Rappels et Outils Vectoriels fondamentaux
Colinéarité de deux vecteurs et déterminants extraits
Soient deux vecteurs $\Vect{u} \begin{pmatrix} x
y
z \end{pmatrix}$ et $\Vect{v} \begin{pmatrix} x'
y'
z' \end{pmatrix}$ dans l'espace. On appelle déterminants extraits de $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ les trois déterminants d'ordre 2 suivants : \[ \Delta_x = \begin{vmatrix} y & y'
z & z' \end{vmatrix} = yz' – y'z, \Delta_y = \begin{vmatrix} x & x'
z & z' \end{vmatrix} = xz' – zx', \Delta_z = \begin{vmatrix} x & x'
y & y' \end{vmatrix} = xy' – yx' \]
y
z \end{pmatrix}$ et $\Vect{v} \begin{pmatrix} x'
y'
z' \end{pmatrix}$ dans l'espace. On appelle déterminants extraits de $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ les trois déterminants d'ordre 2 suivants : \[ \Delta_x = \begin{vmatrix} y & y'
z & z' \end{vmatrix} = yz' – y'z, \Delta_y = \begin{vmatrix} x & x'
z & z' \end{vmatrix} = xz' – zx', \Delta_z = \begin{vmatrix} x & x'
y & y' \end{vmatrix} = xy' – yx' \]
[Critère de colinéarité]
Deux vecteurs $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ sont colinéaires si et seulement si tous leurs déterminants extraits sont nuls :
\[
\Vect{u} \text{ et } \Vect{v} \text{ sont colinéaires} \iff \Delta_x = 0, \ \Delta_y = 0 \text{ et } \Delta_z = 0
\]
[01]
Soient les points $A \begin{pmatrix} -1
1
3 \end{pmatrix}$, $B \begin{pmatrix} 3
2
1 \end{pmatrix}$, $C \begin{pmatrix} -2
-3
6 \end{pmatrix}$ et $D \begin{pmatrix} 6
-1
2 \end{pmatrix}$. Montrer que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
1
3 \end{pmatrix}$, $B \begin{pmatrix} 3
2
1 \end{pmatrix}$, $C \begin{pmatrix} -2
-3
6 \end{pmatrix}$ et $D \begin{pmatrix} 6
-1
2 \end{pmatrix}$. Montrer que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
Déterminant de trois vecteurs et coplanarité
Soient trois vecteurs $\Vect{u}\begin{pmatrix} x
y
z \end{pmatrix}$, $\Vect{v}\begin{pmatrix} x'
y'
z' \end{pmatrix}$ et $\Vect{w}\begin{pmatrix} x''
y''
z'' \end{pmatrix}$. Le déterminant de $(\Vect{u}; \Vect{v}; \Vect{w})$ est défini par : \[ \det(\Vect{u}; \Vect{v}; \Vect{w}) = \begin{vmatrix} x & x' & x''
y & y' & y''
z & z' & z'' \end{vmatrix} = x \begin{vmatrix} y' & y''
z' & z'' \end{vmatrix} – y \begin{vmatrix} x' & x''
z' & z'' \end{vmatrix} + z \begin{vmatrix} x' & x''
y' & y'' \end{vmatrix} \]
y
z \end{pmatrix}$, $\Vect{v}\begin{pmatrix} x'
y'
z' \end{pmatrix}$ et $\Vect{w}\begin{pmatrix} x''
y''
z'' \end{pmatrix}$. Le déterminant de $(\Vect{u}; \Vect{v}; \Vect{w})$ est défini par : \[ \det(\Vect{u}; \Vect{v}; \Vect{w}) = \begin{vmatrix} x & x' & x''
y & y' & y''
z & z' & z'' \end{vmatrix} = x \begin{vmatrix} y' & y''
z' & z'' \end{vmatrix} – y \begin{vmatrix} x' & x''
z' & z'' \end{vmatrix} + z \begin{vmatrix} x' & x''
y' & y'' \end{vmatrix} \]
[Coplanarité]
Trois vecteurs $\Vect{u}$, $\Vect{v}$ et $\Vect{w}$ sont coplanaires si et seulement si leur déterminant est nul :
\[
\Vect{u}, \Vect{v}, \Vect{w} \text{ sont coplanaires} \iff \det(\Vect{u}; \Vect{v}; \Vect{w}) = 0
\]
Produit Scalaire dans l’Espace
Définition par projection orthogonale
Soient $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ deux vecteurs non nuls tels que $\Vect{u} = \Vect{AB}$ et $\Vect{v} = \Vect{AC}$. Soit $H$ le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(AB)$.
