Suites numériques
Généralités sur les suites numériques
Définition et notations
Soit $I$ une partie de $\mathbb{N}$ (généralement $\mathbb{N}$ tout entier ou l'ensemble des entiers supérieurs ou égaux à un entier $n_0$).
On appelle suite numérique toute application $u$ de $I$ vers $\mathbb{R}$.
\[
\begin{aligned}
u : I &\to \mathbb{R}
n &\mapsto u(n) \end{aligned} \] On note généralement cette suite par $(u_n)_{n \in I}$.
n &\mapsto u(n) \end{aligned} \] On note généralement cette suite par $(u_n)_{n \in I}$.
Voici quelques exemples de suites numériques :
- $(w_n)_{n \ge 0}$ définie par $w_n = 2n$.
- $(v_n)_{n \ge 2}$ définie par $v_n = \frac{1}{n-1}$.
- $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $u_n = \sqrt{n+3} – \sqrt{n}$.
- Une suite définie par récurrence d'ordre 2 : $\begin{cases} u_{n+2} = 2u_{n+1} – u_n (n \ge 0)
u_0 = 3 \ ; \ u_1 = 4 \end{cases}$.
Pour cette dernière, on trouve par calcul : $u_2 = 2u_1 – u_0 = 2(4) – 3 = 5$ et $u_3 = 2u_2 – u_1 = 2(5) – 4 = 6$.
Vocabulaire
Soit $(u_n)_{n \in I}$ une suite numérique.
- $u_n$ est appelé le terme général de la suite.
- $u_{n_0}$ est appelé le premier terme de la suite, où $n_0$ est le plus petit élément de $I$.
- Le nombre $u_{n_0} + u_{n_0+1} + \dots + u_n$ représente la somme des $(n – n_0 + 1)$ premiers termes de la suite.
On considère la suite numérique $(v_n)_{n \ge 1}$ définie par :
$\begin{cases} v_1 = 1
v_{n+1} = 1 + v_n \end{cases}$
v_{n+1} = 1 + v_n \end{cases}$
- Calculer $v_2$, $v_3$ et $v_4$.
- Montrer par récurrence que $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $v_n = n$.
Suite majorée, minorée et bornée
Définitions
Soit $(u_n)_{n \ge n_0}$ une suite numérique, et soient $M$ et $m$ deux nombres réels.
- La suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ est dite majorée par $M$ si : $\forall n \ge n_0, \ u_n \le M$.
- La suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ est dite minorée par $m$ si : $\forall n \ge n_0, \ m \le u_n$.
- La suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
On considère la suite numérique $(w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par $w_n = \frac{n+3}{n+4}$.
Montrer que la suite $(w_n)$ est majorée et minorée (donc bornée).
Monotonie d’une suite numérique
Soit $(u_n)_{n \ge n_0}$ une suite numérique.
- La suite $(u_n)$ est croissante si : $\forall n \ge n_0, \ \forall n' \ge n_0, \ n > n' \implies u_n \ge u_{n'}$.
- La suite $(u_n)$ est strictement croissante si : $\forall n \ge n_0, \ \forall n' \ge n_0, \ n > n' \implies u_n > u_{n'}$.
- La suite $(u_n)$ est décroissante si : $\forall n \ge n_0, \ \forall n' \ge n_0, \ n > n' \implies u_n \le u_{n'}$.
- La suite $(u_n)$ est strictement décroissante si : $\forall n \ge n_0, \ \forall n' \ge n_0, \ n > n' \implies u_n < u_{n'}$.
- La suite $(u_n)$ est constante si : $\forall n \ge n_0, \ \forall n' \ge n_0, \ u_n = u_{n'}$.
Soit $(u_n)_{n \ge n_0}$ une suite numérique.
- $(u_n)$ est croissante $\iff \forall n \ge n_0, \ u_{n+1} \ge u_n$.
- $(u_n)$ est strictement croissante $\iff \forall n \ge n_0, \ u_{n+1} > u_n$.
- $(u_n)$ est décroissante $\iff \forall n \ge n_0, \ u_{n+1} \le u_n$.
