Premiers concepts
Rappel et notation
- On a « $7 \in \mathbb{N}$ » et « $404 \in \mathbb{N}$ », car les deux nombres 7 et 404 sont des entiers naturels.
- On a « $2.6 \notin \mathbb{N}$ » et « $-5 \notin \mathbb{N}$ » car les deux nombres 2.6 et -5 ne sont pas des entiers naturels.
Multiples et diviseurs d’un entier naturel
Soit $a \in \mathbb{N}$ et $b \in \mathbb{N}^*$.
On dit que $b$ divise $a$, noté $b \mid a$, s'il existe un entier naturel $k$ tel que : \[ a = b \times k \] On dit aussi que $b$ est un diviseur de $a$, ou encore que $a$ est multiple de $b$.
On dit que $b$ divise $a$, noté $b \mid a$, s'il existe un entier naturel $k$ tel que : \[ a = b \times k \] On dit aussi que $b$ est un diviseur de $a$, ou encore que $a$ est multiple de $b$.
- L'élément 0 est multiple de tout entier naturel, et ne peut pas être diviseur d'aucun entier.
- L'élément 1 divise tout entier naturel.
- Tout entier naturel $a$ non nul est toujours divisible par 1 et lui-même.
- On désigne par $\mathcal{D}(a)$ l'ensemble des diviseurs de $a$, et par $\mathcal{M}(a)$ l'ensemble des multiples de $a$.
- On a 8 est un multiple de 4, car $8 = 4 \times 2$ ($k = 2$).
- On a 17 est un diviseur de 51, car $51 = 17 \times 3$ ($k = 3$).
- Les nombres 1, 3, 17 et 51 sont exactement les diviseurs de 51, et on écrit : \[ \mathcal{D}(51) = \{1; 3; 17; 51\} \]
- Les nombres 0, 4, 8, 12, 16,… sont les multiples de 4, et on écrit : \[ \mathcal{M}(4) = \{0; 4; 8; 12; 16; …\} \] ou encore : \[ \mathcal{M}(4) = \{4 \times k, \text{ où } k \in \mathbb{N}\} \]
Nombres pairs — Nombres impairs
Soit $a \in \mathbb{N}$.
- On dit que $a$ est un nombre pair s'il existe un entier naturel $k$ tel que $a = 2k$. Autrement dit, si 2 divise $a$.
- On dit que $a$ est un nombre impair s'il existe un entier naturel $k$ tel que $a = 2k + 1$. Autrement dit, si 2 ne divise pas $a$.
- On a 10 est un nombre pair, car $10 = 2 \times 5$.
- On a 101 est un nombre impair, car $101 = 2 \times 50 + 1$.
Les nombres premiers
Nombre premier
On dit qu'un entier naturel $a$ est un nombre premier s'il possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Autrement dit, si :
\[ \mathcal{D}(a) = \{1; a\} \]
- 19 est un nombre premier, car $\mathcal{D}(19) = \{1; 19\}$.
- 45 n'est pas un nombre premier, car $\mathcal{D}(45) = \{1; 3; 5; 9; 15; 45\}$. \nolinebreak
- Liste des nombres premiers inférieurs à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
- 0 et 1 ne sont pas des nombres premiers.
- Tout nombre pair différent de 2 n'est pas un nombre premier.
- Tout nombre premier strictement supérieur à 2 est un nombre impair.
- Il existe une infinité de nombres premiers.
Pratiquement, pour montrer qu'un entier naturel $a$ est premier, il suffit de vérifier qu'il n'admet aucun diviseur parmi les nombres premiers successifs (2, 3, 5, 7, 11,…) jusqu'à $\sqrt{a}$.
- 119 est-il un nombre premier ?
D'abord on a $\sqrt{119} \simeq 10.9$. En utilisant la division euclidienne, on vérifie que 119 est divisible par 7 ($119 = 7 \times 17$), donc 119 n'est pas premier. - 283 est-il un nombre premier ?
D'abord on a $\sqrt{283} \simeq 16.8$. En utilisant la division euclidienne, on vérifie que 283 n'est divisible par aucun des nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11 et 13, donc 283 est premier. - 381 est-il un nombre premier ?
On a 381 est divisible par 3 ($381 = 3 \times 127$), donc 381 n'est pas premier.
Décomposition en produit de facteurs premiers d’un entier naturel
Tout entier naturel $a$ strictement supérieur à 1, s'écrit d'une façon unique sous la forme d'un produit de nombres premiers. On dit qu'il est décomposé en produit de facteurs premiers.
Décomposons 168 et 825 en produit de facteurs premiers. On va diviser successivement le nombre à décomposer par les nombres premiers pris dans l'ordre croissant (2, 3, 5, 7, 11, …).
- La décomposition du nombre 168 :
On remarque que 168 est divisible par 2, alors $168 = 2 \times 84$.
Comme 84 n'est pas premier et divisible par 2, donc $168 = 2 \times 2 \times 42 = 2^2 \times 42$.
Et 42 est divisible par 2, d'où $168 = 2^2 \times 2 \times 21 = 2^3 \times 21$.
