H = \{x \in \mathbb{Z} / x^2 \le 26\}$.
Application
Applications. 1. Écrire en extension les ensembles suivants :
\[A = \left\{x \in \mathbb{Z} / -\dfrac{5}{2} \le x \le \dfrac{3}{2}\right\} ; B = \left\{x \in \mathbb{R} / x^2+x+1=0\right\} ; C = \left\{x \in \mathbb{N} / x^2 \le 51 \text{ et } \sqrt{x-1} \in \mathbb{N}\right\}\]
\[D = \left\{x \in \mathbb{Z} / x^2 + (x+1)^2 + (x^2-2)^2 = 0\right\} ; E = \left\{n \in \mathbb{N} / n^3 < 200\right\} ; F = \left\{n \in \mathbb{N} / |3n-14| \le 10\right\}\]
2. Écrire en compréhension les ensembles suivants :
\[G = \{3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15\} ; H = \{1 ; 3 ; 9 ; 27 ; 81 ; \dots\} ; J = \{\dots ; -8 ; -3 ; 2 ; 7 ; 12 ; \dots\}\]
\[K = \left\{1 ; -\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{4} ; -\dfrac{1}{8} ; \dfrac{1}{16} ; \dots\right\} ; L = \left\{\dots ; \dfrac{1}{9} ; \dfrac{1}{3} ; 1 ; 3 ; 9 ; \dots\right\}\]

3.Égalité de deux ensembles

Définition
Définition. Soit $E$ et $F$ deux ensembles. On dit que $E$ et $F$ sont égaux lorsqu'ils ont les mêmes éléments et on écrit $E = F$.
Exemple
Exemples.
  1. On considère les deux ensembles : $A = \left\{x \in \mathbb{R} / |x| < 1\right\}$ et $B = ]-1 ; 1[$. On a : $A = B$.
  2. On considère les deux ensembles : $E = \left\{x \in \mathbb{R} / \left|1-\dfrac{x}{2}\right| < 1\right\}$ et $F = ]0 ; 4[$. Montrons que $E = F$ : On a : $x \in E \iff \left|1-\dfrac{x}{2}\right| < 1 \iff -1 < 1-\dfrac{x}{2} < 1 \iff 0 < \dfrac{x}{2} < 2 \iff 0 < x < 4 \iff x \in F$. Par conséquent : $E = F$.
  3. On considère les deux ensembles suivants : $A = \left\{\dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2} / k \in \mathbb{Z}\right\}$ et $B = \left\{-\dfrac{7\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2} / k \in \mathbb{Z}\right\}$ Montrons que $A = B$ :
    • Soit $x \in A$ ; il existe donc $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2}$. Il en résulte donc :
      \[x = \pi – \dfrac{7\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2} = -\dfrac{7\pi}{8} + \dfrac{k+2}{2}\pi\]
      et comme $k+2 \in \mathbb{Z}$ alors $x \in B$.
    • Réciproquement, si $x \in B$ alors il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x = \dfrac{-7\pi}{8} + \dfrac{k\pi}{2}$. Il s'ensuit donc :
      \[x = \dfrac{\pi}{8} – \pi + \dfrac{k\pi}{2} = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{(k-2)\pi}{2}\]
      et comme $k-2 \in \mathbb{Z}$ alors $x \in A$.
    En définitive : $A = B$.
Application
Applications. 1. On considère l'ensemble : $E = \left\{x \in \mathbb{R} / -\dfrac{1}{4} < \dfrac{x}{x^2+4} 1\right\}$. Montrer que $A = B$.

II.PARTIES D’UN ENSEMBLE – INCLUSION – COMPLÉMENTAIRE

1.Inclusion

Définition
Définition. Soit $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$. On dit que $A$ est incluse dans $B$ si chaque élément de $A$ est un élément de $B$. On note $A \subset B$. On dit aussi que la partie $A$ est contenue dans $B$ ou que $A$ est un sous-ensemble de $B$. En d'autres termes :
\[A \subset B \iff \left[ (\forall x \in E) ; x \in A \implies x \in B \right]\]
Figure TikZ
Remarque
Remarques.
  • Soit $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$. Dire que $A$ n'est pas incluse dans $B$ signifie qu'il existe au moins un élément $x$ de $A$ tel que $x \notin B$ et on écrit $A \not\subset B$.
  • Pour tout ensemble $A$, on a toujours : $\emptyset \subset A$ et $A \subset A$.
Exemple
Exemples.
  1. On considère l'ensemble : $E = \{-4 ; -2 ; 0 ; 3 ; 5\}$. On a : $ \{3\} \subset E ; \{-4 ; 0 ; 5\} \subset E ; \{-2 ; 1 ; 5\} \not\subset E$
  2. On a : $[-2 ; 5] \subset \mathbb{R} ; ]0 ; +\infty[ \subset \mathbb{R} ; \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} ; \{1 ; 2 ; 3 ; 5\} \subset \mathbb{N}$.
Proposition
Proposition. Soit $A$, $B$ et $C$ trois parties d'un ensemble $E$.
  • Si $A \subset B$ et $B \subset C$ alors $A \subset C$.
  • $A = B$ si, et seulement si : $A \subset B$ et $B \subset A$.
Remarque
Remarques.
  • L'écriture $A \neq B$ signifie que les ensembles $A$ et $B$ sont distincts.
  • $A = B \iff \left[ (\forall x \in E) ; x \in A \iff x \in B \right]$.
  • Si $A \subset B$ et $B \subset C$ alors on peut écrire $A \subset B \subset C$. Par exemple : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{R}$.

2.Le complémentaire

Définition
Définition. Soit $A$ une partie d'un ensemble $E$. L'ensemble des éléments de $E$ n'appartenant pas à l'ensemble $A$ est appelé le complémentaire de $A$ dans $E$. On le note $C_E^A$ ou $\overline{A}$. On a alors : $C_E^A = \{x \in E / x \notin A\} \text{et} x \in \overline{A} \iff x \notin A$
Figure TikZ
Exemple
Exemples.
  1. On a : $C_{\mathbb{R}}^{\{0\}} = \mathbb{R}^* ; C_{\mathbb{R}}^{\mathbb{R}^+} = \mathbb{R}^*_- ; C_{\mathbb{Z}}^{\mathbb{N}^*} = \mathbb{Z}^- ; C_{\mathbb{R}}^{[0;1]} = ]-\infty ; 0[ \cup ]1 ; +\infty[$.
  2. Soit $P$ l'ensemble des entiers naturels pairs : $P = \{2k / k \in \mathbb{N}\}$. Le complémentaire de $P$ dans $\mathbb{N}$ est l'ensemble $I$ des entiers naturels impairs : $I = \{2k+1 / k \in \mathbb{N}\}$.
Application
Applications.
  1. On considère l'ensemble $A = \{x \in \mathbb{N} / x^2 – 4x > 0\}$. Décrire en extension l'ensemble $C_{\mathbb{N}}^A$.
  2. On considère l'ensemble suivant : $B = \left\{x \in \mathbb{R} / x^3+x < 5\right\}$. Montrer que : $[2 ; +\infty[ \subset C_{\mathbb{R}}^B$
  3. On considère l'ensemble : $E = \left\{x \in \mathbb{R} / x^4+x^3+x^2+x = 2\right\}$. Montrer que : $[1 ; +\infty[ \subset C_{\mathbb{R}}^E$.
Proposition
Proposition. Soit $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$. Alors :
  • $C_E^E = \emptyset$ et $C_E^\emptyset = E$ et $C_E^{\overline{A}} = A$
  • $A \subset B \iff \overline{B} \subset \overline{A}$
Preuve
Preuve. Montrons que : $A \subset B \iff \overline{B} \subset \overline{A}$
  • Supposons que $A \subset B$ et montrons que $\overline{B} \subset \overline{A}$. On a :
    \[\begin{aligned}x \in \overline{B} &\implies x \notin B \\ &\implies x \notin A (\text{car } A \subset B) \\ &\implies x \in \overline{A}\end{aligned}\]
    Par conséquent : $\overline{B} \subset \overline{A}$.
  • Supposons que $\overline{B} \subset \overline{A}$ et montrons que $A \subset B$. On a :
    \[\begin{aligned}x \in A &\implies x \notin \overline{A} \\ &\implies x \notin \overline{B} (\text{car } \overline{B} \subset \overline{A}) \\ &\implies x \in B\end{aligned}\]
    Par conséquent : $A \subset B$.
Puisque $\left( A \subset B \implies \overline{B} \subset \overline{A} \right)$ et $\left( \overline{B} \subset \overline{A} \implies A \subset B \right)$, alors : $A \subset B \iff \overline{B} \subset \overline{A}$