- $(u_n)$ est strictement décroissante $\iff \forall n \ge n_0, \ u_{n+1} < u_n$.
- $(u_n)$ est constante $\iff \forall n \ge n_0, \ u_{n+1} = u_n$.
Soit la suite numérique $(u_n)$ définie par $u_1 = 1$ et $u_{n+1} = 1 + u_n$.
Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$.
Suite arithmétique
Définition
Soit $(u_n)_{n \ge n_0}$ une suite numérique et $r$ un nombre réel non nul.
On dit que la suite $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$ si :
\[ \forall n \ge n_0, \ u_{n+1} – u_n = r (\text{ou encore } u_{n+1} = u_n + r) \]
On considère la suite numérique $(u_n)_{n \ge 0}$ définie par $u_n = 2n + 3$.
Montrer que $(u_n)$ est une suite arithmétique et préciser ses éléments caractéristiques (premier terme et raison).
Formule du terme général
Si $(u_n)_{n \ge n_0}$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_{n_0}$, alors :
\[ \forall n \ge n_0, \ u_n = u_{n_0} + (n – n_0)r \]
Plus généralement, pour tous entiers $p$ et $q$ supérieurs ou égaux à $n_0$ :
\[ u_q = u_p + (q – p)r \]
- Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r = 3$ tel que $u_7 = 10$. Calculer $u_{2007}$.
- Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 5$ et tel que $u_{100} = -45$. Déterminer sa raison $r$, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Somme de termes consécutifs
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$. La somme $S_n$ de termes consécutifs de $u_p$ à $u_n$ (avec $n_0 \le p \le n$) est donnée par :
\[ S_n = \sum_{i=p}^{n} u_i = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n = \left( \frac{u_p + u_n}{2} \right) \times (n – p + 1) \]
Formellement :
\[ S_n = \frac{\text{Premier terme} + \text{Dernier terme}}{2} \times (\text{Nombre de termes}) \]
- La somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_n$ possède $n – 0 + 1 = n + 1$ termes.
- La somme $S = u_1 + u_2 + \dots + u_n$ possède $n – 1 + 1 = n$ termes.
- La somme $S = u_{n_0} + u_{n_0+1} + \dots + u_n$ possède $n – n_0 + 1$ termes.
Suite géométrique
Définition
Soit $(u_n)_{n \ge n_0}$ une suite numérique et $q$ un nombre réel non nul.
On dit que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$ si :
\[ \forall n \ge n_0, \ u_{n+1} = q \times u_n \left(\text{ou } \frac{u_{n+1}}{u_n} = q \text{ si } u_n \neq 0\right) \]
Formule du terme général
Si $(u_n)_{n \ge n_0}$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_{n_0}$, alors :
\[ \forall n \ge n_0, \ u_n = u_{n_0} \times q^{n – n_0} \]
Plus généralement, pour tous entiers $p$ et $q$ supérieurs ou égaux à $n_0$ :
\[ u_q = u_p \times q^{q – p} \]
Soit la suite $(u_n)_{n \ge 0}$ définie par $u_n = 2 \times 5^n$. C'est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 2$ et de raison $q = 5$.
Somme de termes consécutifs
Soit $(u_n)_{n \ge n_0}$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_{n_0}$.
Pour la somme $S = \sum_{i=p}^{n} u_i = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n$ (avec $p \le n$) :
- Si $q \neq 1$ : \[ S = u_p \times \frac{q^{n-p+1} – 1}{q – 1} \left(\text{ou } u_p \times \frac{1 – q^{n-p+1}}{1 – q}\right) \]
- Si $q = 1$ : \[ S = u_p + u_p + \dots + u_p = u_p \times (n – p + 1) \]
Moyenne arithmétique et moyenne géométrique
[Moyenne arithmétique]
Si $a$, $b$ et $c$ sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique, alors on a la relation :
\[ a + c = 2b \]
[Moyenne géométrique]
Si $a$, $b$ et $c$ sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique, alors on a la relation :
\[ a \times c = b^2 \]