Détermination d’un plan dans l’espace
Axiomes fondamentaux de structure
Un **plan** dans l'espace est une surface plane illimitée. Pour le représenter en perspective cavalière, on dessine généralement un parallélogramme. On le note souvent $(P)$, $(Q)$ ou par trois de ses points non alignés $(ABC)$.
[Axiomes d'incidence]
- Par deux points distincts $A$ et $B$ de l'espace, il passe une unique droite notée $(AB)$.
- Par trois points non alignés $A$, $B$ et $C$ de l'espace, il passe un unique plan noté $(ABC)$.
- Si deux points distincts $A$ et $B$ appartiennent à un plan $(P)$, alors la droite $(AB)$ est entièrement incluse dans ce plan $(P)$ (on note $(AB) \subset (P)$).
Modes de détermination d’un plan
Un plan dans l'espace est déterminé de manière unique par :
- Trois points non alignés $A$, $B$ et $C$.
- Une droite $(D)$ et un point $A$ n'appartenant pas à cette droite ($A \notin (D)$).
- Deux droites sécantes $(D_1)$ et $(D_2)$.
- Deux droites strictement parallèles $(D_1)$ et $(D_2)$.
Des points ou des droites sont dits **coplanaires** s'ils appartiennent tous à un même plan.
Positions relatives dans l’espace
Position relative de deux droites
Soient $(D_1)$ et $(D_2)$ deux droites de l'espace. Deux situations majeures se présentent :
Les droites sont non coplanaires (pas dans un même plan) :
Elles ne sont ni sécantes ni parallèles. On dit qu'elles sont **gauche**.
- Les droites sont coplanaires (dans un même plan) :
- Sécantes : Elles se coupent en un unique point.
- Parallèles : Soit elles sont strictement parallèles (aucun point commun), soit elles sont confondues.
Considérons un cube $ABCDEFGH$.
Préciser la position relative des couples de droites suivants :
\[ (AB) \text{ et } (CD) ; (AB) \text{ et } (BC) ; (AB) \text{ et } (CG) \]
Position relative d’une droite et d’un plan
Soient $(D)$ une droite et $(P)$ un plan dans l'espace. On distingue trois positions :
- La droite est incluse dans le plan : $(D) \subset (P)$ (tous les points de $(D)$ appartiennent à $(P)$).
- La droite et le plan sont sécants : Ils ont un unique point commun $M$ appelé point d'intersection.
- La droite est strictement parallèle au plan : $(D) \cap (P) = \emptyset$ (aucun point commun).
Position relative de deux plans
Soient $(P_1)$ et $(P_2)$ deux plans de l'espace :
- Plans parallèles : Soit ils sont strictement parallèles (aucun point commun), soit ils sont confondus.
- Plans sécants : Leur intersection est **une droite** $(\Delta)$.
Propriétés du parallélisme dans l’espace
Parallélisme de droites et de plans
- Une droite $(D)$ est parallèle à un plan $(P)$ si et seulement si elle est parallèle à au moins une droite $(d)$ incluse dans le plan $(P)$.
- Si deux plans parallèles sont coupés par un troisième plan, alors les droites d'intersection obtenues sont parallèles entre elles.
Théorème du toit
[Théorème du toit]
Soient $(D_1)$ et $(D_2)$ deux droites parallèles.
Si un plan $(P_1)$ contient $(D_1)$ et un plan $(P_2)$ contient $(D_2)$, et si les plans $(P_1)$ et $(P_2)$ sont sécants selon une droite $(\Delta)$, alors la droite $(\Delta)$ est parallèle aux droites $(D_1)$ et $(D_2)$.
Soit $SABCD$ une pyramide régulière à base carrée $ABCD$.
- Déterminer l'intersection des plans $(SAB)$ et $(SCD)$.
- Justifier la position relative de cette droite d'intersection par rapport à la droite $(AB)$.
Exercice d’application et de synthèse
Soit $SABCD$ une pyramide de sommet $S$ dont la base $ABCD$ est un parallélogramme.
Soient $I$, $J$ et $K$ les milieux respectifs des segments $[SA]$, $[SB]$ et $[SC]$.
- Faire une figure claire en perspective cavalière.
- Montrer que la droite $(IJ)$ est parallèle au plan $(ABC)$.
- Déterminer la position relative des droites $(IJ)$ et $(DC)$.
- En déduire l'intersection du plan $(IJK)$ avec le plan $(SCD)$.