3.ENSEMBLE DES PARTIES D’UN ENSEMBLE

Définition
Définition. Soit $E$ un ensemble. On appelle ensemble des parties de $E$, et on note $\mathcal{P}(E)$, l'ensemble des sous-ensembles de $E$. En d'autres termes : $A \in \mathcal{P}(E) \iff A \subset E$
Exemple
Exemples.
  1. On considère l'ensemble $E = \{a ; b ; c\}$. L'ensemble des parties de $E$ est donné par :
    \[\mathcal{P}(E) = \{\emptyset ; \{a\} ; \{b\} ; \{c\} ; \{a ; b\} ; \{a ; c\} ; \{b ; c\} ; E\}\]
  2. On a : $[-1 ; \pi] \in \mathcal{P}(\mathbb{R}) ; ]0 ; +\infty[ \in \mathcal{P}(\mathbb{R}) ; \mathbb{N} \in \mathcal{P}(\mathbb{Z})$
Remarque
Remarques.
  • Les éléments de $\mathcal{P}(E)$ sont des ensembles. En particulier, on a : $\emptyset \in \mathcal{P}(E)$ et $E \in \mathcal{P}(E)$.
  • Si $E$ est un ensemble non vide, alors : $a \in E \iff \{a\} \in \mathcal{P}(E)$

III.OPÉRATIONS DANS $\mathcal{P}(E)$

1.INTERSECTION

Définition
Définition. Soit $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$. L'intersection des ensembles $A$ et $B$, notée $A \cap B$, est l'ensemble des éléments de $E$ qui sont dans $A$ et dans $B$. En d'autres termes :
\[x \in A \cap B \iff (x \in A \text{ et } x \in B)\]
On a alors : $A \cap B = \{x \in E / x \in A \text{ et } x \in B\}$
Figure TikZ
Exemple
Exemples.
  1. On considère les ensembles : $A = \{0 ; 2 ; 3 ; 6 ; 8 ; 11\}$ et $B = \{1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 12\}$ On a : $A \cap B = \{2 ; 8\}$.
  2. Soit $D_{12}$ l'ensemble des diviseurs positifs de $12$ et $D_{18}$ l'ensemble des diviseurs positifs de $18$. On a : $D_{12} = \{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12\}$ et $D_{18} = \{1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18\}$ ; donc : $D_{12} \cap D_{18} = \{1 ; 2 ; 3 ; 6\}$.
  3. Dans l'ensemble $\mathbb{R}$ : $]0 ; 5[ \cap [-3 ; 2] = ]0 ; 2]$ et $\mathbb{R}^+ \cap \mathbb{R}^- = \{0\}$.
  4. Soit $(\Delta_1)$ et $(\Delta_2)$ deux droites sécantes en un point $A$. Alors : $(\Delta_1) \cap (\Delta_2) = \{A\}$.
  5. Si $A \subset E$ alors $A \cap \overline{A} = \emptyset$.
Proposition
Proposition. Soit $A, B$ et $C$ trois parties d'un ensemble $E$. On a alors les propriétés suivantes :
  • [1)] $A \cap B = B \cap A ; $ 2) $A \cap E = A$ et $A \cap \emptyset = \emptyset$.
  • [3)] $A \cap A = A$ et $A \cap \overline{A} = \emptyset ; $ 4) $A \cap B \subset A$ et $A \cap B \subset B$.
  • [5)] $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C ; $ 6) $A \cap B = A \iff A \subset B$.
Preuve
Preuve. Les propriétés 1, 2, 3, 4 et 5 sont faciles à prouver. On se contente de prouver la propriété 6.
  • Supposons que $A \cap B = A$ et montrons que $A \subset B$. On a :
    \[\begin{aligned}x \in A &\implies x \in A \cap B (\text{car } A = A \cap B) \\ &\implies x \in A \text{ et } x \in B \\ &\implies x \in B\end{aligned}\]
    Il s'ensuit donc : $A \subset B$.
  • Réciproquement, supposons que $A \subset B$ et montrons que $A \cap B = A$. Comme $A \cap B \subset A$, alors il suffit de montrer que $A \subset A \cap B$. On a par hypothèse $A \subset B$, donc :
    \[\begin{aligned}x \in A &\implies (x \in A \text{ et } x \in B) \\ &\implies x \in A \cap B\end{aligned}\]
    Il s'ensuit donc que : $A \subset B \implies A \cap B = A$. En résumé : $A \cap B = A \iff A \subset B$

2.RÉUNION

Définition
Définition. Soit $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$. La réunion des ensembles $A$ et $B$, notée $A \cup B$, est l'ensemble des éléments de $E$ qui sont dans $A$ ou dans $B$. En d'autres termes :
\[x \in A \cup B \iff (x \in A \text{ ou } x \in B)\]
On a alors : $A \cup B = \{x \in E / x \in A \text{ ou } x \in B\}$
Figure TikZ
Exemple
Exemples.
  1. On considère les ensembles : $A = \{0 ; 2 ; 3 ; 6 ; 8 ; 11\}$ et $B = \{1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 12\}$ On a : $A \cup B = \{0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 11 ; 12\}$
  2. Dans l'ensemble $\mathbb{R}$ : $[-3 ; 2] \cup ]0 ; 5[ = [-3 ; 5[$ et $\mathbb{R}^+ \cup \mathbb{R}^- = \mathbb{R}$.
  3. Si $A \subset E$ alors $A \cup \overline{A} = E$.
Proposition
Proposition. Soit $A, B$ et $C$ trois parties d'un ensemble $E$. On a alors les propriétés suivantes :
  • [1)] $A \cup B = B \cup A ; $ 2) $A \cup E = E$ et $A \cup \emptyset = A$.
  • [3)] $A \cup A = A$ et $A \cup \overline{A} = E ; $ 4) $A \subset A \cup B$ et $B \subset A \cup B$.
  • [5)] $A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C ; $ 6) $A \cup B = A \iff B \subset A$.

3.RÈGLES DE CALCUL

Proposition
Proposition. Soit $A, B$ et $C$ trois parties d'un ensemble $E$. On a alors les propriétés suivantes :
  • Distributivité de la réunion par rapport à l'intersection : $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
  • Distributivité de l'intersection par rapport à la réunion : $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.
Preuve
Preuve.
  • Pour tout $x \in E$, on a :
    \[\begin{aligned}x \in A \cup (B \cap C) &\iff (x \in A \text{ ou } x \in B \cap C) \\ &\iff \left[ x \in A \text{ ou } (x \in B \text{ et } x \in C) \right] \\ &\iff \left[ (x \in A \text{ ou } x \in B) \text{ et } (x \in A \text{ ou } x \in C) \right] \\ &\iff (x \in A \cup B \text{ et } x \in A \cup C) \\ &\iff x \in (A \cup B) \cap (A \cup C)\end{aligned}\]
    Par conséquent : $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
  • Pour tout $x \in E$, on a :
    \[\begin{aligned}x \in A \cap (B \cup C) &\iff (x \in A \text{ et } x \in B \cup C) \\ &\iff \left[ x \in A \text{ et } (x \in B \text{ ou } x \in C) \right] \\ &\iff \left[ (x \in A \text{ et } x \in B) \text{ ou } (x \in A \text{ et } x \in C) \right] \\ &\iff (x \in A \cap B \text{ ou } x \in A \cap C) \\ &\iff x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)\end{aligned}\]
    Par conséquent : $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
Proposition
Proposition. Soit $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$. Alors : $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ et $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$. ces deux égalités sont appelées \og Lois de Morgan \fg{}.
Preuve
Preuve.
  • Pour tout $x \in E$, on a :
    \[\begin{aligned}x \in \overline{A \cap B} &\iff x \notin A \cap B \\ &\iff (x \notin A \text{ ou } x \notin B) \\ &\iff (x \in \overline{A} \text{ ou } x \in \overline{B}) \\ &\iff x \in \overline{A} \cup \overline{B}\end{aligned}\]
    D'où : $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$
  • Pour tout $x \in E$, on a :
    \[\begin{aligned}x \in \overline{A \cup B} &\iff x \notin A \cup B \\ &\iff (x \notin A \text{ et } x \notin B) \\ &\iff (x \in \overline{A} \text{ et } x \in \overline{B}) \\ &\iff x \in \overline{A} \cap \overline{B}\end{aligned}\]
    D'où : $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$
Application
Applications. 1. On considère les deux ensembles $A$ et $B$ définis par : $A = \left\{\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{3} / k \in \mathbb{Z}\right\}$ et $B = \left\{-\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{3} / k \in \mathbb{Z}\right\}$
  • [a)] Montrer que $A \cap B = \emptyset$.
  • [b)] Déterminer l'ensemble : $(A \cup B) \cap \left[-\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{2}\right]$.
2. Soit $A, B$ et $C$ trois parties d'un ensemble $E$.
  • [a)] Montrer que : $A \cap \left( B \cup (A \cap C) \right) = A \cap (B \cup C)$ et $A \cup \left( B \cap (A \cup C) \right) = A \cup (B \cap C)$.
  • [b)] Montrer que : $(A \cup B) \cap (B \cup C) \cap (C \cup A) = (A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (C \cap A)$.
  • [c)] Simplifier ce qui suit : $A \cap \overline{(B \cap C)}$ et $(A \cap \overline{B}) \cap \overline{(A \cap \overline{C})}$.