21 n'est pas un nombre premier, car $21 = 3 \times 7$, alors : \[ 168 = 2^3 \times 3 \times 7 \] La décomposition de 168 en produit de facteurs premiers est : $168 = 2^3 \times 3 \times 7$. - La décomposition du nombre 825 :
\[\begin{aligned}825 &= 3 \times 275 \\ &= 3 \times 5 \times 55 \\ &= 3 \times 5 \times 5 \times 11 \\ &= 3 \times 5^2 \times 11\end{aligned}\]
PGCD et PPCM
Plus grand diviseur commun à deux nombres
Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels. Le plus grand diviseur commun à $a$ et $b$ est le plus grand entier naturel qui divise $a$ et qui divise $bfx$, on le note $a \wedge b$ ou encore $\text{PGCD}(a;b)$.
- On a $\mathcal{D}(27) = \{1; 3; 9; 27\}$ et $\mathcal{D}(81) = \{1; 3; 9; 27; 81\}$.
Alors les diviseurs communs à 27 et 81 sont 1, 3, 9, 27. D'où $\text{PGCD}(27;81) = 27$, ou encore $27 \wedge 81 = 27$. - On a $\mathcal{D}(18) = \{1; 2; 3; 6; 9; 18\}$ et $\mathcal{D}(105) = \{1; 3; 5; 7; 15; 21; 35; 105\}$.
Alors les diviseurs communs à 18 et 105 sont : 1, 3. D'où $\text{PGCD}(18;105) = 3$, ou encore $18 \wedge 105 = 3$. - On a $\mathcal{D}(17) = \{1; 17\}$ et $\mathcal{D}(97) = \{1; 97\}$.
Alors le seul diviseur commun à 17 et 97 est 1. D'où $\text{PGCD}(17;97) = 1$ ou encore $17 \wedge 97 = 1$. \nolinebreak
- Comme 1 divise tous les entiers naturels, alors $a \wedge b \ge 1$.
- Le PGCD de deux nombres premiers est toujours égal à 1.
Soit $a \in \mathbb{N}$ :
- $a \wedge a = a$
- $a \wedge 1 = 1$
- $a \wedge 0 = a$
- Si un entier naturel $b$ divise $a$, alors $a \wedge b = b$.
Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels. Le PGCD de $a$ et $b$ est le produit des facteurs premiers communs contenus dans leurs décompositions, qui ont la plus petite puissance.
- On a : $80 = 2^4 \times 5$ et $315 = 3^2 \times 5 \times 7$.
On voit que 5 est le facteur premier commun, donc : \[ \text{PGCD}(80;315) = 5 \] - On a : $525 = 3 \times 5^2 \times 7$ et $210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$.
On voit que 3, 5 et 7 sont les facteurs premiers communs, donc on prend ces facteurs dont l'exposant est le plus petit, on trouve : \[ 525 \wedge 210 = 3 \times 5 \times 7 = 105 \]
Plus petit multiple commun à deux nombres
Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls. Le plus petit multiple commun à $a$ et $b$ est le plus petit entier naturel non nul, qui est multiple de $a$ et $b$, on le note $a \vee b$ ou encore $\text{PPCM}(a;b)$.
- On a $\mathcal{M}(7) = \{0; 7; 14; 21; 28; …\}$ et $\mathcal{M}(3) = \{0; 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; …\}$.
Donc $\text{PPCM}(7;3) = 21$, ou encore $7 \vee 3 = 21$. - On a $\mathcal{M}(15) = \{0; 15; 30; 45; …\}$ et $\mathcal{M}(30) = \{0; 30; 60; 90; …\}$.
Donc $\text{PPCM}(15;30) = 30$, ou encore $15 \vee 30 = 30$.
Le PPCM de deux nombres premiers est toujours égal à leur produit.
Soit $a \in \mathbb{N}$ :
- $a \vee a = a$
- $a \vee 1 = a$
- $a \vee 0 = 0$
- Si un entier naturel $b$ divise $a$, alors $a \vee b = a$.
Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels. Le PPCM de $a$ et $b$ est le produit de tous les facteurs premiers (communs ou non) contenus dans leurs décompositions, qui ont la plus grande puissance.
- On a : $80 = 2^4 \times 5$ et $315 = 3^2 \times 5 \times 7$.
On prend tous les facteurs premiers dont l'exposant est le plus grand, on trouve : \[ \text{PPCM}(80;315) = 2^4 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 5040 \] - On a : $525 = 3 \times 5^2 \times 7$ et $210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$.
On prend tous les facteurs premiers dont l'exposant est le plus grand, on trouve : \[ 525 \vee 210 = 2 \times 3 \times 5^2 \times 7 = 1050 \]
Relation entre PGCD et PPCM
Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels, on a :
\[ (a \wedge b) \times (a \vee b) = ab \]
Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls. Déterminons $a \wedge b$ sachant que $ab = 180$ et $a \vee b = 60$ :
On a $(a \wedge b) \times (a \vee b) = ab$, alors : \[ a \wedge b = \frac{ab}{a \vee b} = \frac{180}{60} = 3 \]
On a $(a \wedge b) \times (a \vee b) = ab$, alors : \[ a \wedge b = \frac{ab}{a \vee b} = \frac{180}{60} = 3 \]