- Si $\Vect{AB}$ et $\Vect{AH}$ ont le même sens : $\Vect{u} \cdot \Vect{v} = AB \times AH$.
- Si $\Vect{AB}$ et $\Vect{AH}$ ont un sens opposé : $\Vect{u} \cdot \Vect{v} = – AB \times AH$.
Équation cartésienne d’un plan et distance d’un point
Un plan $(P)$ passant par un point $A$ et de vecteur normal non nul $\Vect{n}\begin{pmatrix} a
b
c \end{pmatrix}$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ de l'espace tels que $\Vect{AM} \cdot \Vect{n} = 0$. Son équation cartésienne est de la forme : \[ (P) : ax + by + cz + d = 0, \text{où } d \in \R \]
b
c \end{pmatrix}$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ de l'espace tels que $\Vect{AM} \cdot \Vect{n} = 0$. Son équation cartésienne est de la forme : \[ (P) : ax + by + cz + d = 0, \text{où } d \in \R \]
[Distance d'un point à un plan]
La distance d'un point $A(x_A; y_A; z_A)$ au plan $(P) : ax + by + cz + d = 0$ est donnée par la formule :
\[
d(A, (P)) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}
\]
Équation cartésienne d’une sphère
L'équation cartésienne d'une sphère $(S)$ de centre $\Omega(a;b;c)$ et de rayon $R$ est :
\[
(S) : (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2
\]
Elle peut aussi se développer sous la forme généralisée : $x^2 + y^2 + z^2 + Ax + By + Cz + D = 0$.
Produit Vectoriel dans l’Espace
Définition et propriétés analytiques
Le produit vectoriel de deux vecteurs $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$, noté $\Vect{u} \wedge \Vect{v}$, est un troisième vecteur $\Vect{w}$ défini de la manière suivante :
- Si $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ sont colinéaires, alors $\Vect{u} \wedge \Vect{v} = \Vect{0}$.
- Si $\Vect{u}$ et $\Vect{v}$ ne sont pas colinéaires, $\Vect{u} \wedge \Vect{v}$ est orthogonal à la fois à $\Vect{u}$ et à $\Vect{v}$, et la base $(\Vect{u}, \Vect{v}, \Vect{u}\wedge\Vect{v})$ est directe.
[Calcul analytique]
Exprimé à l'aide des déterminants extraits, le produit vectoriel s'écrit :
\[
\Vect{u} \wedge \Vect{v} = \begin{vmatrix} y & y'
z & z' \end{vmatrix} \Vect{i} – \begin{vmatrix} x & x'
z & z' \end{vmatrix} \Vect{j} + \begin{vmatrix} x & x'
y & y' \end{vmatrix} \Vect{k} \]
z & z' \end{vmatrix} \Vect{i} – \begin{vmatrix} x & x'
z & z' \end{vmatrix} \Vect{j} + \begin{vmatrix} x & x'
y & y' \end{vmatrix} \Vect{k} \]
Applications géométriques du produit vectoriel
[Calcul d'aires]
Soit $ABC$ un triangle non aplati.
- L'aire du triangle $ABC$ est donnée par : \[ \mathcal{A}_{ABC} = \frac{1}{2} \Norme{\Vect{AB} \wedge \Vect{AC}} \]
- L'aire du parallélogramme construit sur les vecteurs $\Vect{AB}$ et $\Vect{AC}$ est : \[ \mathcal{A}_{\text{parallélogramme}} = \Norme{\Vect{AB} \wedge \Vect{AC}} \]
Distances et Intersections
[Distance d'un point à une droite]
Soit $(D)$ la droite passant par le point $A$ et dirigée par le vecteur non nul $\Vect{u}$. La distance d'un point quelconque $M$ à la droite $(D)$ est calculée par :
\[
d(M, (D)) = \frac{\Norme{\Vect{AM} \wedge \Vect{u}}}{\Norme{\Vect{u}}}
\]
[Intersection de deux plans]
Soient $(P)$ et $(Q)$ deux plans non parallèles de vecteurs normaux respectifs $\Vect{n}$ et $\Vect{n'}$. Les deux plans se coupent suivant une droite $(D)$ si et seulement si $\Vect{n} \wedge \Vect{n'} \neq \Vect{0}$. Le vecteur $\Vect{u}_D = \Vect{n} \wedge \Vect{n'}$ constitue alors un vecteur directeur de leur droite d'intersection $(D)$.