4.DIFFÉRENCE DE DEUX ENSEMBLES

Définition
Définition. Soit $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$. La différence des ensembles $A$ et $B$ dans cet ordre, notée $A \setminus B$, est l'ensemble des éléments de $A$ qui ne sont pas dans $B$. En d'autres termes :
\[x \in A \setminus B \iff (x \in A \text{ et } x \notin B)\]
On a alors : $A \setminus B = \{x \in E / x \in A \text{ et } x \notin B\}$ $A \setminus B$ se lit \og $A$ moins $B$ \fg{} ou \og $A$ privé de $B$ \fg{}
Figure TikZ
Exemple
Exemples.
  1. On considère les ensembles : $A = \{1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6\}$ et $B = \{8 ; 1 ; 2 ; 7\}$ On a : $A \setminus B = \{3 ; 5 ; 6\}$ et $B \setminus A = \{7 ; 8\}$.
  2. On considère les intervalles : $I = [2 ; 5] ; J = [3 ; 6[ ; K = \left[0 ; \dfrac{5}{2}\right]$ On a : $I \setminus J = [2 ; 3[ ; J \setminus I = ]5 ; 6[ ; K \setminus I = \left[0 ; 2\right[ ; K \setminus J = K$.
  3. Si $A \subset B$ alors : $A \setminus B = \emptyset$ et $B \setminus A = C_B^A$.
Proposition
Proposition. Soit $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$. On a alors les propriétés suivantes :
  • [1)] $A \setminus B = A \cap C_E^B = A \cap \overline{B} ; $ 2) $A = (A \setminus B) \cup (A \cap B)$
Preuve
Preuve.
  • Pour tout $x \in E$, on a :
    \[\begin{aligned}x \in A \setminus B &\iff (x \in A \text{ et } x \notin B) \\ &\iff (x \in A \text{ et } x \in C_E^B) \\ &\iff x \in A \cap C_E^B\end{aligned}\]
    Par suite : $A \setminus B = A \cap C_E^B = A \cap \overline{B}$
  • On a :
    \[\begin{aligned}(A \setminus B) \cup (A \cap B) &= (A \cap \overline{B}) \cup (A \cap B) \\ &= A \cap (\overline{B} \cup B) \\ &= A \cap E \\ &= A\end{aligned}\]
    Ainsi : $A = (A \setminus B) \cup (A \cap B)$
Application
Applications. 1. Déterminer les ensembles $A$ et $B$ sachant que :
\[A \cup B = \{1 ; 2 ; 3 ; \dots ; 11\} \text{et} A \cap B = \{4 ; 5 ; 6 ; 11\} \text{et} A \setminus B = \{7 ; 8 ; 9 ; 10\}\]
2. Soit $A, B$ et $C$ trois parties d'un ensemble $E$.
  • [a)] Montrer que : $A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C)$ et $A \setminus (B \cup C) = (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$
  • [b)] Montrer que si $A \cap B = A \cap C$ et $B \setminus A = C \setminus A$, alors : $B = C$
3. Soit $A, B, C$ et $D$ quatre parties d'un ensemble $E$. Montrer que : $\left[ (B \setminus C) \subset A \text{ et } (C \setminus D) \subset A \right] \implies (B \setminus D) \subset A$. 4. Soit $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$. On pose : $A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$. L'ensemble $A \Delta B$ s'appelle la différence symétrique des ensembles $A$ et $B$.
  • [a)] On suppose dans cette question que : $A = \{1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6\}$ et $B = \{2 ; 3 ; 7 ; 8 ; 9\}$ Déterminer $A \Delta B$ puis construire un diagramme de Venn pour schématiser cet ensemble.
  • [b)] Montrer que pour tous $A$ et $B$ de $\mathcal{P}(E)$ :
    \[A \Delta A = \emptyset ; A \Delta E = \overline{A} ; A \Delta \emptyset = A ; A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B) ; A \Delta B = \overline{A} \Delta \overline{B}\]
  • [c)] Montrer que pour tous $A$ et $B$ de $\mathcal{P}(E)$ les deux équivalences suivantes :
    \[A \Delta B = \emptyset \iff A = B ; A \Delta B = A \cap B \iff (A = \emptyset \text{ et } B = \emptyset)\]
  • [d)] Soit $A, B$ et $C$ trois parties d'un ensemble $E$. Établir les deux égalités suivantes :
    \[A \cap (B \Delta C) = (A \cap B) \Delta (A \cap C) ; A \Delta (B \Delta C) = (A \Delta B) \Delta C\]

5.PRODUIT CARTÉSIEN

Définition
Définition. Soit $E$ et $F$ deux ensembles. Le produit cartésien des ensembles $E$ et $F$, noté $E \times F$, est l'ensemble des couples $(x ; y)$ tels que $x \in E$ et $y \in F$. En d'autres termes :
\[(x ; y) \in E \times F \iff (x \in E \text{ et } y \in F)\]
On a alors : $E \times F = \{(x ; y) / x \in E \text{ et } y \in F\}$
Remarque
Remarques.
  • Si $E = F$, le produit cartésien $E \times E$ est noté $E^2$ et appelé le carré cartésien de $E$.
  • Soit $E$ et $F$ deux ensembles. Alors : $E \times F = \emptyset \iff (E = \emptyset \text{ ou } F = \emptyset)$.
Exemple
Exemples.
  1. On considère les ensembles : $E = \{0 ; 1 ; 2\}$ et $F = \{a ; b\}$. On a :
    \[E \times F = \{(0 ; a) ; (0 ; b) ; (1 ; a) ; (1 ; b) ; (2 ; a) ; (2 ; b)\} ; F^2 = \{(a ; a) ; (a ; b) ; (b ; a) ; (b ; b)\}\]
    \[F \times E = \{(a ; 0) ; (a ; 1) ; (a ; 2) ; (b ; 0) ; (b ; 1) ; (b ; 2)\} ; E \times \emptyset = \emptyset \times E = \emptyset\]
    \[E^2 = \{(0 ; 0) ; (0 ; 1) ; (0 ; 2) ; (1 ; 0) ; (1 ; 1) ; (1 ; 2) ; (2 ; 0) ; (2 ; 1) ; (2 ; 2)\}\]
    Attention, ne pas confondre la notion de couple et la notion de paire :
    \[\textcolor{red}{(x ; y) \in E \times F \text{ mais } \{x ; y\} \in \mathcal{P}(E \cup F)}\]
    \[\textcolor{red}{(x ; y) = (y ; x) \iff x = y \text{ mais l'égalité } \{x ; y\} = \{y ; x\} \text{ est toujours vraie.}}\]
    On a en général : $E \times F \neq F \times E$.
  2. Lors d'un choix d'un repère $(O ; \vec{i} ; \vec{j})$ du plan, tout point $A$ est associé à un unique couple $(\alpha ; \beta)$ appelé couple de coordonnées du point $A$ dans le repère $(O ; \vec{i} ; \vec{j})$. Le couple $(\alpha ; \beta)$ est un élément de $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$. On pose $\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2$ et on écrit : $\mathbb{R}^2 = \{(x ; y) / x \in \mathbb{R} \text{ et } y \in \mathbb{R}\}$
  3. Résoudre le système $\begin{cases} x+2y = 5
    x+3y = 7 \end{cases}$ signifie la détermination de l'ensemble des couples $(x ; y)$ tels que $x \in \mathbb{R}$ et $y \in \mathbb{R}$ et qui vérifient les deux équations. L'ensemble des solutions de ce système est une partie de $\mathbb{R}^2$.
Application
Applications. 1. On considère les deux ensembles :
\[A = \{n \in \mathbb{N} / n^2 < 16\} \text{et} B = \{n \in \mathbb{N} / |n-2| \le 1\}\]
Écrire en extension l'ensemble $A \times B$ puis représenter un diagramme cartésien de cet ensemble. 2. En utilisant le raisonnement par contre-exemple, justifier que : $(E \times F) \cup (G \times H) \neq (E \cup G) \times (F \cup H)$ 3. Représenter dans un repère orthonormé les ensembles suivants : $[-1 ; 1] \times [0 ; 2]$ et $[0 ; +\infty[ \times [0 ; 2[$. 4. Déterminer les éléments de l'ensemble $\mathcal{P}(E \times F)$ avec : $E = \{2 ; 1\}$ et $F = \{0\}$.

