Objectifs du chapitre
Ce cours de calcul intégral est destiné aux élèves de 2ème Bac Sciences de la Vie et de la Terre.
À la fin du chapitre, l'élève doit savoir :
– calculer l'intégrale d'une fonction à l'aide des primitives usuelles ;
– utiliser la linéarité, la relation de Chasles et l'intégration par parties ;
– interpréter une intégrale comme une aire ;
– encadrer une intégrale et utiliser la valeur moyenne ;
– traiter des applications et exercices proches du programme de 2 Bac Sciences Physiques et SVT.
I.Intégrale d’une fonction continue sur un segment
1.L’intégrale et les primitives
Définition de l’intégrale
Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( I \), et soient \( a \) et \( b \) deux éléments de \( I \).
Le nombre \( F(b)-F(a) \), où \( F \) est une primitive de \( f \), est appelé l'intégrale de la fonction \( f \) de \( a \) à \( b \), et on le note \( \int_a^b f(x)\,dx \).
On écrit :
\[ \int_a^b f(x)\,dx=\left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a). \]
Remarques
– \( \int_a^b f(x)\,dx \) se lit « intégrale de \( f(x)\,dx \) de \( a \) à \( b \) ».
– Les nombres \( a \) et \( b \) s'appellent les bornes de l'intégrale.
– La variable d'intégration est muette :
\[ \int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(t)\,dt=\int_a^b f(u)\,du. \]
Calculs directs avec des primitives
Calculons les intégrales suivantes :
\[ \int_e^{e^4}\frac{\ln x}{x}\,dx=\left[\frac12\ln^2 x\right]_e^{e^4}=6. \]
\[ \int_0^{\ln 2}\frac{e^t}{e^t+1}\,dt=\left[\ln(e^t+1)\right]_0^{\ln 2}=\ln 3-\ln 2. \]
\[ \int_2^6\sqrt{2+x}\,dx=\left[\frac23(2+x)^{\frac32}\right]_2^6=\frac{16}{3}(2\sqrt2-1). \]
Exercices
1. Déterminer la dérivée de \( F:x\mapsto \ln(x+\sqrt{x^2+1}) \) sur \( \mathbb{R}^+ \), puis calculer
\[ L=\int_0^{\frac34}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\,dx. \]
2. Calculer :
\[ \int_1^3\left(5x^2-4x+\frac2x-\frac4{\sqrt{x}}\right)\,dx, J=\int_e^{e^3}\frac{\ln^3 x}{x}\,dx, K=\int_0^1 xe^{-x^2}\,dx. \]
Relation de Chasles et changement des bornes
Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( I \). Pour tous \( a,b,c\in I \) :
\[ \int_a^a f(x)\,dx=0, \int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx. \]
\[ \int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx. \]
Cette dernière égalité est la relation de Chasles pour les intégrales.
Valeur absolue et fonctions définies par morceaux
1. Calculer :
\[ \int_0^2 |3x-4|\,dx, \int_{-3}^2 |x^2-3x-4|\,dx, \int_{\frac1e}^e \frac{|\ln x|}{x}\,dx, \int_{\frac{\pi}{2}}^\pi |\sin 2x|\,dx. \]
2. Soit \( f \) définie sur \( [0,8] \) par :
\[ f(x)=\begin{cases}\sqrt{3x+1} & \text{si }0\le x\lt 1,
\frac{x+1}{\sqrt[3]{x}} & \text{si }1\le x\le 8.\end{cases} \] Vérifier que \( f \) est continue sur \( [0,8] \), puis calculer \( I=\int_0^8 f(x)\,dx \).
\frac{x+1}{\sqrt[3]{x}} & \text{si }1\le x\le 8.\end{cases} \] Vérifier que \( f \) est continue sur \( [0,8] \), puis calculer \( I=\int_0^8 f(x)\,dx \).
