Équations différentielles de premier ordre : $y^{\prime}=ay+b$
Définitions et propriétés
L'équation $(E) : y^{\prime}=ay+b$, où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles, est appelée équation différentielle linéaire d'ordre 1. La fonction inconnue est notée $y$ et sa fonction dérivée est $y^{\prime}$.
On appelle solution de l'équation $(E)$, toute fonction $f$ dérivable qui vérifie pour tout réel $x$ : $f^{\prime}(x)=af(x)+b$.
Résolution de l’équation $(E) : y^{\prime}=ay+b$
- Les solutions de l'équation $y^{\prime}=ay$ sont les fonctions $y$ définies sur $\mathbb{R}$ par : \[ y(x)=ke^{ax} \text{où } k \in \mathbb{R} \]
- Les solutions de l'équation $y^{\prime}=ay+b$ (avec $a \neq 0$) sont les fonctions $y$ définies sur $\mathbb{R}$ par : \[ y(x)=ke^{ax}-\frac{b}{a} \text{où } k \in \mathbb{R} \]
Soient $x_{0} \in \mathbb{R}$ et $y_{0} \in \mathbb{R}$. Il existe une solution unique $y$ de $(E)$ qui vérifie la condition initiale :
\[ y(x_{0})=y_{0} \]
Équations différentielles du second ordre : $y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=0$
L'équation $(E) : y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=0$, où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles, est appelée équation différentielle linéaire du second ordre. La fonction inconnue est $y$, sa dérivée première est $y'$ et sa dérivée d'ordre 2 est $y''$.
L'équation du second degré $r^{2}+ar+b=0$ est appelée l'équation caractéristique associée à l'équation $(E) : y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=0$.
Résolution de $(E) : y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=0$
- Cas 1 : $\Delta>0$
L'équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes $r_{1}$ et $r_{2}$. Les solutions de l'équation $(E)$ sont les fonctions $y$ définies sur $\mathbb{R}$ par : \[ y(x)=\alpha e^{r_{1}x}+\beta e^{r_{2}x} \text{où } \alpha, \beta \in \mathbb{R} \] - Cas 2 : $\Delta=0$
L'équation caractéristique admet une solution réelle unique $r_{0} = -\frac{a}{2}$. Les solutions de l'équation $(E)$ sont les fonctions $y$ définies sur $\mathbb{R}$ par : \[ y(x)=(\alpha x+\beta)e^{r_{0}x} \text{où } \alpha, \beta \in \mathbb{R} \] - Cas 3 : $\Delta<0$
L'équation caractéristique admet deux solutions complexes conjuguées $z_{1}=p+iq$ et $z_{2}=\overline{z_{1}} = p-iq$. Les solutions de l'équation $(E)$ sont les fonctions $y$ définies sur $\mathbb{R}$ par : \[ y(x)=\big(\alpha \cos(qx)+\beta \sin(qx)\big)e^{px} \text{où } \alpha, \beta \in \mathbb{R} \]
Série d’exercices
- Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E_{1}) : y^{\prime\prime}-3y^{\prime}+2y=0$.
- Déterminer la fonction $f$ solution de $(E_{1})$ qui vérifie $f(0)=3$ et $f^{\prime}(0)=8$.