Notion de primitive
Définition fondamentale
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$.
On appelle fonction primitive de $f$ sur $I$, toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que :
\[ \forall x \in I, F'(x) = f(x) \]
Considérons les fonctions $f$ et $F$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
\[ f(x) = 2x + 3 \text{et} F(x) = x^2 + 3x – 1 \]
La fonction $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on constate que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $F'(x) = 2x + 3 = f(x)$. On dit alors que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Ensemble des primitives et condition initiale
Si $f$ admet une primitive $F$ sur un intervalle $I$, alors toute autre primitive $G$ de $f$ sur $I$ est de la forme :
\[ G(x) = F(x) + C \text{où } C \in \mathbb{R} \]
[Condition initiale]
Soit $f$ une fonction admettant des primitives sur $I$. Soient $x_0 \in I$ et $y_0 \in \mathbb{R}$.
Il existe une unique primitive $F_0$ de $f$ sur $I$ telle que :
\[ F_0(x_0) = y_0 \]
Lien avec la continuité
[Condition d'existence]
Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des fonctions primitives sur cet intervalle.
Opérations et tableaux des fonctions primitives
Primitives des fonctions usuelles
Primitives et opérations de composition
Exercices d’application résolus (Cas du support)
Déterminer les fonctions primitives de la fonction $f$ dans les cas suivants :
- $f(x) = \sqrt{x}$ sur $I = ]0, +\infty[$.
- $f(x) = \dfrac{4x^3+2x}{\sqrt{x^4+x^2+1}}$ sur $I = \mathbb{R}$.
- $f(x) = \cos(x) \cdot \cos(2x)$ (en utilisant la linéarisation).
- $f(x) = \dfrac{x}{(x+2)^4}$ sur $I = ] -2, +\infty [$.