Linéarité de l’intégrale
Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions continues sur un intervalle \( I \). Pour tout \( (a,b)\in I^2 \) et tout \( \lambda\in\mathbb{R} \) :
\[ \int_a^b(f(x)+g(x))\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx. \]
\[ \int_a^b \lambda f(x)\,dx=\lambda\int_a^b f(x)\,dx. \]
Plus généralement :
\[ \int_a^b(\lambda f(x)+\mu g(x))\,dx=\lambda\int_a^b f(x)\,dx+\mu\int_a^b g(x)\,dx. \]
Applications sur la linéarité
1. Calculer \( \int_2^4(5f(x)-3g(x))\,dx \), sachant que :
\[ \int_2^4(f(x)+g(x))\,dx=7, \int_2^4(f(x)-g(x))\,dx=1. \]
2. Calculer :
\[ I=\int_1^e\ln x\,dx+\int_1^e\left(\frac{2\ln x}{x}+\ln\frac1x\right)\,dx. \]
3. On pose :
\[ K=\int_0^{\ln2}\frac{e^t-1}{e^t+1}\,dt, L=\int_0^{\ln2}\frac1{e^t+1}\,dt. \]
Calculer \( K+L \) et \( K+2L \), puis en déduire \( K \) et \( L \).
4. Déterminer \( a,b,c \) tels que, pour \( x\lt \frac12 \) :
\[ \frac{x^2-1}{2x-1}=ax+b+\frac{c}{2x-1}. \]
Montrer ensuite que :
\[ \int_{-1}^0\frac{x^2-1}{2x-1}\,dx=\frac38\ln3. \]
5. Soit \( f(x)=(x+1)e^{2x} \). Montrer que \( f(x)=\frac12f'(x)-\frac12e^{2x} \), puis calculer \( \int_0^1(x+1)e^{2x}\,dx \).
2.Expression d’une primitive à l’aide d’une intégrale
Primitive définie par une intégrale
Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( I \), et soit \( a\in I \).
La fonction \( \varphi \) définie sur \( I \) par :
\[ \varphi(x)=\int_a^x f(t)\,dt \]
est la primitive de \( f \) sur \( I \) qui s'annule en \( a \).
Conséquences
La fonction \( \varphi \) est dérivable sur \( I \) et :
\[ \varphi'(x)=f(x). \]
Donc, pour \( x_0\in I \) :
\[ \lim_{x\to x_0}\frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^x f(t)\,dt=f(x_0). \]
Comme \( \ln \) est la primitive de \( x\mapsto \frac1x \) sur \( \mathbb{R}_+^* \) qui s'annule en \( 1 \), on a :
\[ \forall x\in\mathbb{R}_+^*, \ln x=\int_1^x\frac1t\,dt. \]
3.Interprétation géométrique d’une intégrale
Vidéo explicative
Regarder cette vidéo pour mieux comprendre l'interprétation géométrique de l'intégrale et le calcul d'aire sous une courbe.
Voir la videoUnité d’aire
Dans un repère orthogonal \( (O;\vec{i};\vec{j}) \), on appelle unité d'aire l'aire du rectangle \( OICJ \), où :
\[ \overrightarrow{OI}=\vec{i}, \overrightarrow{OJ}=\vec{j}, \overrightarrow{OC}=\vec{i}+\vec{j}. \]
L'unité d'aire vaut :
\[ u.a=\|\vec{i}\|\times\|\vec{j}\|. \]
Aire sous une courbe positive
Soit \( f \) une fonction continue et positive sur un segment \( [a,b] \), avec \( a\lt b \), et soit \( \mathscr{C}_f \) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'aire du domaine délimité par \( \mathscr{C}_f \), l'axe des abscisses et les droites d'équations \( x=a \) et \( x=b \) est :
\[ \mathscr{A}=\int_a^b f(x)\,dx. \]
Cette aire est exprimée en unités d'aire.
Aire avec une parabole
On considère \( g(x)=-\frac12x^2-x \). La fonction \( g \) est positive sur \( [-2,0] \).
L'aire du domaine coloré \( \Delta \) est :
\[ \mathscr{A}(\Delta)=\int_{-2}^{0}\left(-\frac12x^2-x\right)\,dx \text{en unités d'aire}. \]
Or :
\[ \int_{-2}^{0}\left(-\frac12x^2-x\right)\,dx=\left[-\frac16x^3-\frac12x^2\right]_{-2}^{0}=\frac23. \]
Si \( \|\vec{i}\|=1{,}5\,cm \) et le repère est orthonormé, alors \( 1\,u.a=2{,}25\,cm^2 \), donc :
\[ \mathscr{A}(\Delta)=\frac23\times2{,}25=1{,}5\,cm^2. \]
Applications sur les aires
1. Soit \( f(x)=6+5e^x-e^{2x} \) et \( \mathscr{C}_f \) sa courbe dans un repère orthonormé avec \( \|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|=2cm \).