I.Application d’un ensemble vers un autre

1.Applications

Définition
Définition. Soit $E$ et $F$ deux ensembles non vides. On appelle application de $E$ vers $F$ toute relation $f$ qui, à tout élément de $E$ associe un unique élément $y$ de $F$. On écrit alors $y = f(x)$. L'application $f$ est souvent notée de la manière suivante :
\[\begin{aligned}f \,:\, E &\to F \\ x &\mapsto f(x)\end{aligned}\]
Exemple
Exemples.
  1. La relation qui à tout entier naturel $n$ associe $(-1)^n$ est une application de $\mathbb{N}$ vers $[-1; 1]$.
  2. La relation $g$ qui, à tout élément $x$ de $E$ associe son carré dans $F$ définie bien une application de $E$ vers $F$.
    Figure TikZ
Remarque
Remarque.
  • On peut reformuler la définition d'une application comme suit :
    \[(f \text{ est une application de } E \text{ vers } F) \iff \big[ (\forall x \in E)(\exists! y \in F) \;;\; y = f(x) \big]\]
Définition
Définition. Soit $f$ une application d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$.
  • L'ensemble $E$ est appelé ensemble de départ de l'application $f$.
  • L'ensemble $F$ est appelé ensemble d'arrivée de l'application $f$.
  • Pour tout $x \in E$, l'unique élément $y$ de $F$ tel que $y = f(x)$ est appelé image de $x$ par $f$.
  • Pour tout $y \in F$, tout élément $x$ de $E$ tel que $y = f(x)$ (il peut ne pas exister, en exister un, en exister plus d'un) est appelé un antécédent de $y$ par $f$.
  • On appelle graphe de l'application $f$ l'ensemble des couples $(x ; f(x))$ lorsque $x$ décrit $E$. On le note $G(f)$. On a alors :
    \[G(f) = \left\{ (x;y) \in E \times F \,/\, y = f(x) \right\}\]
Remarque
Remarques.
  • Dans l'exemple 2) de la page précédente, le graphe de l'application $g$ est :
    \[G(g) = \left\{ (-1;1) ; (0;0) ; (1;1) ; (2;4) \right\}\]
    L'élément $1$ admet deux antécédents ($-1$ et $1$), mais les éléments $2$, $-2$ et $5$ n'en admettent aucun.
  • Une application est une fonction dont le domaine de définition est égal à son ensemble de départ.
  • Toute fonction numérique est une application de son ensemble de définition vers $\mathbb{R}$.
  • Il ne faut absolument pas confondre $f$ et $f(x)$ qui sont deux objets de natures différentes : $f$ est une application de $E$ vers $F$ alors que $f(x)$ est un élément de $F$.
Application
Applications.
  1. On considère l'application $f$ définie par :
    \[\begin{aligned}f \,:\, \mathbb{N}^2 &\to \mathbb{N} \\ (x;y) &\mapsto x+y\end{aligned}\]
    1. Déterminer les antécédents de $0$ par $f$.
    2. Déterminer l'ensemble des antécédents des éléments $2$ et $3$.
    3. L'implication suivante est-elle vraie : $f(a;b) = f(c;d) \implies (a;b) = (c;d)$ ? Justifier la réponse.
  2. On considère les ensembles suivants : $E = \left\{-\sqrt{5}; -\sqrt{2}; -1; \sqrt{2}; \sqrt{5}\right\}$ et $F = \{1; 2; 5\}$
    1. Définir une application de $E$ vers $F$.
    2. Définir une application de $F$ vers $E$.

2.Égalité de deux applications

Définition
Définition. Soit $f$ une application d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$ et $g$ une application d'un ensemble $E'$ vers un ensemble $F'$. On dit que les applications $f$ et $g$ sont égales et on écrit $f = g$ si elles ont le même ensemble de départ ($E=E'$), le même ensemble d'arrivée ($F=F'$), et si :
\[(\forall x \in E) f(x) = g(x)\]
Exemple
Exemples.
  1. Soit $f$ et $g$ les applications définies comme suit :
    \[\begin{aligned}f \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} & g \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto \sqrt{4x^2 – 4x + 1} + \sqrt{4x^2 – 12x + 9} & x &\mapsto 2 \left( \left| x – \frac{1}{2} \right| + \left| x – \frac{3}{2} \right| \right)\end{aligned}\]
    On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
    \[f(x) = \sqrt{4x^2 – 4x + 1} + \sqrt{4x^2 – 12x + 9} = \sqrt{(2x-1)^2} + \sqrt{(2x-3)^2} = |2x-1| + |2x-3|\]
    Par conséquent :
    \[f(x) = 2 \left| x – \frac{1}{2} \right| + 2 \left| x – \frac{3}{2} \right| = 2 \left( \left| x – \frac{1}{2} \right| + \left| x – \frac{3}{2} \right| \right) = g(x)\]
    Puisque les applications $f$ et $g$ ont le même ensemble de départ, le même ensemble d'arrivée et pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) = g(x)$, alors les applications $f$ et $g$ sont égales : $f = g$.
  2. On considère les applications $u$ et $v$ définies par :
    \[\begin{aligned}u \,:\, \mathbb{Z} &\to \mathbb{R} & v \,:\, \mathbb{Z} &\to \mathbb{R} \\ n &\mapsto (-1)^n & n &\mapsto \sin \left( \frac{\pi}{2} + n\pi \right)\end{aligned}\]
    Les applications $u$ et $v$ ont le même ensemble de départ, le même ensemble d'arrivée et de plus : Pour tout $n \in \mathbb{Z}$ :
    \[v(n) = \cos(n\pi) = (-1)^n = u(n)\]
    Il en résulte donc que les applications $u$ et $v$ sont égales : $u = v$.
  3. Les deux applications :
    \[\begin{aligned}f \,:\, [0;1] &\to [0;1] & g \,:\, [0;1] &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto x & x &\mapsto x\end{aligned}\]
    ne sont pas égales car elles n'ont pas le même ensemble d'arrivée.
Application
Applications. Dans chacun des cas suivants, montrer que les applications $f$ et $g$ sont égales :
  • \underline{1er cas :}
    \[\begin{aligned}f \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} & g \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto 1 – \cos^6 x – \sin^6 x & x &\mapsto 3 \cos^2 x \sin^2 x\end{aligned}\]
  • \underline{2ème cas :}
    \[\begin{aligned}f \,:\, \left] -\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right[ &\to \mathbb{R} & g \,:\, \left] -\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} \right[ &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto 1 – (\cos x – \sin x)^2 & x &\mapsto \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x}\end{aligned}\]
  • \underline{3ème cas :}
    \[\begin{aligned}f \,:\, ]0; \pi[ &\to \mathbb{R} & g \,:\, ]0; \pi[ &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto \frac{\sin x}{1 + \cos x} & x &\mapsto \frac{1 – \cos x}{\sin x}\end{aligned}\]

