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Produit scalaire et ses applications

Produit scalaire dans le plan et ses applications

Définitions et expressions du produit scalaire

Définition géométrique (Projeté orthogonal)

Définition
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs du plan. On choisit trois points $A$, $B$ et $C$ tels que $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$. Soit $H$ le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$. Le produit scalaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\vec{u} \cdot \vec{v}$, est le nombre réel défini par :
  • Si $\vec{u} = \vec{0}$ ou $\vec{v} = \vec{0}$, alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
  • Si $\vec{u} \neq \vec{0}$ et $\vec{v} \neq \vec{0}$ : \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \begin{cases} AB \times AH & \text{si } \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{AH} \text{ ont le même sens}
    -AB \times AH & \text{si } \overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{AH} \text{ sont de sens contraires} \end{cases} \]
Définition
[Carré scalaire et Norme] • Le produit scalaire d'un vecteur $\vec{u}$ par lui-même est appelé le carré scalaire de $\vec{u}$ et se note $\vec{u}^2$. On a : $\vec{u}^2 = \|\vec{u}\|^2 = AB^2$. • La norme du vecteur $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ est le réel positif noté $\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u}^2} = AB$.

Expression avec le cosinus

Propriété
Pour tous vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ formant un angle géométrique $\theta = \widehat{(\vec{u}, \vec{v})}$, on a : \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\theta) \]

Expression analytique (dans un repère orthonormé)

Propriété
Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. Soient $\vec{u}(x, y)$ et $\vec{v}(x', y')$ deux vecteurs.
  • L'expression analytique du produit scalaire est : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$.
  • La norme du vecteur $\vec{u}$ est : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
  • La distance entre deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ est : $AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}$.
  • Orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff xx' + yy' = 0$.
Application
Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(1, 3)$, $B(-2, 1)$ et $C(0, -2)$.
  1. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
  2. Déterminer la valeur exacte de $\cos(\widehat{BAC})$, puis en déduire une valeur approchée de l'angle $\widehat{BAC}$.

Relations métriques dans un triangle

Théorème
[Théorème d'Al Kashi / Loi des cosinus] Soit $ABC$ un triangle quelconque. En posant $a = BC$, $b = AC$ et $c = AB$, on a : \[ \begin{aligned} a^2 &= b^2 + c^2 – 2bc \cos(\widehat{A})
b^2 &= a^2 + c^2 – 2ac \cos(\widehat{B})
c^2 &= a^2 + b^2 – 2ab \cos(\widehat{C}) \end{aligned} \]
Théorème
[Théorème de la médiane] Soient $A$ et $B$ deux points du plan et $I$ le milieu du segment $[AB]$. Pour tout point $M$ du plan, on a : \[ MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \frac{AB^2}{2} \]
Exercice
Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 5$, $AC = 7$ et $BC = 6$.
  1. Calculer $\cos(\widehat{BAC})$.
  2. Soit $I$ le milieu du segment $[BC]$. Calculer la longueur de la médiane $AI$.

Vecteur normal et équations de droites

Définition et Propriété

Définition
Un vecteur non nul $\vec{n}$ est dit vecteur normal à une droite $(D)$ s'il est orthogonal à tout vecteur directeur de $(D)$.
Propriété
• La droite $(D)$ passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}(a, b)$ est l'ensemble des points $M(x, y)$ tels que $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$. • Toute droite ayant pour vecteur normal $\vec{n}(a, b)$ admet une équation cartésienne de la forme : \[ ax + by + c = 0 \text{avec } (a, b) \neq (0, 0) \]

Distance d’un point à une droite

Propriété
Dans un repère orthonormé, la distance d'un point $M_0(x_0, y_0)$ à la droite $(D)$ d'équation $ax + by + c = 0$ est donnée par la formule : \[ d(M_0, (D)) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Application
Soit $(D)$ la droite d'équation cartésienne $3x – 4y + 1 = 0$ et soit $A(2, 5)$ un point du plan. Calculer la distance $d(A, (D))$ du point $A$ à la droite $(D)$.

Étude analytique du cercle

Équation cartésienne d’un cercle

Théorème
• L'équation cartésienne du cercle $(\mathcal{C})$ de centre $\Omega(a, b)$ et de rayon $R > 0$ est : \[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2 \] • L'équation cartésienne du cercle $(\mathcal{C})$ de diamètre $[AB]$ est donnée par $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$, soit : \[ (x – x_A)(x – x_B) + (y – y_A)(y – y_B) = 0 \]

Équation de la tangente à un cercle

Propriété
Soit $(\mathcal{C})$ un cercle de centre $\Omega$ et $A$ un point appartenant à ce cercle. La droite $(T)$ tangente au cercle $(\mathcal{C})$ au point $A$ est l'ensemble des points $M$ du plan vérifiant : \[ \overrightarrow{\Omega A} \cdot \overrightarrow{AM} = 0 \]
Exercice
On considère le cercle $(\mathcal{C})$ de centre $\Omega(1, -2)$ et passant par le point $A(4, 2)$.
  1. Déterminer le rayon $R$ du cercle $(\mathcal{C})$ puis écrire son équation cartésienne.
  2. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(T)$ tangente à $(\mathcal{C})$ au point $A$.

Ensembles de points du type $MA^2 + MB^2 = k$

Propriété
Soient $A$ et $B$ deux points du plan tels que $AB = d$, $I$ le milieu de $[AB]$ et $k$ un nombre réel. D'après le théorème de la médiane, l'égalité $MA^2 + MB^2 = k$ s'écrit : \[ 2MI^2 + \frac{AB^2}{2} = k \iff MI^2 = \frac{2k – d^2}{4} \] Soit $L = \frac{2k – d^2}{4}$. L'ensemble des points $M$ dépend du signe de $L$ :
  • Si $L < 0$ : L'ensemble des points est l'ensemble vide ($\emptyset$).
  • Si $L = 0$ : L'ensemble des points est réduit au point $I$ unique ($\{I\}$).
  • Si $L > 0$ : L'ensemble des points est le cercle de centre $I$ et de rayon $R = \frac{\sqrt{2k – d^2}}{2}$.
Exercice
Soient $A$ et $B$ deux points du plan tels que $AB = 6$ cm. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble $(\mathcal{E})$ des points $M$ du plan dans chacun des cas suivants :
  1. $MA^2 + MB^2 = 26$
  2. $MA^2 + MB^2 = 10$