Résoudre \( f(x)\ge0 \), puis déterminer l'aire du domaine délimité par \( \mathscr{C}_f \), les axes du repère et la droite \( x=\ln\left(\frac52\right) \).
2. Soit \( g(x)=\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right) \), dans un repère orthogonal avec \( \|\vec{i}\|=2cm \) et \( \|\vec{j}\|=3cm \). Déterminer l'aire du domaine délimité par \( \mathscr{C}_g \), l'axe des abscisses et les droites \( x=-\frac{\pi}{12} \), \( x=\frac{\pi}{6} \).
II.Techniques de calcul d’intégrales
1.Utilisation des primitives
Méthode
Pour calculer une intégrale, on commence par vérifier la continuité de la fonction sur l'intervalle d'intégration.
On cherche ensuite si la fonction peut être intégrée directement à l'aide du tableau des primitives usuelles, si elle s'écrit sous la forme \( u'\cdot(v'\circ u) \), ou si une transformation algébrique permet de la ramener à une somme de fonctions faciles à intégrer.
Quand ces méthodes ne suffisent pas, on peut utiliser l'intégration par parties.
2.Intégration par parties
Formule d’intégration par parties
Soient \( u \) et \( v \) deux fonctions dérivables sur un intervalle \( I \), telles que \( u' \) et \( v' \) soient continues sur \( I \).
Pour tout \( (a,b)\in I^2 \) :
\[ \int_a^b u(t)v'(t)\,dt=\left[u(t)v(t)\right]_a^b-\int_a^b u'(t)v(t)\,dt. \]
Exemples corrigés
1. Calcul de \( I=\int_{\ln2}^{\ln3}xe^{-x}\,dx \).
On pose \( u=x \), donc \( u'=1 \), et \( v'=e^{-x} \), donc \( v=-e^{-x} \).
\[ I=\left[-xe^{-x}\right]_{\ln2}^{\ln3}-\int_{\ln2}^{\ln3}-e^{-x}\,dx. \]
Ainsi :
\[ I=-\frac{\ln3}{3}+\frac{\ln2}{2}-\frac13+\frac12=\frac{3\ln2-2\ln3+1}{6}. \]
2. Pour \( J=\int_1^2(2x+3)\ln x\,dx \), on pose \( u=\ln x \), \( u'=\frac1x \), \( v'=2x+3 \), \( v=x^2+3x \).
\[ J=\left[(x^2+3x)\ln x\right]_1^2-\int_1^2\frac{x^2+3x}{x}\,dx=10\ln2-\int_1^2(x+3)\,dx. \]
Applications sur l’intégration par parties
1. Calculer par intégration par parties :
\[ I_1=\int_1^{\ln2}xe^x\,dx, I_2=\int_{-2}^1x\sqrt{2-x}\,dx, I_3=\int_1^4\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx, I_4=\int_0^{\frac{\pi}{6}}\frac{x}{\cos^2x}\,dx. \]
\[ I_5=\int_0^1(1+e^x)\ln(x+e^x)\,dx, I_6=\int_1^e\frac{\ln t}{t^2}\,dt, I_7=\int_0^{\ln3}\frac{e^{2x}}{(1+e^x)^2}\,dx. \]
\[ I_8=\int_1^{\ln2}(x^2+1)e^{-x}\,dx, I_9=\int_0^\pi e^{-x}\sin x\,dx, I_{10}=\int_0^1(2x+1)3^x\,dx. \]
2. Pour tout \( n\in\mathbb{N} \), on pose \( K_n=\int_0^1t^ne^t\,dt \). Montrer que :
\[ K_{n+1}+(n+1)K_n=e. \]
3. Vérifier que, pour \( x\in\mathbb{R}^*\setminus\{-1\} \),
\[ \frac1{x(x+1)}=\frac1x-\frac1{x+1}. \]
Puis calculer \( I=\int_1^e\frac{\ln x}{(1+x)^2}\,dx \).
III.Intégration et ordre
1.Positivité et croissance
Positivité et comparaison
Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions continues sur un segment \( [a,b] \), avec \( a\lt b \).