3.Image directe et image réciproque d’une partie

Définition
Définition. Soit $f$ une application d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$. Pour toute partie $A$ de $E$, on définit l'image directe de $A$ par $f$, notée $f(A)$ par :
\[f(A) = \left\{ f(x) / x \in A \right\}\]
On a donc :
\[y \in f(A) \iff \big[ (\exists x \in A) \;;\; y = f(x) \big]\]
Exemple
Exemples.
  1. Soit $f$ l'application définie par :
    \[\begin{aligned}f \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto x^2\end{aligned}\]
    On considère l'ensemble $A = \{-1; 0; 1; 3\}$. On a :
    \[f(A) = \{0; 1; 9\} ; f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}^+ ; f(\{6\}) = \{36\} ; f([-4;3]) = [0;16]\]
  2. Soit $g$ l'application définie par :
    \[\begin{aligned}g \,:\, \mathbb{R} \setminus \{-1\} &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto \frac{3x-1}{x+1}\end{aligned}\]
    Déterminons $g(I)$ où $I = ]-\infty; -1[ $ : On a pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}$ : $g(x) = 3 – \dfrac{4}{x+1}$ ; Il s'ensuit donc : $x \in I \iff x < -1 \iff x + 1 0$ Par conséquent : $x \in I \iff g(x) \in ]3; +\infty[$. Ainsi : $g(I) = ]3; +\infty[$
  3. Soit $h$ l'application définie par :
    \[\begin{aligned}h \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto \cos x\end{aligned}\]
    On a : $h(\mathbb{R}) = [-1; 1]$ et $h\left(\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]\right) = [0; 1]$.
Application
Applications.
  1. On considère l'application :
    \[\begin{aligned}f \,:\, \mathbb{R}^+ &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto x – 4\sqrt{x} + 1\end{aligned}\]
    1. Déterminer $f([0;4])$.
    2. Montrer que : $f(]1; +\infty[) = [-3; +\infty[$.
  2. On considère l'application :
    \[\begin{aligned}g \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto \cos x + \sin x\end{aligned}\]
    1. Justifier que pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
      \[(\cos x + \sin x)^2 = 1 + 2 \cos x \sin x\]
    2. En déduire que : $g(\mathbb{R}) \subset \left[-\sqrt{3}; \sqrt{3}\right]$
Proposition
Proposition. Soit $f$ une application d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$ et $A$ et $B$ deux parties de $E$. Alors :
  1. $f(A) \subset F$
  2. $A = \emptyset \iff f(A) = \emptyset$
  3. $A \subset B \implies f(A) \subset f(B)$
  4. $f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)$
  5. $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$
Preuve
Preuve.
  1. Puisque $f$ est une application de $E$ vers $F$ et $A$ une partie de $E$ alors $f(A)$ est une partie de $F$.
  2. [3)] Supposons que $A \subset B$ et montrons que $f(A) \subset f(B)$. Considérons pour cela $y \in f(A)$. Par définition, il existe $x \in A$ tel que $y = f(x)$. L'élément $x$ appartient à $A$, donc, $x \in B$. On a donc $f(x) \in f(B)$.
  • []
    • [] L'inclusion est ainsi démontrée.
    • [4)] On a $A \subset A \cup B$, donc, d'après 3, $f(A) \subset f(A \cup B)$. De même, on a $f(B) \subset f(A \cup B)$. Les deux ensembles $f(A)$ et $f(B)$ sont contenus dans $f(A \cup B)$, donc, il en est de même de leur réunion. Par conséquent : $f(A) \cup f(B) \subset f(A \cup B)$. Montrons réciproquement que $f(A \cup B) \subset f(A) \cup f(B)$ : Soit $y \in f(A \cup B)$. Par définition, il existe $x \in A \cup B$ tel que $y = f(x)$. On a $x \in A$ ou $x \in B$, donc, $f(x) \in f(A) \subset f(A) \cup f(B)$ ou $f(x) \in f(B) \subset f(A) \cup f(B)$. Dans tous les cas, on en déduit que $y = f(x) \in f(A) \cup f(B)$, ce qui montre l'inclusion réciproque.
    • [5)] On a les inclusions $A \cap B \subset A$ et $A \cap B \subset B$, donc, d'après 1, $f(A \cap B) \subset f(A)$ et $f(A \cap B) \subset f(B)$. Ainsi, l'ensemble $f(A \cap B)$ est contenu à la fois dans $f(A)$ et dans $f(B)$, donc, dans l'intersection des deux ensembles.
Remarque
Remarque. Attention, on n'a pas, en général $f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)$. On peut par exemple examiner :
\[\begin{aligned}f \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} & \text{et} A = [-2; -1] \text{et} B = [1; 2] \\ x &\mapsto x^2\end{aligned}\]
On trouve : $f(A \cap B) = f(\emptyset) = \emptyset \text{et} f(A) \cap f(B) = [1; 4] \cap [1; 4] = [1; 4]$
Définition
Définition. Soit $f$ une application d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$. Pour toute partie $B$ de $F$, on définit l'image réciproque de $B$ par $f$, notée $f^{-1}(B)$ par :
\[f^{-1}(B) = \left\{ x \in E / f(x) \in B \right\}\]
On a donc : $x \in f^{-1}(B) \iff f(x) \in B$
Exemple
Exemples.
  1. Soit $f$ l'application définie par :
    \[\begin{aligned}f \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto x^2\end{aligned}\]
    • On considère l'ensemble $B = \{2; 1; -2; 3; 5\}$. On a : $f^{-1}(B) = \left\{ \sqrt{2} ; -\sqrt{2} ; 1 ; -1 ; \sqrt{3} ; -\sqrt{3} ; \sqrt{5} ; -\sqrt{5} \right\}$
    • On considère l'intervalle $I = [-1; 4]$. Déterminons l'ensemble $f^{-1}(I)$ : On a : $f^{-1}(I) = \{ x \in \mathbb{R} / -1 \le f(x) \le 4 \} = \{ x \in \mathbb{R} / -1 \le x^2 \le 4 \} = \{ x \in \mathbb{R} / 0 \le x^2 \le 4 \}$ Par conséquent : $f^{-1}(I) = \{ x \in \mathbb{R} / -2 \le x \le 2 \}$. Ainsi : $f^{-1}(I) = [-2; 2]$.
    \setcounter{enumi}{2}
  2. Soit $g$ l'application définie par :
    \[\begin{aligned}g \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto \cos x\end{aligned}\]
    Déterminons l'ensemble $g^{-1}(]1; 2])$ : On a : $g^{-1}(]1; 2]) = \{ x \in \mathbb{R} / g(x) \in ]1; 2] \} = \{ x \in \mathbb{R} / 1 < \cos x \le 2 \}$ Comme $-1 \le \cos x \le 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, alors : $g^{-1}(]1; 2]) = \emptyset$.
Remarque
Remarques. Soit $f$ une application d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$ et $B$ une partie de $F$.
  • On a $f^{-1}(\emptyset) = \emptyset$ et $f^{-1}(F) = E$.
  • Pour tout $y \in F$ : $f^{-1}(\{y\}) = \{ x \in E / f(x) = y \}$.
  • L'égalité $f^{-1}(B) = \emptyset$ ne signifie pas que $B = \emptyset$.
Proposition
Proposition. Soit $f$ une application d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$ et $A$ et $B$ deux parties de $F$. Alors :
  1. $f^{-1}(A) \subset E ; 2) A \subset B \implies f^{-1}(A) \subset f^{-1}(B)$ \setcounter{enumi}{2}
  2. $f^{-1}(A \cup B) = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B) ; 4) f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$
Preuve
Preuve.
  1. Puisque $f$ est une application de $E$ vers $F$ et $A$ une partie de $F$, alors $f^{-1}(A)$ est une partie de $E$.
  2. Supposons que $A \subset B$ et montrons que $f^{-1}(A) \subset f^{-1}(B)$. Soit $x \in f^{-1}(A)$. On a donc par définition $f(x) \in A$, donc, $f(x) \in B$ (puisque $A \subset B$), d'où $x \in f^{-1}(B)$.
  3. Soit $x \in E$. On a les équivalences :
    \[\begin{aligned}x \in f^{-1}(A \cup B) &\iff f(x) \in A \cup B \\ &\iff f(x) \in A \text{ ou } f(x) \in B \\ &\iff x \in f^{-1}(A) \text{ ou } x \in f^{-1}(B) \\ &\iff x \in f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)\end{aligned}\]
    Les deux ensembles $f^{-1}(A \cup B)$ et $f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$ sont donc égaux.
  4. Soit $x \in E$. On a les équivalences :
    \[\begin{aligned}x \in f^{-1}(A \cap B) &\iff f(x) \in A \cap B \\ &\iff f(x) \in A \text{ et } f(x) \in B \\ &\iff x \in f^{-1}(A) \text{ et } x \in f^{-1}(B) \\ &\iff x \in f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)\end{aligned}\]
    Les deux ensembles $f^{-1}(A \cap B)$ et $f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$ sont donc égaux.
Application
Applications.
  1. On considère l'application :
    \[\begin{aligned}f \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto x^2 + 2x\end{aligned}\]
    Déterminer $f^{-1}([-1; 0])$ et $f^{-1}([3; +\infty[)$.
  2. On considère l'application :
    \[\begin{aligned}g \,:\, \mathbb{R}_+^* &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto 1 + \dfrac{1}{x}\end{aligned}\]
    Déterminer $g^{-1}(]1; 2] \cup [5; +\infty[)$.

