Généralités sur les fonctions numériques
Définition et notations
• Définir une **fonction numérique** $f$ sur un ensemble $D \subset \mathbb{R}$ revient à associer à chaque réel $x$ de $D$ au plus un seul réel, noté $f(x)$ et appelé **l'image** de $x$ par $f$. On note :
\[ f : \begin{aligned} D &\longrightarrow \mathbb{R}
x &\longmapsto f(x) \end{aligned} \] • Si $f(x) = y$, on dit que $y$ est l'image de $x$ par $f$, et que $x$ est un **antécédent** de $y$ par $f$.
x &\longmapsto f(x) \end{aligned} \] • Si $f(x) = y$, on dit que $y$ est l'image de $x$ par $f$, et que $x$ est un **antécédent** de $y$ par $f$.
Considérons la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 2x^2 – 3$.
- Déterminer les images de $-2$, $0$ et $2$ par $f$.
- Déterminer les antécédents, s'ils existent, des nombres $0$, $5$ et $-4$.
Ensemble de définition
L'**ensemble de définition** (ou domaine de définition) d'une fonction $f$, noté $D_f$, est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels l'expression $f(x)$ existe et peut être calculée.
\[ D_f = \{ x \in \mathbb{R} \text{ tel que } f(x) \in \mathbb{R} \} \]
Pour déterminer $D_f$, on veille généralement aux deux règles fondamentales suivantes :
- Le dénominateur d'une fraction doit être non nul.
- L'expression sous une racine carrée doit être positive ou nulle.
Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes :
- $f(x) = x^3 – 5x + 2$
- $g(x) = \frac{2x + 1}{x – 3}$
- $h(x) = \sqrt{2x – 4}$
- $k(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2 – 1}$
Parité et périodicité d’une fonction
Fonction paire et fonction impaire
Soit $f$ une fonction numérique d'ensemble de définition $D_f$.
- On dit que $f$ est **paire** si pour tout $x \in D_f$ : \[ -x \in D_f \text{et} f(-x) = f(x) \]
- On dit que $f$ est **impaire** si pour tout $x \in D_f$ : \[ -x \in D_f \text{et} f(-x) = -f(x) \]
[Interprétation géométrique]
Dans un repère orthogonal :
- La courbe représentative d'une fonction **paire** est symétrique par rapport à **l'axe des ordonnées**.
- La courbe représentative d'une fonction **impaire** est symétrique par rapport à **l'origine du repère**.
Étudier la parité des fonctions suivantes :
- $f(x) = x^4 – 3x^2 + 1$
- $g(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$
- $h(x) = 2x + 3$
Fonction périodique
On dit qu'une fonction $f$ est **périodique** s'il existe un nombre réel non nul $T$ tel que pour tout $x \in D_f$ :
\[ (x + T) \in D_f \text{et} f(x + T) = f(x) \]
Le plus petit réel $T > 0$ vérifiant cette propriété est appelé la **période** de la fonction $f$.
Les fonctions $x \mapsto \cos(x)$ et $x \mapsto \sin(x)$ sont périodiques de période $T = 2\pi$.
Variations d’une fonction numérique
Fonctions croissantes, décroissantes et constantes
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I \subset D_f$.
- $f$ est **strictement croissante** sur $I$ si pour tous $x_1, x_2 \in I$ : \[ x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2) \text{(le sens de l'inégalité est conservé)} \]
- $f$ est **strictement décroissante** sur $I$ si pour tous $x_1, x_2 \in I$ : \[ x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2) \text{(le sens de l'inégalité est renversé)} \]
- $f$ est **constante** sur $I$ si pour tous $x_1, x_2 \in I$ : $f(x_1) = f(x_2)$.
Taux de variation
Soit $f$ une fonction et $x_1, x_2$ deux éléments distincts de son domaine de définition.
Le nombre réel noté $T$ défini par :
\[ T = \frac{f(x_1) – f(x_2)}{x_1 – x_2} \]
est appelé le **taux de variation** (ou taux d'accroissement) de la fonction $f$ entre $x_1$ et $x_2$.
Soit $f$ une fonction et $T$ son taux de variation sur un intervalle $I$ :
- Si $T > 0$ pour tous $x_1, x_2 \in I$, alors $f$ est **strictement croissante** sur $I$.
- Si $T < 0$ pour tous $x_1, x_2 \in I$, alors $f$ est **strictement décroissante** sur $I$.
Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x^2$.
- Calculer le taux de variation de $f$ entre deux réels distincts $x_1$ et $x_2$.
- En déduire les variations de $f$ sur $[0; +\infty[$ et sur $]-\infty; 0]$.
Étude de fonctions de référence
Fonction polynôme du second degré : $x \mapsto ax^2$
La courbe représentative de la fonction $f(x) = ax^2$ ($a \neq 0$) est une **parabole** de sommet l'origine $O(0,0)$ et d'axe de symétrie l'axe des ordonnées.
- Si $a > 0$ : $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty; 0]$ et strictement croissante sur $[0; +\infty[$.
- Si $a < 0$ : $f$ est strictement croissante sur $]-\infty; 0]$ et strictement décroissante sur $[0; +\infty[$.
Fonction homographique : $x \mapsto \frac{ax+b}{cx+d}$
La courbe représentative de la fonction homographique $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ (avec $c \neq 0$ et $ad-bc \neq 0$) est une **hyperbole** de centre de symétrie $\Omega\left(-\frac{d}{c}; \frac{a}{c}\right)$.
Ses deux asymptotes ont pour équations respectives :
\[ x = -\frac{d}{c} \text{et} y = \frac{a}{c} \]
Le sens de variation dépend uniquement du signe du déterminant $\Delta = \begin{vmatrix} a & b
c & d \end{vmatrix} = ad – bc$.
c & d \end{vmatrix} = ad – bc$.
Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) = \frac{2x + 1}{x – 1}$.
- Déterminer $D_f$.
- Déterminer la valeur du déterminant associé à $f$ et en déduire son tableau de variations.
- Préciser les équations des asymptotes à sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$.