– Si \( f \) est positive sur \( [a,b] \), alors :
\[ \int_a^b f(x)\,dx\ge0. \]
– Si \( f(x)\le g(x) \) pour tout \( x\in[a,b] \), alors :
\[ \int_a^b f(x)\,dx\le\int_a^b g(x)\,dx. \]
Preuve
Soit \( F \) une primitive de \( f \) sur \( [a,b] \). Alors :
\[ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a). \]
Si \( f \) est positive sur \( [a,b] \), alors \( F \) est croissante sur \( [a,b] \). Donc \( F(b)-F(a)\ge0 \), d'où \( \int_a^b f(x)\,dx\ge0 \).
Si \( f(x)\le g(x) \), alors \( g(x)-f(x)\ge0 \), donc :
\[ \int_a^b(g(x)-f(x))\,dx\ge0. \]
Par linéarité, on obtient \( \int_a^b f(x)\,dx\le\int_a^b g(x)\,dx \).
Applications d’encadrement
1. Montrer que :
\[ 0\le\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi\frac{\sin t}{t}\,dt\le\frac{\pi}{2}-1 \]
et
\[ \frac{\ln2}{2}\le\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{\cos x}{x}\,dx\le\frac{\sqrt3}{2}\ln2. \]
2. Pour \( n\in\mathbb{N} \), on pose \( I_n=\int_0^1\frac{t^n}{1+t}\,dt \). Vérifier que :
\[ 0\le\frac{t^n}{1+t}\le t^n \text{sur }[0,1]. \]
Montrer ensuite que \( 0\le I_n\le\frac1{n+1} \), puis déterminer la limite de \( (I_n) \).
3. Pour \( n\in\mathbb{N}^* \), on pose \( u_n=\int_1^e(\ln x)^n\,dx \). Montrer que \( u_n\ge0 \), que \( (u_n) \) est décroissante et convergente, puis que :
\[ u_{n+1}=e-(n+1)u_n. \]
En déduire \( 0\le u_n\le\frac{e}{n+1} \) et \( \lim u_n \).
4. Pour \( n\in\mathbb{N} \), on pose \( J_n=\int_0^{\frac{\pi}{6}}x^n\cos x\,dx \). Montrer que \( (J_n) \) est décroissante, que \( 0\le J_n\le\left(\frac{\pi}{6}\right)^n \), puis déterminer sa limite.
2.Intégrale et valeur absolue
Inégalité avec la valeur absolue
Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( I \), et soit \( (a,b)\in I^2 \) avec \( a\le b \).
Alors :
\[ \left|\int_a^b f(x)\,dx\right|\le\int_a^b |f(x)|\,dx. \]
3.Valeur moyenne d’une fonction continue sur un segment
Inégalité de la moyenne
Soit \( f \) une fonction continue sur un intervalle \( I \), et soit \( (a,b)\in I^2 \), avec \( a\le b \).
– S'il existe deux réels \( m \) et \( M \) tels que, pour tout \( x\in[a,b] \), \( m\le f(x)\le M \), alors :
\[ m(b-a)\le\int_a^b f(x)\,dx\le M(b-a). \]
– S'il existe un réel \( M \) tel que \( |f(x)|\le M \) sur \( [a,b] \), alors :
\[ \left|\int_a^b f(x)\,dx\right|\le M(b-a). \]
Valeur moyenne
Soit \( f \) une fonction continue sur un segment \( [a,b] \), avec \( a\lt b \).
La valeur moyenne de \( f \) sur \( [a,b] \) est le nombre :
\[ \mu=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx. \]
Valeur moyenne de \( \ln x \)
La valeur moyenne de \( x\mapsto\ln x \) sur \( [1,e] \) est :
\[ \mu=\frac1{e-1}\int_1^e\ln x\,dx. \]
Par intégration par parties :
\[ \int_1^e\ln x\,dx=\left[x\ln x\right]_1^e-\int_1^e dx=e-\left[x\right]_1^e=1. \]
Donc :
\[ \mu=\frac1{e-1}. \]
Remarques et théorème de la moyenne
– Souvent, \( m \) et \( M \) représentent le minimum et le maximum de \( f \) sur \( [a,b] \).
– Si \( m\le f\le M \), alors \( m\le\mu\le M \).
– La formule \( \mu=\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \) généralise la moyenne arithmétique d'une série statistique.
Théorème de la moyenne : si \( f \) est continue sur \( [a,b] \), avec \( a\lt b \), alors il existe au moins un réel \( c\in[a,b] \) tel que :
\[ \int_a^b f(x)\,dx=(b-a)f(c). \]