II.Restriction et prolongement d’une application

1.Restriction d’une application

Définition
Définition. Soit $f : E \to F$ une application et $A$ une partie de $E$. On appelle restriction de $f$ à la partie $A$, l'application $g$ définie par :
\[\begin{aligned}g \,:\, A &\to F \\ x &\mapsto f(x)\end{aligned}\]
On a alors : $A \subset E \text{et} g(x) = f(x) \text{pour tout } x \in A$.
Exemple
Exemples.
  1. Soit $f$ et $g$ les applications définies par :
    \[\begin{aligned}f \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} & \text{et} g \,:\, [1; +\infty[ &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto |x-1| & x &\mapsto x-1\end{aligned}\]
    $g$ est la restriction de $f$ sur $[1; +\infty[$.
  2. On considère l'application $f$ définie de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \begin{cases} x+1 & \text{si } x \ge 0
    \dfrac{1}{x} & \text{si } x < 0 \end{cases}$ La restriction de $f$ à l'intervalle $[0; +\infty[$ est l'application $g$ définie par :
    \[\begin{aligned}g \,:\, [0; +\infty[ &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto x+1\end{aligned}\]
    La restriction de $f$ à l'intervalle $]-\infty; 0[$ est l'application $h$ définie par :
    \[\begin{aligned}h \,:\, ]-\infty; 0[ &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto \dfrac{1}{x}\end{aligned}\]
Application
Applications.
  1. On considère l'application $g$ définie de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ par : $g(x) = 2x – |x| + 3$. Déterminer la restriction de l'application $g$ à l'intervalle $]-\infty; 0]$.
  2. Soit $f$ l'application définie de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^2 – 2x$.
    1. A-t-on l'implication : $\left(\forall (a;b) \in \mathbb{R}^2\right) ; \; f(a) = f(b) \implies a = b$ ? Justifier votre réponse.
    2. Montrer que la restriction de $f$ à l'intervalle $[1; +\infty[$ vérifie l'implication précédente.

2.Prolongement d’une application

Définition
Définition. Soit $f : E \to F$ une application et $G$ un ensemble tel que $E \subset G$. On appelle prolongement de $f$ à la partie $G$, toute application $g$ définie de $G$ vers $F$ telle que :
\[(\forall x \in E) ; g(x) = f(x)\]
Exemple
Exemple. Soit $f$ et $g$ les applications définies par :
\[\begin{aligned}f \,:\, [1; +\infty[ &\to \mathbb{R} & \text{et} g \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto -x^2 & x &\mapsto x^2 |x-1| – x^3\end{aligned}\]
On a $[1; +\infty[ \subset \mathbb{R}$ et pour tout $x \in [1; +\infty[ : g(x) = f(x)$. Par conséquent, l'application $g$ est un prolongement de l'application $f$.
Remarque
Remarque. La restriction d'une application à une partie est unique mais on a en général plusieurs prolongements possibles d'une application à un même ensemble.

III.Injectivité – Surjectivité – Bijectivité

1.Application injective

Définition
Définition. Soit $f$ une application d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$. On dit que l'application $f$ est injective (on dit aussi que c'est une injection) si tout élément de $F$ a au plus un antécédent dans $E$ par l'application $f$. Autrement dit, pour tout $y \in F$, l'équation $y = f(x)$ admet au plus une solution $x$ dans $E$. Cela s'écrit :
\[\left( \forall (x;x') \in E^2 \right) ; \left( f(x) = f(x') \implies x = x' \right)\]
Exemple
Exemples.
  1. On considère l'application :
    \[\begin{aligned}f \,:\, \mathbb{R}^+ &\to \mathbb{R}^+ \\ x &\mapsto x + \sqrt{x}\end{aligned}\]
    Montrons que $f$ est injective : Soit $x$ et $x'$ deux éléments de $\mathbb{R}^+$. On a :
    \[\begin{aligned}f(x) = f(x') &\implies x + \sqrt{x} = x' + \sqrt{x'} \\ &\implies x – x' + \sqrt{x} – \sqrt{x'} = 0\end{aligned}\]
    • []
      \[\begin{aligned}f(x) = f(x') &\implies (\sqrt{x} – \sqrt{x'})(\sqrt{x} + \sqrt{x'} + 1) = 0 \\ &\implies \sqrt{x} – \sqrt{x'} = 0 \text{ou} \sqrt{x} + \sqrt{x'} + 1 = 0 \\ &\implies \sqrt{x} – \sqrt{x'} = 0 (\text{car } : \sqrt{x} + \sqrt{x'} + 1 \neq 0) \\ &\implies x = x'\end{aligned}\]
      Par suite, l'application $f$ est injective.
    \setcounter{enumi}{1}
  2. On considère l'application :
    \[\begin{aligned}g \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto x^2 – 2x + 3\end{aligned}\]
    On a : $g(0) = 3 \text{et} g(2) = 3$
    Puisque $g(0) = g(2)$ et $0 \neq 2$ alors $g$ n'est pas injective. Par contre, l'application $h$ définie par :
    \[\begin{aligned}h \,:\, [1; +\infty[ &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto x^2 – 2x + 3\end{aligned}\]
    est injective. En effet, pour tout $(x; x') \in \left([1; +\infty[\right)^2$ :
    \[\begin{aligned}h(x) = h(x') &\implies x^2 – 2x + 2 = x'^2 – 2x' + 2 \\ &\implies (x-1)^2 + 1 = (x'-1)^2 + 1 \\ &\implies (x-1)^2 = (x'-1)^2 \\ &\implies |x-1| = |x'-1|\end{aligned}\]
    Puisque $x \ge 1$ et $x' \ge 1$ alors : $h(x) = h(x') \implies x – 1 = x' – 1 \implies x = x'$
    Il s'ensuit donc que l'application $h$ est injective.
  3. L'application $u$ définie de $[0; \pi]$ vers $\mathbb{R}$ par : $u(x) = \dfrac{\sin x}{x^2+1}$ n'est pas injective car :
    \[u(0) = u(\pi) = 0 \text{et} 0 \neq \pi\]
Application
Applications. Dans chacun des cas suivants, montrer que l'application $f$ est injective :
\underline{1\textsuperscript{er} cas :}
\[\begin{aligned}f \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto \dfrac{x}{2018 + |x|}\end{aligned}\]
\underline{2\textsuperscript{ème} cas :}
\[\begin{aligned}f \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\end{aligned}\]
\underline{3\textsuperscript{ème} cas :}
\[\begin{aligned}f \,:\, ]-\infty; 1] &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto x^2 – x\end{aligned}\]

