Notation exponentielle d’un nombre complexe non nul
Introduction et activité
Pour tout réel $\theta$, on note $e^{i\theta}$ le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\theta$ :
\[ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \]
Propriétés algébriques
Soient $\theta$ et $\theta'$ deux réels. On a les relations suivantes :
\[\begin{aligned}|e^{i\theta}| &= 1 \text{et} \arg(e^{i\theta}) \equiv \theta \pmod{2\pi} \\
e^{i\theta} \times e^{i\theta'} &= e^{i(\theta + \theta')} \\
\frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}} &= e^{i(\theta – \theta')} \\
\frac{1}{e^{i\theta}} &= e^{-i\theta} \\
\overline{e^{i\theta}} &= e^{-i\theta} \text{et} -e^{i\theta} = e^{i(\theta + \pi)}\end{aligned}\]
La forme exponentielle d'un nombre complexe $z$ non nul est l'écriture :
\[ z = r e^{i\theta} \]
où $r = |z|$ est le module de $z$ et $\theta \equiv \arg(z) \pmod{2\pi}$.
- Déterminer la forme exponentielle de $z = 1+i\sqrt{3}$.
- En déduire la forme exponentielle des nombres suivants : \[ \text{a) } iz ; \text{b) } i\overline{z} ; \text{c) } -\frac{2i}{z} ; \text{d) } (1+i\sqrt{3})^{12} \]
- Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants : \[ \text{a) } z_A = e^{i\frac{\pi}{6}} ; \text{b) } z_B = 4e^{i\frac{\pi}{4}} \]
- Écrire par deux méthodes sous forme algébrique l'expression $(\cos(x)+i\sin(x))^2$, puis en déduire les expressions de $\cos(2x)$ et $\sin(2x)$ en fonction de $\cos(x)$ et $\sin(x)$.
- Exprimer $\cos(3x)$ uniquement en fonction de $\cos(x)$.
Formules d’Euler et application à la linéarisation
[Formules d'Euler]
Pour tout réel $\theta$, on a :
\[ \cos(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \text{et} \sin(\theta) = \frac{e^{i\theta} – e^{-i\theta}}{2i} \]
- À l'aide des formules d'Euler, montrer que : $\cos^2(x) = \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{2}$. (Cette opération s'appelle une linéarisation).
- Linéariser l'expression $\cos^3(x)$.
- En déduire une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x \mapsto \cos^3(x)$.
Écritures complexes des transformations usuelles
La Translation
L'écriture complexe de la translation $t$ de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $z_{\vec{u}}$ est :
\[ z' = z + z_{\vec{u}} \]
L’Homothétie
L'écriture complexe de l'homothétie $h$ de centre $\Omega(z_\Omega)$ et de rapport $k \in \mathbb{R}^*$ est :
\[ z' – z_\Omega = k(z – z_\Omega) \]
On considère l'homothétie $h$ de centre $\Omega(-3i)$ et de rapport $k=2$.
- Déterminer l'affixe $b$ du point $B$, image du point $A$ d'affixe $a=1+i$ par $h$.
- Démontrer que $A$ est le milieu du segment $[\Omega B]$.
La Rotation
L'écriture complexe de la rotation $R$ de centre $\Omega(z_\Omega)$ et d'angle $\theta$ est :
\[ z' – z_\Omega = e^{i\theta}(z – z_\Omega) \]
On considère la rotation $r$ de centre $\Omega(3i)$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$.
- Donner l'écriture complexe de cette rotation $r$.
- Déterminer l'affixe de $A'$, image du point $A(2-i)$ par $r$.
- En déduire la nature du triangle $\Omega AA'$.
Classification des transformations de la forme $f(z) = az + b$
Soit $f$ la transformation qui associe à tout point $M(z)$ le point $M'(z')$ tel que $z' = az+b$.
- Si $a = 1$, $f$ est la translation de vecteur d'affixe $b$.
- Si $a \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$, $f$ est l'homothétie de rapport $a$ et de centre $\Omega\left(\frac{b}{1-a}\right)$.
- Si $a \notin \mathbb{R}$ et $|a| = 1$, $f$ est la rotation d'angle $\theta = \arg(a)$ et de centre $\Omega\left(\frac{b}{1-a}\right)$.
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation $f$ telle que :
\[ z' = iz + 2 – i \]
Résolution des équations du second degré dans $\mathbb{C}$
Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes :
\[ (E_1): z^2 + z + 1 = 0 ; (E_2): 2z^2 – 2\sqrt{3}z + 2 = 0 \]