Introduction et Définition de la fonction $\ln$
Activité et fondement
Définition fondamentale
La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est l'unique fonction primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0, +\infty[$ qui s'annule en $1$.
\[ \forall x \in ]0, +\infty[, \ln'(x) = \frac{1}{x} \text{et} \ln(1) = 0 \]
Conséquences immédiates : Dérivabilité et Monotonie
- La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0, +\infty[$.
- Pour tout $x \in ]0, +\infty[$, $\ln'(x) = \frac{1}{x} > 0$. Par conséquent, la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$.
Signe de la fonction $\ln$
Propriétés algébriques de la fonction $\ln$
[Propriété fondamentale]
Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$ :
\[ \ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b) \]
[Propriétés secondaires]
Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$, et pour tout $r \in \mathbb{Q}$ :
- Logarithme de l'inverse : $\ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln(a)$
- Logarithme d'un quotient : $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln(a) – \ln(b)$
- Logarithme d'une puissance : $\ln(a^r) = r\ln(a)$
- Logarithme de la racine carrée : $\ln(\sqrt{a}) = \dfrac{1}{2}\ln(a)$
Limites de référence et croissances comparées
\[ \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty \text{et} \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \]
Limites de croissances comparées et limites remarquables
Pour tout entier naturel non nul $n \in \mathbb{N}^*$ :
- $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^n} = 0$
- $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$
- $\lim_{x \to 1} \dfrac{\ln(x)}{x – 1} = 1$
- $\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1$
Dérivée de la forme $\ln(u(x))$
Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$, alors la fonction $f(x) = \ln(u(x))$ est dérivable sur $I$ et sa fonction dérivée est donnée par :
\[ f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} \]
Si $u$ est dérivable et ne s'annule pas sur $I$, une primitive de la fonction $x \mapsto \frac{u'(x)}{u(x)}$ est la fonction $x \mapsto \ln(|u(x)|)$.
Fonction logarithme de base $a$ ($a \in ]0,1[\,\cup\,]1,+\infty[$)
Soit $a$ un réel strictement positif différent de $1$.
La fonction logarithme de base $a$, notée $\log_a$, est la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par :
\[ \log_a(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(a)} \]
[Cas particulier]
Si $a = 10$, la fonction est appelée logarithme décimal et est simplement notée $\log$. On note également la constante d'Euler $e$ telle que $\log_e(x) = \ln(x)$ car $\ln(e) = 1$.
Pour tout réel $r \in \mathbb{Q}$ et pour la base $10$ :
\[ \log(10^r) = r \cdot \log(10) = r \]
Exercices d’application (Résolution du support)
- Montrer que pour tous $a, b \in ]1, +\infty[$ : $\log_a(b) = \dfrac{1}{\log_b(a)}$.
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ les deux équations suivantes :
- $(E): \log_3(2x)\big(\log_5(x) – 1\big) = 0$
- $(F): \log_2(x) = \log_x(2)$