2.Application surjective

Définition
Définition. Soit $f$ une application d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$. On dit que l'application $f$ est surjective (on dit aussi que c'est une surjection) si tout élément de $F$ a au moins un antécédent dans $E$ par l'application $f$. Autrement dit, pour tout $y \in F$, l'équation $y = f(x)$ admet au moins une solution $x$ dans $E$. Cela s'écrit :
\[(\forall y \in F)(\exists x \in E) ; \; y = f(x)\]
Exemple
Exemples.
  1. On considère l'application :
    \[\begin{aligned}f \,:\, \mathbb{R} &\to [-1; +\infty[ \\ x &\mapsto x^2 – 4x + 3\end{aligned}\]
    Montrons que $f$ est surjective :
    Soit $y \in [-1; +\infty[$. Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation $y = f(x)$ :
    On a : $y = f(x) \iff y = x^2 – 4x + 3 \iff y + 1 = (x-2)^2$
    Puisque $y \in [-1; +\infty[$ alors $y+1 \ge 0$ et donc :
    \[\begin{aligned}y = f(x) &\iff (x-2 = \sqrt{y+1} \text{ou} x-2 = -\sqrt{y+1}) \\ &\iff (x = 2 + \sqrt{y+1} \text{ou} x = 2 – \sqrt{y+1})\end{aligned}\]
    Ainsi, l'équation $y = f(x)$ admet au moins une solution dans $\mathbb{R}$. L'application $f$ est donc surjective. On considère maintenant l'application :
    \[\begin{aligned}g \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto x^2 – 4x + 3\end{aligned}\]
    On a pour tout $x \in \mathbb{R}, \; g(x) = (x-2)^2 – 1$.
    Il en résulte donc que : $(\forall x \in \mathbb{R}) g(x) \ge -1$.
    En particulier, l'équation $g(x) = -2$ n'admet pas de solutions dans $\mathbb{R}$. Donc, $g$ n'est pas surjective.
  2. On considère l'application $h$ définie de $\mathbb{R}^+$ dans $[-1; 1[$ par : $h(x) = \dfrac{\sqrt{x} – 2}{\sqrt{x} + 2}$.
    Montrons que l'application $h$ est surjective :
    Soit $y \in [-1; 1[$. Résolvons dans $\mathbb{R}^+$ l'équation $y = h(x)$ :
    On a : $y = h(x) \iff y = \dfrac{\sqrt{x} – 2}{\sqrt{x} + 2} \iff \sqrt{x} = \dfrac{2y + 2}{1-y}$
    Comme $y \in [-1; 1[$ alors $\dfrac{2y+2}{1-y} \ge 0$ et donc : $y = h(x) \iff x = \left(\dfrac{2y+2}{1-y}\right)^2 \text{et} \left(\dfrac{2y+2}{1-y}\right)^2 \in \mathbb{R}^+$.
    Ainsi, l'équation $y = h(x)$ admet au moins une solution dans $\mathbb{R}^+$. L'application $h$ est donc surjective.
voici maintenant un résultat qui peut servir dans la pratique.
Proposition
Proposition. Soit $f$ une application d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$. Alors :
\[(f \text{ est surjective}) \iff f(E) = F\]
Preuve
Preuve. L'égalité $f(E) = F$ signifie que : $(\forall y \in F)(\exists x \in E) ; \; y = f(x)$.
Ceci n'est rien d'autre qu'une traduction de la définition précédente d'une application surjective.
Application
Applications.
  1. Dans chacun des cas suivants, montrer que l'application $f$ est surjective :
    \underline{1\textsuperscript{er} cas :}
    \[\begin{aligned}f \,:\, ]-\infty; 3[ &\to ]-\infty; 2[ \\ x &\mapsto \dfrac{2x+1}{x-3}\end{aligned}\]
    \underline{2\textsuperscript{ème} cas :}
    \[\begin{aligned}f \,:\, [1; +\infty[ &\to \mathbb{R}^+ \\ x &\mapsto \sqrt{x^2-x}\end{aligned}\]
    \underline{3\textsuperscript{ème} cas :}
    \[\begin{aligned}f \,:\, \mathbb{R} &\to \left]-1; \sqrt{2}\right] \\ x &\mapsto \dfrac{x+1}{\sqrt{x^2+1}}\end{aligned}\]
  2. Soit $g$ l'application :
    \[\begin{aligned}g \,:\, \mathbb{N}^* &\to \mathbb{N} \\ n &\mapsto n^3 – n\end{aligned}\]
    1. Montrer que $g$ est injective.
    2. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $g(n)$ est paire.
    3. En déduire que $g$ n'est pas surjective.
  3. Soit $h$ l'application :
    \[\begin{aligned}h \,:\, \mathbb{R} &\to F \\ x &\mapsto x^2 – 6x + 5\end{aligned}\]
    Déterminer $F$ pour que $h$ soit surjective.

3.Application bijective

Définition
Définition. Soit $f$ une application d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$ On dit que l'application $f$ est bijective (on dit aussi que c'est une bijection) si tout élément de $F$ admet exactement un antécédent dans $E$ par l'application $f$. Autrement dit, pour tout $y \in F$, l'équation $y = f(x)$ admet une solution unique $x$ dans $E$. Cela peut s'écrire :
\[(\forall y \in F)(\exists! x \in E) ; \; y = f(x)\]
Exemple
Exemples.
  1. Soit $f$ l'application définie de $\mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{1}{2}\right\}$ dans $\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{1}{2}\right\}$ par : $f(x) = \dfrac{x+1}{2x+1}$.
    Montrons que $f$ est bijective :
    Soit $y \in \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{1}{2}\right\}$. Résolvons dans $\mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{1}{2}\right\}$ l'équation $y = f(x)$ :
    \[y = f(x) \iff y = \dfrac{x+1}{2x+1} \iff y(2x+1) = x+1 \iff x(2y-1) = 1-y \iff x = \dfrac{1-y}{2y-1}\]
    Il reste à vérifier que $x \in \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{1}{2}\right\}$. On a pour tout $y \in \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{1}{2}\right\}$ :
    \[x + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1-y}{2y-1} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2-2y+2y-1}{2(2y-1)} = \dfrac{1}{2(2y-1)}\]
    Puisque $\dfrac{1}{2(2y-1)} \neq 0$ alors $x \neq -\dfrac{1}{2}$. Par suite, l'équation $y = f(x)$ admet une solution unique dans l'ensemble $\mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{1}{2}\right\}$. Ainsi, l'application $f$ est bijective.
  2. L'application $u$ définie de $\mathbb{R}^+$ dans $\mathbb{R}^+$ par : $u(x) = x^2$ est bijective. Par contre, les applications :
    \[\begin{aligned}v \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R}^+ & \text{et} w \,:\, \mathbb{R}^+ &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto x^2 & x &\mapsto x^2\end{aligned}\]
    ne sont pas bijectives.
Remarque
Remarque. Si on veut être précis en termes de vocabulaire, on doit dire :
  • $f$ est une application de $E$ vers $F$.
  • $f$ est une injection de $E$ dans $F$.
  • $f$ est une surjection de $E$ sur $F$.
  • $f$ est une bijection de $E$ sur $F$.
Néanmoins, dans la pratique, on n'est pas aussi méticuleux et on dit que $f$ est une application, une injection, une surjection, une bijection de $E$ vers $F$ ou de $E$ dans $F$.
Proposition
Proposition. Soit $f$ une application d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$. Alors :
\[f \text{ est bijective si, et seulement si, } f \text{ est injective et surjective}\]
Preuve
Preuve. Dire que $f$ est injective et surjective signifie que tout élément de $F$ admet au plus un antécédent dans $E$ et au moins un antécédent dans $E$ (en même temps) ; ce qui signifie que tout élément de $F$ admet exactement un antécédent dans $E$. Dans la pratique, pour prouver qu'une application est bijective, le plus élémentaire est de prouver qu'elle est injective et surjective à la fois. Sinon, on peut revenir à la proposition précédente et montrer que :
\[(\forall y \in F)(\exists! x \in E) ; \; y = f(x)\]
Application
Applications.
  1. Soit $f$ l'application définie de $\mathbb{R}$ dans $]-1; 1[$ par : $f(x) = \dfrac{x}{1+|x|}$
    1. Montrer que $f$ est injective.
    2. Montrer que $f$ est surjective.
    3. En déduire que $f$ est bijective.
  2. Soit $g$ l'application définie de $\mathbb{R}^+$ dans $\mathbb{R}$ par : $g(x) = \dfrac{x^2 – 1}{\sqrt{x^2+1}}$ Montrer que $g$ est injective et surjective. Que peut-on conclure de l'application $g$ ?

4.L’application réciproque d’une bijection

Définition
Définition. Soit $f$ une application bijective d'un ensemble $E$ vers un ensemble $F$. En associant à tout élément $y \in F$ son unique antécédent par $f$, on définit une application de $F$ dans $E$. Cette application est appelée application réciproque de l'application $f$ (ou simplement la réciproque de $f$) et notée $f^{-1}$. Elle est caractérisée par l'équivalence suivante :
\[\begin{cases} y = f(x) \\ x \in E \end{cases} \iff \begin{cases} x = f^{-1}(y) \\ y \in F \end{cases}\]
Exemple
Exemple. Soit $f$ l'application définie de $\mathbb{R} \setminus \{-3\}$ dans $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par : $f(x) = \dfrac{2x – 5}{x + 3}$
Soit $y \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$. Résolvons l'équation $y = f(x)$ dans $\mathbb{R} \setminus \{-3\}$ :
On a : $y = f(x) \iff y = \dfrac{2x – 5}{x + 3} \iff y(x+3) = 2x-5 \iff x(2-y) = 3y+5 \iff x = \dfrac{3y+5}{2-y}$
De plus : $x + 3 = \dfrac{3y+5}{2-y} + 3 = \dfrac{11}{2-y}$ ; puisque $\dfrac{11}{2-y} \neq 0$ alors $x + 3 \neq 0$ et donc $x \in \mathbb{R} \setminus \{-3\}$.
Il s'ensuit donc que l'équation $f(x) = y$ admet une solution unique dans $\mathbb{R} \setminus \{-3\}$ qui est : $x = \dfrac{3y+5}{2-y}$.
Par suite, l'application $f$ est bijective et son application réciproque est donnée par :
\[\begin{aligned}f^{-1} \,:\, \mathbb{R} \setminus \{2\} &\to \mathbb{R} \setminus \{-3\} \\ x &\mapsto \dfrac{3x+5}{2-x}\end{aligned}\]
Application
Applications. On considère l'application :
\[\begin{aligned}g \,:\, [1; +\infty[ &\to \left[\sqrt{2}; +\infty\right[ \\ x &\mapsto \sqrt{x^2+x}\end{aligned}\]
Montrer que l'application $g$ est bijective puis déterminer son application réciproque $g^{-1}$.

