Les branches infinies
Soit $f$ la fonction numérique définie par : $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$. On note $(\mathcal{C}_f)$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
- Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Que remarque-t-on géométriquement ?
- Calculer $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ et $\lim_{x \to 1^-} f(x)$. Interpréter graphiquement le résultat.
Asymptote verticale et asymptote horizontale
[Asymptote verticale]
Si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ ou $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$, alors la droite $(D)$ d'équation $\mathbf{x = a}$ est une asymptote verticale à la courbe $(\mathcal{C}_f)$.
[Asymptote horizontale]
Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = b$ ou $\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$ (où $b \in \mathbb{R}$), alors la droite $(\Delta)$ d'équation $\mathbf{y = b}$ est une asymptote horizontale à la courbe $(\mathcal{C}_f)$ au voisinage de l'infini correspondant.
Asymptote oblique et branches paraboliques
Éléments de symétrie d’une courbe
Axe de symétrie
Dans un repère orthonormé, la droite $(D)$ d'équation $\mathbf{x = a}$ est un axe de symétrie de la courbe $(\mathcal{C}_f)$ si et seulement si pour tout $x \in D_f$ :
- $(2a – x) \in D_f$
- $f(2a – x) = f(x)$
[Application]
Montrer que la droite $(D)$ est un axe de symétrie de la courbe $(\mathcal{C}_f)$ dans les cas suivants :
- $f(x) = -3x^2 + 5x – 1$ avec $(D) : x = \frac{5}{6}$
- $f(x) = \cos(2x)$ avec $(D) : x = \pi$
Centre de symétrie
Le point $\mathbf{\Omega(a, b)}$ est un centre de symétrie de la courbe $(\mathcal{C}_f)$ si et seulement si pour tout $x \in D_f$ :
- $(2a – x) \in D_f$
- $f(2a – x) + f(x) = 2b$
Si $\Omega(0,0)$ est le centre du repère, la relation devient $f(-x) + f(x) = 0 \iff f(-x) = -f(x)$. On retrouve exactement la définition d'une fonction impaire, dont la courbe est symétrique par rapport à l'origine.
[Application]
Montrer que le point $\Omega$ est le centre de symétrie de $(\mathcal{C}_f)$ dans les deux cas suivants :
- $f(x) = \frac{2x-1}{x+1}$ avec $\Omega(-1, 2)$
- $f(x) = 1 + \frac{x}{x^2+1}$ avec $\Omega(0, 1)$
Exercice de synthèse complet
On considère la fonction numérique $f$ définie sur son domaine par :
\[ f(x) = 2x + 1 + \frac{1}{x-1} \]
On note $(\mathcal{C}_f)$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
- Déterminer $D_f$ et calculer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$.
- En déduire les équations des asymptotes à la courbe $(\mathcal{C}_f)$.
- Montrer que le point $\Omega(1, 3)$ est un centre de symétrie de la courbe $(\mathcal{C}_f)$.
- Calculer la fonction dérivée $f'(x)$ et dresser le tableau de variations complet de $f$.