Équations et inéquations trigonométriques
Résolution d’équations trigonométriques fondamentales
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.
- Équation $\cos(x) = \cos(a)$ :
\[ \cos(x) = \cos(a) \iff \begin{cases} x = a + 2k\pi
\text{ou}
x = -a + 2k\pi \end{cases} (k \in \mathbb{Z}) \] - Équation $\sin(x) = \sin(a)$ :
\[ \sin(x) = \sin(a) \iff \begin{cases} x = a + 2k\pi
\text{ou}
x = \pi – a + 2k\pi \end{cases} (k \in \mathbb{Z}) \] - Équation $\tan(x) = \tan(a)$ : \[ \tan(x) = \tan(a) \iff x = a + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \]
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $\displaystyle \cos(2x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
- Donner l'ensemble des solutions de cette équation dans l'intervalle $]-\pi; \pi]$.
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\sin(x)\cos(x) = \frac{1}{4}$.
Inéquations trigonométriques
La résolution d'inéquations trigonométriques (ex : $\cos(x) \ge \frac{1}{2}$ ou $\sin(x) < \frac{\sqrt{2}}{2}$) se fait préférentiellement par une lecture graphique sur le cercle trigonométrique, en prenant soin de respecter les bornes de l'intervalle d'étude imposé (généralement $[0; 2\pi[$ ou $]-\pi; \pi]$).
- Résoudre dans $]-\pi; \pi]$ l'inéquation suivante : $\displaystyle \cos(x) \le \frac{1}{2}$.
- Résoudre dans $[0; 2\pi[$ l'inéquation suivante : $\displaystyle \sin(x) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$.