Définition d’une fonction continue
Fonction continue en un point
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert contenant un réel $x_0$.
On dit que la fonction $f$ est continue en $x_0$ si et seulement si :
\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 + 3x$. Montrons que $f$ est continue en $x_0 = 1$.
\[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x^2 + 3x) = 1^2 + 3(1) = 4 \]
Comme $f(1) = 4$, on a $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$. La fonction $f$ est donc continue en $1$.
Continuité à droite et à gauche en un point
- Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $[x_0, x_0 + \alpha[$ ($\alpha > 0$). On dit que $f$ est continue à droite en $x_0$ si : $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$.
- Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $]x_0 – \alpha, x_0]$ ($\alpha > 0$). On dit que $f$ est continue à gauche en $x_0$ si : $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$.
Une fonction $f$ est continue en un point $x_0$ si et seulement si elle est continue à droite et à gauche en $x_0$, c'est-à-dire :
\[ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0) \]
Prolongement par continuité
Soit $f$ une fonction numérique dont le domaine de définition ne contient pas le réel $x_0$, mais telle que $\lim_{x \to x_0} f(x) = l$ (où $l \in \mathbb{R}$).
La fonction $g$ définie sur $D_f \cup \{x_0\}$ par :
\[ \begin{cases} g(x) = f(x) & \text{si } x \neq x_0
g(x_0) = l \end{cases} \] est appelée le prolongement par continuité de la fonction $f$ en $x_0$.
g(x_0) = l \end{cases} \] est appelée le prolongement par continuité de la fonction $f$ en $x_0$.
Fonction continue sur un intervalle
- On dit qu'une fonction $f$ est continue sur un intervalle ouvert $]a, b[$ si elle est continue en tout point de $]a, b[$.
- On dit que $f$ est continue sur le segment $[a, b]$ si elle est continue sur $]a, b[$, continue à droite en $a$ et continue à gauche en $b$.
Opérations sur les fonctions continues
Si $f$ et $g$ des fonctions continues sur un intervalle $I$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, alors :
- $f + g$, $f \times g$ et $\lambda f$ sont continues sur $I$.
- $\frac{1}{g}$ et $\frac{f}{g}$ sont continues sur $I$ en tout point où $g(x) \neq 0$.
- $|f|$ et $\sqrt{f}$ (si $f(x) \ge 0$) sont continues sur $I$.
Continuité de la composée de deux fonctions
Soient $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $g$ une fonction continue sur un intervalle $J$ tel que $f(I) \subset J$.
Alors la fonction composée $g \circ f$ définie par $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ est continue sur $I$.
Image d’un intervalle par une fonction continue
Image d’un segment et image d’un intervalle
L'image d'un intervalle (ou d'un segment) par une fonction continue est un intervalle (ou un segment) de même nature.
Cas d’une fonction continue et strictement monotone
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$.
Pour tout réel $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = \lambda$.
Fonctions réciproques
Théorème des fonctions réciproques
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$.
Alors $f$ réalise une bijection de $I$ vers l'intervalle $J = f(I)$. Elle admet une fonction réciproque, notée $f^{-1}$ définie sur $J$ à valeurs dans $I$, qui possède les propriétés suivantes :
- $f^{-1}$ est continue sur $J$.
- $f^{-1}$ a le même sens de variation que $f$ sur $J$.
- $\forall x \in J, \forall y \in I : f^{-1}(x) = y \iff f(y) = x$.
Fonction Arctangente
La restriction de la fonction tangente à l'intervalle $]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ est une bijection de cet intervalle sur $\mathbb{R}$.
Sa fonction réciproque est appelée fonction Arctangente, notée $\mathbf{\arctan}$ :
\[ \arctan : \mathbb{R} \to \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ \]
- $\forall x \in \mathbb{R}$, $\tan(\arctan(x)) = x$.
- $\forall x \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$, $\arctan(\tan(x)) = x$.
- La fonction $\arctan$ est impaire, continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Fonction racine n-ième
Soit $n \in \mathbb{R}^*$. La fonction $x \mapsto x^n$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$. Elle réalise donc une bijection de $\mathbb{R}^+$ sur $\mathbb{R}^+$.
Sa fonction réciproque est appelée fonction racine $n$-ième, notée $\mathbf{\sqrt[n]{x}}$ ou $x^{\frac{1}{n}}$.
[Règles de calcul]
Pour tous réels positifs $a$ and $b$, et pour tous entiers $n, p \in \mathbb{N}^*$ :
- $\sqrt[n]{a^p} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^p$
- $\sqrt[n]{\sqrt[p]{a}} = \sqrt[np]{a}$
- $\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$
- $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} (b \neq 0)$
- $\sqrt[n]{a} \times \sqrt[p]{a} = \sqrt[np]{a^{n+p}}$
[Application]
- Simplifier l'expression numérique suivante : $A = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt[3]{3} \times \sqrt[6]{9}}{\sqrt[4]{81}}$
- Comparer les deux nombres réels suivants : $5\sqrt{3}$ et $3\sqrt{2}$ (à l'aide des racines $15$-ièmes).