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Calcul vectoriel dans le plan

Calcul vectoriel dans le plan

Égalité et somme de deux vecteurs

Exercice
Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan $(\mathcal{P})$.
  1. Construire les points du plan $M$ et $N$ tels que $\vec{AN} = \vec{AC} + \vec{AD}$ et $\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{AD}$.
  2. Montrer que $\vec{MN} = \vec{BC}$ et en déduire la nature du quadrilatère $MNCB$.
Définition
  • Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme (on note la norme d'un vecteur $\vec{u}$ par $\lVert\vec{u}\rVert$).
  • Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan. On a :
    • $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ (Relation de Chasles).
    • $\vec{AB} = \vec{CD}$ si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme.
    • $\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AD}$ si et seulement si $ABDC$ est un parallélogramme.
    • $\vec{AB} = -\vec{BA}$ et $\vec{AA} = \vec{0}$.
Exercice
  1. Simplifier le vecteur $\vec{U}$ tel que : \[ \vec{U} = \vec{AB} + \vec{BA} – \vec{AC} – \vec{BC} \]
  2. Soient $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ des points du plan. Montrer que : \[ \vec{AC} – \vec{DB} + \vec{CE} + \vec{DA} + \vec{EB} = \vec{0} \]

Multiplication d’un vecteur par un nombre réel

Exercice
Soit $ABC$ un triangle. Construire les points $M$, $N$, $L$ et $K$ tels que : \[ \vec{AM} = 2\vec{AB} ; \vec{BN} = -2\vec{BC} ; \vec{AL} = \frac{1}{2}\vec{AC} ; \vec{CK} = \frac{2}{3}\vec{CB} \]
Définition
Soit $\vec{u}$ un vecteur non nul et $k$ un nombre réel non nul.
  • $k\vec{u}$ est un vecteur.
  • Si $k > 0$, alors $k\vec{u}$ et $\vec{u}$ ont la même direction, le même sens et $\lVert k\vec{u}\rVert = k\lVert\vec{u}\rVert$.
  • Si $k < 0$, alors $k\vec{u}$ et $\vec{u}$ ont la même direction, des sens opposés et $\lVert k\vec{u}\rVert = -k\lVert\vec{u}\rVert$.
  • $k\vec{u} = \vec{0}$ si et seulement si $\vec{u} = \vec{0}$ ou $k = 0$.
Exercice
Soit $ABC$ un triangle et soit $D$ un point du plan tel que $\vec{BD} = 3\vec{DC}$.
  1. Montrer que : \[ \vec{BD} = \frac{3}{4}\vec{BC} \]
  2. Placer le point $D$.
Proposition
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs et $\alpha$, $\beta$ deux nombres réels. On a :
  • $\alpha(\vec{u} + \vec{v}) = \alpha\vec{u} + \alpha\vec{v}$
  • $(\alpha + \beta)\vec{u} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{u}$
  • $\alpha(\beta\vec{u}) = (\alpha\beta)\vec{u}$
  • $1\vec{u} = \vec{u}$
Exercice
  1. Simplifier les écritures vectorielles suivantes : \[ \vec{a} = 2(\vec{u} + 5\vec{v}) + 3(\vec{u} – \vec{v}) \text{et} \vec{b} = 13\vec{u} + 3(4\vec{v} – \vec{u}) + 2\vec{v} \]
  2. En déduire une relation vectorielle entre les vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$.

Colinéarité de deux vecteurs et alignement de points

Exercice
Soit $ABC$ un triangle et soient $D$ et $E$ deux points du plan tels que : \[ \vec{AD} = 2\vec{AB} + \vec{AC} \text{et} \vec{BE} = \frac{1}{3}\vec{BC} \]
  1. Construire une figure convenable.
  2. Déduire la relation vectorielle entre les deux vecteurs $\vec{AD}$ et $\vec{AE}$.
  3. Que peut-on dire sur les points $A$, $D$ et $E$ ?
Définition
  • On dit que deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement s'il existe un nombre réel $\alpha$ tel que $\vec{v} = \alpha\vec{u}$.
  • On dit que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement s'il existe un nombre réel $\alpha$ tel que $\vec{AC} = \alpha\vec{AB}$ (Le nombre $\alpha$ est appelé l'abscisse du point $C$ dans le repère $(A, \vec{AB})$).
Remarque
L'écriture $\vec{AC} = \frac{4}{3}\vec{AD}$ entraîne que les points $A$, $C$ et $D$ sont alignés et que $\frac{4}{3}$ est l'abscisse du point $C$ dans le repère $(A, \vec{AD})$.
Exercice
$ABC$ est un triangle et soient $D$ et $E$ deux points du plan tels que : \[ \vec{AD} = \frac{3}{2}\vec{AB} \text{et} \vec{DE} = \frac{3}{2}\vec{BC} \] Montrer que $\vec{AE} = \frac{3}{2}\vec{AC}$. Que déduisez-vous ?

Milieu d’un segment

Définition
Soient $A$, $B$ et $I$ trois points du plan. $I$ est le milieu du segment $[AB]$ si et seulement si : \[ \vec{AI} = \vec{IB} = \frac{1}{2}\vec{AB} \]
Exercice
Soit $ABC$ un triangle et soient $I$ et $J$ les milieux respectifs de $[AB]$ et $[AC]$. Montrer que : \[ \vec{IJ} = \frac{1}{2}\vec{BC} \]
Proposition
[Propriété caractéristique] Si $I$ est le milieu du segment $[AB]$, alors pour tout point $M$ du plan $(\mathcal{P})$ : \[ \vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI} \]