Généralités sur les fonctions numériques
Définitions et généralités
• Une fonction numérique $f$ d'une variable réelle $x$ est une relation qui associe à chaque réel $x$ au plus un seul réel $y$. On note :
\[
\begin{aligned}
f : \mathbb{R} &\to \mathbb{R}
x &\mapsto f(x) \end{aligned} \] • Le réel $y$ est appelé l'image de $x$ par $f$ et se note $f(x)$. Le réel $x$ est un antécédent de $y$ par $f$. • L'ensemble de définition de la fonction $f$, noté $D_f$, est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe dans $\mathbb{R}$. \[ D_f = \{ x \in \mathbb{R} \ / \ f(x) \in \mathbb{R} \} \]
x &\mapsto f(x) \end{aligned} \] • Le réel $y$ est appelé l'image de $x$ par $f$ et se note $f(x)$. Le réel $x$ est un antécédent de $y$ par $f$. • L'ensemble de définition de la fonction $f$, noté $D_f$, est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe dans $\mathbb{R}$. \[ D_f = \{ x \in \mathbb{R} \ / \ f(x) \in \mathbb{R} \} \]
Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes :
- $f(x) = 2x^2 – 3x + 1$
- $g(x) = \frac{2x + 1}{x – 3}$
- $h(x) = \sqrt{x^2 – x}$
[Égalité de deux fonctions]
On dit que deux fonctions $f$ et $g$ sont égales, et on note $f = g$, si et seulement si :
- Elles ont le même ensemble de définition : $D_f = D_g$.
- Pour tout $x \in D_f$ : $f(x) = g(x)$.
Parité d’une fonction numérique
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un ensemble $D_f$.
- On dit que $f$ est paire si pour tout $x \in D_f$ : \[ -x \in D_f \text{et} f(-x) = f(x) \]
- On dit que $f$ est impaire si pour tout $x \in D_f$ : \[ -x \in D_f \text{et} f(-x) = -f(x) \]
[Interprétation géométrique]
- La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.
Étudier la parité des fonctions suivantes :
- $f(x) = x^4 – 3x^2 + 1$
- $g(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$
- $h(x) = x^3 – x + 2$
Monotonie d’une fonction numérique
Sens de variation
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I \subset D_f$.
- $f$ est croissante sur $I$ si pour tous $x, x' \in I$ : \[ x < x' \implies f(x) \le f(x') \]
- $f$ est décroissante sur $I$ si pour tous $x, x' \in I$ : \[ x < x' \implies f(x) \ge f(x') \]
- $f$ est constante sur $I$ si pour tous $x, x' \in I$ : $f(x) = f(x')$.
Taux de variation
Soient $x_1$ et $x_2$ deux éléments distincts d'un intervalle $I \subset D_f$. On appelle taux de variation (ou taux d'accroissement) de la fonction $f$ entre $x_1$ et $x_2$ le réel défini par :
\[ T_f = \frac{f(x_1) – f(x_2)}{x_1 – x_2} \]
Soit $f$ une fonction numérique sur un intervalle $I$.
- Si $T_f \ge 0$ (resp. $T_f > 0$) pour tous $x_1, x_2 \in I$ distincts, alors $f$ est croissante (resp. strictement croissante) sur $I$.
- Si $T_f \le 0$ (resp. $T_f < 0$) pour tous $x_1, x_2 \in I$ distincts, alors $f$ est décroissante (resp. strictement décroissante) sur $I$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 – 4x$.
- Calculer le taux de variation $T_f$ entre deux réels distincts $x_1$ et $x_2$.
- En déduire les variations de $f$ sur l'intervalle $]-\infty ; 2]$ et sur $[2 ; +\infty[$.
Extremums d’une fonction numérique
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un ensemble $D_f$ et $x_0 \in D_f$.
- On dit que $f(x_0)$ est le maximum global de $f$ sur $D_f$ si : \[ \forall x \in D_f \,;\, f(x) \le f(x_0) \]
- On dit que $f(x_0)$ est le minimum global de $f$ sur $D_f$ si : \[ \forall x \in D_f \,;\, f(x) \ge f(x_0) \]
Montrer que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{2}{x^2 + 1}$ admet un maximum global en $x_0 = 0$, et préciser sa valeur.
Éléments de symétrie d’une courbe
Soit $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative d'une fonction $f$ dans un repère orthonormé.
- La droite d'équation $x = a$ est un axe de symétrie de $\mathcal{C}_f$ si et seulement si : \[ \forall x \in D_f \,;\, (2a – x) \in D_f \text{et} f(2a – x) = f(x) \]
- Le point $\Omega(a; b)$ est un centre de symétrie de $\mathcal{C}_f$ si et seulement si : \[ \forall x \in D_f \,;\, (2a – x) \in D_f \text{et} f(2a – x) + f(x) = 2b \]
Étude de fonctions usuelles
Fonction du second degré $f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$
La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction du second degré est une parabole.
- Son sommet est le point $\omega(\alpha ; \beta)$ où $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$.
- La droite d'équation $x = -\frac{b}{2a}$ est son axe de symétrie.
- Sens de variations :
- Si $a > 0$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ; \alpha]$ et strictement croissante sur $[\alpha ; +\infty[$. (La parabole est orientée vers le haut).
- Si $a < 0$ : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty ; \alpha]$ et strictement décroissante sur $[\alpha ; +\infty[$. (La parabole est orientée vers le bas).
Fonction homographique $f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \quad (c \neq 0 \text{ et } ad-bc \neq 0)$
La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction homographique est une hyperbole.
- Son centre de symétrie est le point $\Omega\left(-\frac{d}{c} ; \frac{a}{c}\right)$.
- Ses asymptotes sont les droites d'équations $x = -\frac{d}{c}$ (verticale) et $y = \frac{a}{c}$ (horizontale).
- Le sens de variations dépend du signe du déterminant $\Delta = \begin{vmatrix} a & b
c & d \end{vmatrix} = ad – bc$ : - Si $\Delta > 0$ : $f$ est strictement croissante sur chacun des intervalles $]-\infty ; -\frac{d}{c}[$ et $]-\frac{d}{c} ; +\infty[$.
- Si $\Delta < 0$ : $f$ est strictement décroissante sur chacun des intervalles $]-\infty ; -\frac{d}{c}[$ et $]-\frac{d}{c} ; +\infty[$.
Soit la fonction définie par $f(x) = \frac{2x + 4}{x – 2}$.
- Déterminer $D_f$.
- Calculer le déterminant $\Delta$ et dresser le tableau de variations complet de $f$.
- Préciser les équations de ses asymptotes et les coordonnées de son centre de symétrie.
Transformation de courbes (Translation)
Soit $f$ une fonction numérique et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
Considérons la fonction $g$ définie par $g(x) = f(x + \alpha) + \beta$.
La courbe représentative $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$ est l'image de $\mathcal{C}_f$ par la translation de vecteur :
\[ \vec{u} = -\alpha\vec{i} + \beta\vec{j} \text{soit} \vec{u}\binom{-\alpha}{\beta} \]
La courbe de la fonction $g(x) = (x-3)^2 + 2$ se déduit de la courbe de la fonction de référence $f(x) = x^2$ par la translation de vecteur $\vec{u}\binom{3}{2}$.