4.COMPOSITION DES APPLICATIONS

Définition
Définition. Soit $f$ une application de $E$ dans $F$ et $g$ une application de $F$ dans $G$.
L'application $h$ définie de $E$ dans $G$ par : $h(x) = g\big(f(x)\big)$ est appelée composée des applications $f$ et $g$ dans cet ordre. Elle est notée $g \circ f$ (se lit : $g$ rond $f$).
On a alors : $(\forall x \in E) g \circ f(x) = g\big(f(x)\big)$
Exemple
Exemples.
  1. On considère les deux applications :
    \[\begin{aligned}f \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} & \text{et} g \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto x + 1 & x &\mapsto x^2 – 3\end{aligned}\]
    On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big) = f(x^2 – 3) = x^2 – 3 + 1 = x^2 – 2$
    Par conséquent :
    \[\begin{aligned}f \circ g \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto x^2 – 2\end{aligned}\]
    On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $(g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big) = g(x+1) = (x+1)^2 – 3 = x^2 + 2x – 2$
    Par conséquent :
    \[\begin{aligned}g \circ f \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto x^2 + 2x – 2\end{aligned}\]
  2. On considère les deux applications :
    \[\begin{aligned}f \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} & \text{et} g \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto 4x + \dfrac{2\pi}{3} & x &\mapsto \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\end{aligned}\]
    On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big) = f\left(\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right) = 4\cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + \dfrac{2\pi}{3}$
    Par conséquent :
    \[\begin{aligned}f \circ g \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto 4\cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + \dfrac{2\pi}{3}\end{aligned}\]
    On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $(g \circ f)(x) = g\big(f(x)\big) = g\left(4x + \dfrac{2\pi}{3}\right) = \cos\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$
    Par conséquent :
    \[\begin{aligned}g \circ f \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto \cos\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)\end{aligned}\]
Remarque
Remarques.
  • Attention ! il se peut que l'on puisse définir l'application $g \circ f$ mais que l'on ne puisse pas définir l'application $f \circ g$.
  • Si l'on peut définir $f \circ g$ et $g \circ f$, ces deux applications ne sont pas forcément égales : $f \circ g \neq g \circ f$. Donc la composition des applications n'est pas une opération commutative.
  • Par contre, la composition des applications est une opération associative, c'est-à-dire :
    pour trois applications $f : E \to F$ et $g : F \to G$ et $h : G \to H$, alors : $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$
Application
Applications.
  1. On considère les applications :
    \[\begin{aligned}f \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} & \text{et} g \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto \dfrac{x^2+4}{x^2+1} & x &\mapsto \dfrac{1}{3}x + 2\end{aligned}\]
    Déterminer : $f \circ g$ ; $g \circ f$ ; $f \circ f$ ; $g \circ g$.
  2. On considère les applications :
    \[\begin{aligned}f \,:\, \mathbb{R} &\to \mathbb{R}^+ & \text{et} g \,:\, \mathbb{R}^+ &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto x^2 + 2 & x &\mapsto 3 + \sqrt{x}\end{aligned}\]
    Déterminer : $f \circ g$ ; $g \circ f$ ; $f \circ f$.
  3. On considère les translations du plan $t_{\vec{u}}$ et $t_{\vec{v}}$.
    Déterminer l'application $t_{\vec{u}} \circ t_{\vec{v}}$. (On rappelle que : $t_{\vec{u}}(M) = M' \iff \overrightarrow{MM'} = \vec{u}$)
Proposition
Proposition. Soit $f$ une application de $E$ dans $F$ et $g$ une application de $F$ dans $G$.
  1. Si les applications $f$ et $g$ sont injectives, alors l'application $g \circ f$ est injective de $E$ dans $G$.
  2. Si les applications $f$ et $g$ sont surjectives, alors l'application $g \circ f$ est surjective de $E$ dans $G$.
  3. Si les applications $f$ et $g$ sont bijectives, alors l'application $g \circ f$ est bijective de $E$ dans $G$ et on a :
    \[(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\]
  4. Si l'application $f$ est bijective, alors :
    \[(\forall x \in E) ; \; f^{-1} \circ f(x) = x ; (\forall x \in F) ; \; f \circ f^{-1}(x) = x\]
Preuve
Preuve. Montrons les résultats 1) et 2) :
  1. On suppose que $f$ et $g$ sont injectives. On a pour tous $x$ et $x'$ de $E$ :
    \[\begin{aligned}g \circ f(x) = g \circ f(x') &\implies g\big(f(x)\big) = g\big(f(x')\big) \\ &\implies f(x) = f(x') \text{(car } g \text{ est injective)} \\ &\implies x = x' \text{(car } f \text{ est injective)}\end{aligned}\]
    Par suite, l'application $g \circ f$ est injective de $E$ dans $G$.
  2. On suppose que $f$ et $g$ sont surjectives.
    On a alors : $f(E) = F$ et $g(F) = G$. Il s'ensuit donc : $g \circ f(E) = g\big(f(E)\big) = g(F) = G$
    Par suite, l'application $g \circ f$ est surjective de $E$ dans $G$.
Remarque
Remarque.
  • Si $f$ est une application bijective de $E$ vers $F$ et $f^{-1}$ son application réciproque, alors :
    \[f^{-1} \circ f = Id_E \text{et} f \circ f^{-1} = Id_F\]
    où $Id_E$ est l'application identique de $E$ et $Id_F$ est l'application identique de $F$ définies par :
    \[\begin{aligned}Id_E \,:\, E &\to E & \text{et} Id_F \,:\, F &\to F \\ x &\mapsto x & x &\mapsto x\end{aligned}\]
Application
Applications.
  1. Soit $E$ un ensemble non vide. On considère l'application $f$ définie de $\mathcal{P}(E)$ dans $\mathcal{P}(E)$ par : $f(A) = \overline{A}$
    1. Montrer que l'application $f$ est injective.
    2. Montrer que l'application $f$ est surjective
    3. En déduire que l'application $f$ est bijective puis déterminer sa bijection réciproque.
  2. On considère l'application $g$ définie de $\left[0; \dfrac{1}{4}\right]$ dans $\left[-\dfrac{1}{4}; 0\right]$ par : $g(x) = x – \sqrt{x}$
    Montrer que l'application $g$ est bijective et déterminer sa bijection réciproque.
  3. On considère l'application :
    \[\begin{aligned}f \,:\, [1 ; +\infty[ &\to \mathbb{R} \\ x &\mapsto x – 1 – 2\sqrt{x-1}\end{aligned}\]
    1. Déterminer $f^{-1}\left(\left\{-\dfrac{1}{2}\right\}\right)$.
      L'application $f$ est-elle injective ? Justifier votre réponse.
    2. Montrer que $f\big([1 ; +\infty[\big) = [-1 ; +\infty[$.
      L'application $f$ est-elle surjective ? Justifier votre réponse.
    3. On considère l'application :
      \[\begin{aligned}g \,:\, [0 ; +\infty[ &\to [-1 ; +\infty[ \\ x &\mapsto x^2 – 2x\end{aligned}\]
      Déterminer une application $h$ telle que : $f = g \circ h$.
    4. Montrer que les applications $g$ et $h$ sont surjectives et en déduire que $f$ est surjective.
  4. Soit $h$ l'application définie de $]1; +\infty[$ dans $]1; \sqrt{3}[$ par : $h(x) = \dfrac{\sqrt{x^2+x+1}}{\sqrt{x^2-x+1}}$
    Montrer que l'application $h$ est bijective et donner sa bijection réciproque.
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