Rappels de cours (Suites arithmétiques \& géométriques)
Suites arithmétiques
Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est arithmétique s'il existe un réel $r$, appelé raison de la suite, tel que :
\[ \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n + r \]
Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$, alors :
- Terme général : $\forall n \in \mathbb{N}, u_n = u_0 + nr$ (ou $u_n = u_p + (n-p)r$).
- Somme des termes : $\sum_{k=p}^{n} u_k = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n = \frac{(n – p + 1)(u_p + u_n)}{2}$.
Suites géométriques
Une suite $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est géométrique s'il existe un réel $q$, appelé raison de la suite, tel que :
\[ \forall n \in \mathbb{N}, v_{n+1} = q \cdot v_n \]
Si $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $v_0$, alors :
- Terme général : $\forall n \in \mathbb{N}, v_n = v_0 \cdot q^n$ (ou $v_n = v_p \cdot q^{n-p}$).
- Somme des termes ($q \neq 1$) : $\sum_{k=p}^{n} v_k = v_p + v_{p+1} + \dots + v_n = v_p \cdot \frac{1 – q^{n-p+1}}{1 – q}$.
Limites des suites usuelles et critères de convergence
Limites de référence
- $\lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$, $\lim_{n \to +\infty} n^3 = +\infty$, $\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$.
- $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$, $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0$, $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$.
Limite de la suite géométrique $(q^n)$
Soit $q$ un nombre réel. La limite de la suite $(q^n)$ est déterminée par :
- Si $q > 1$ : $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$.
- Si $-1 < q < 1$ : $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$ (la suite converge).
- Si $q = 1$ : $\lim_{n \to +\infty} q^n = 1$.
- Si $q \le -1$ : La suite $(q^n)$ n'admet pas de limite.
Théorèmes de comparaison et d’encadrement
Théorème d’encadrement (Théorème des gendarmes)
Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites numériques. Si à partir d'un certain rang, on a :
\[ v_n \le u_n \le w_n \]
et si $\lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} w_n = l$ ($l \in \mathbb{R}$), alors la suite $(u_n)$ converge et :
\[ \lim_{n \to +\infty} u_n = l \]
Théorèmes de comparaison pour l’infini
- Si $u_n \ge v_n$ à partir d'un certain rang et $\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$.
- Si $u_n \le w_n$ à partir d'un certain rang et $\lim_{n \to +\infty} w_n = -\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
Soit la suite définie par $u_n = -n^3 – \sqrt{n+1}$.
On sait que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n \le -n^3$. Comme $\lim_{n \to +\infty} -n^3 = -\infty$, on en déduit par comparaison algébrique directe que :
\[ \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty \]
Suites de type $u_{n+1} = f(u_n)$
Soit $(u_n)$ une suite numérique définie par sa relation récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$ et son premier terme $u_0$.
Si les conditions suivantes sont réunies :
- $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$,
- $f(I) \subset I$,
- $u_0 \in I$,
- La suite $(u_n)$ est convergente vers une limite $l$,
Exercice d’application et de synthèse
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite numérique définie sur l'intervalle $I = [-3; 1]$ par :
\[ \begin{cases} u_0 = -3
u_{n+1} = \frac{u_n – 8}{2u_n – 9} (\forall n \in \mathbb{N}) \end{cases} \] On introduit la fonction $f$ associée définie sur $I$ par $f(x) = \frac{x – 8}{2x – 9}$. On pose également une suite auxiliaire $v_n = u_n – 6$ (ou un aménagement géométrique associé).
u_{n+1} = \frac{u_n – 8}{2u_n – 9} (\forall n \in \mathbb{N}) \end{cases} \] On introduit la fonction $f$ associée définie sur $I$ par $f(x) = \frac{x – 8}{2x – 9}$. On pose également une suite auxiliaire $v_n = u_n – 6$ (ou un aménagement géométrique associé).