Prolongement de la notion de vecteur à l’espace
Définition et propriétés fondamentales
Soient $A$ et $B$ deux points de l'espace. Le couple $(A, B)$ définit un vecteur noté $\overrightarrow{AB}$.
Si $A \neq B$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est caractérisé par :
- Sa direction : la droite $(AB)$.
- Son sens : de $A$ vers $B$.
- Sa norme : la longueur du segment $[AB]$, notée $\|\overrightarrow{AB}\| = AB$.
Toutes les règles de calcul vectoriel établies dans le plan (relation de Chasles, règle du parallélogramme, multiplication par un scalaire) restent valables dans chaque plan de l'espace.
- Le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AI}$ ou $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$.
- Soient $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés de l'espace. Ils déterminent un plan unique noté $(ABC)$.
Somme de vecteurs et multiplication par un réel
Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ de l'espace et pour tous réels $\alpha$ et $\beta$ :
\[\begin{aligned}\vec{u} + \vec{v} &= \vec{v} + \vec{u} \\
(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} &= \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) \\
\alpha(\vec{u} + \vec{v}) &= \alpha\vec{u} + \alpha\vec{v} \\
(\alpha + \beta)\vec{u} &= \alpha\vec{u} + \beta\vec{u}\end{aligned}\]
Colinéarité de deux vecteurs et droites de l’espace
Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colinéaires si et seulement si l'un est le produit de l'autre par un réel. Autrement dit, il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ (ou $\vec{u} = k\vec{v}$).
- Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
- Trois points distincts $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
Caractérisation vectorielle d’une droite
Soit $A$ un point de l'espace et $\vec{u}$ un vecteur non nul.
La droite $D(A, \vec{u})$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ soient colinéaires :
\[ M \in D(A, \vec{u}) \iff \exists t \in \mathbb{R}, \overrightarrow{AM} = t\vec{u} \]
Coplanarité de trois vecteurs et plans de l’espace
Vecteurs coplanaires
On dit que trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ ($\vec{u}$ et $\vec{v}$ n'étant pas colinéaires) sont coplanaires s'il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que :
\[ \vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v} \]
Géométriquement, cela signifie que si l'on place ces trois vecteurs à partir d'un même point origine, leurs extrémités appartiennent à un même plan.
Caractérisation vectorielle d’un plan
Soit $A$ un point de l'espace, et $\vec{u}$, $\vec{v}$ deux vecteurs non colinéaires.
Le plan $P(A, \vec{u}, \vec{v})$ passant par $A$ et de vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que :
\[ M \in P(A, \vec{u}, \vec{v}) \iff \exists (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2, \overrightarrow{AM} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v} \]
Bases et Repères dans l’espace
- On appelle base de l'espace tout triplet $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de trois vecteurs non coplanaires. Tout vecteur $\vec{u}$ de l'espace s'exprime de façon unique sous la forme $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$. Le triplet $(x, y, z)$ représente les coordonnées de $\vec{u}$.
- Un repère de l'espace est la donnée d'un point origine $O$ et d'une base, noté $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. Les coordonnées d'un point $M$ sont celles du vecteur $\overrightarrow{OM}$.
Exercice d’application : Configuration dans un parallélépipède
Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède de l'espace. On désigne par $I$ le milieu du segment $[AB]$ et par $J$ un point tel que la relation géométrique structurelle donne $\overrightarrow{EJ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{EC}$.
- Exprimer le vecteur $\overrightarrow{EC}$ en fonction de $\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.
- Démontrer la relation vectorielle : $\overrightarrow{EJ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{EC}$.