Dérivabilité d’une fonction numérique
Dérivabilité en un point
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert contenant un réel $x_0$.
On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ s'il existe un réel $l$ tel que :
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} = l \left(\text{ou } \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) – f(x_0)}{h} = l\right) \]
Le nombre $l$ est appelé nombre dérivé de $f$ en $x_0$ et est noté $f'(x_0)$.
Interprétation géométrique et tangente
Si $f$ est dérivable en $x_0$, sa courbe représentative $(\mathcal{C}_f)$ admet au point $A(x_0, f(x_0))$ une tangente $(T)$ non verticale d'équation cartésienne :
\[ (T) : y = f'(x_0)(x – x_0) + f(x_0) \]
Dérivabilité à droite et à gauche
- $f$ est dérivable à droite en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} = l_d \in \mathbb{R}$. On note $f'_d(x_0) = l_d$.
- $f$ est dérivable à gauche en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} = l_g \in \mathbb{R}$. On note $f'_g(x_0) = l_g$.
$f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche en $x_0$ et $f'_d(x_0) = f'_g(x_0)$.
[Demi-tangente verticale]
Si $\lim_{x \to x_0^{\pm}} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} = \pm \infty$, la fonction $f$ n'est pas dérivable en $x_0$. La courbe $(\mathcal{C}_f)$ admet alors une demi-tangente verticale au point $A(x_0, f(x_0))$.
Dérivabilité de la fonction réciproque
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. Si $f$ est dérivable en $x_0 \in I$ et $f'(x_0) \neq 0$, alors sa fonction réciproque $f^{-1}$ est dérivable en $y_0 = f(x_0)$ et on a :
\[ (f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'\big(f^{-1}(y_0)\big)} \]
[Application]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^+$ par $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$.
- Montrer que $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ définie sur un intervalle $J$ à déterminer.
- Calculer $f(\sqrt{3})$, puis montrer que $f^{-1}$ est dérivable en $2$ et calculer $(f^{-1})'(2)$.
Opérations et applications de la dérivation
Tableau des fonctions usuelles et opérations
Monotonie et Extremums
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
- Si $f'(x) \ge 0$ sur $I$, alors $f$ est croissante sur $I$.
- Si $f'(x) \le 0$ sur $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.
- Si $f'(x) = 0$ sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.
Étude des branches infinies
Asymptotes verticales et horizontales
- Si $\lim_{x \to a^{\pm}} f(x) = \pm\infty$, alors la droite d'équation $\mathbf{x = a}$ est une asymptote verticale à $(\mathcal{C}_f)$.
- Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$, alors la droite d'équation $\mathbf{y = b}$ est une asymptote horizontale à $(\mathcal{C}_f)$ au voisinage de $\pm\infty$.
Asymptotes obliques et directions asymptotiques
La droite d'équation $y = ax + b$ ($a \neq 0$) est une asymptote oblique à $(\mathcal{C}_f)$ au voisinage de $+\infty$ si et seulement si :
\[ \lim_{x \to +\infty} \big[f(x) – (ax+b)\big] = 0 \]
[Algorithme de recherche des branches infinies en $\pm\infty$]
On calcule en premier lieu $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$ :
- Si $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \pm\infty$ : $(\mathcal{C}_f)$ admet une branche parabolique de direction $(Oy)$.
- Si $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ : $(\mathcal{C}_f)$ admet une branche parabolique de direction $(Ox)$.
- Si $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = a$ ($a \neq 0$), on étudie $\lim_{x \to \pm\infty} \big[f(x) – ax\big]$ :
- Si $\lim_{x \to \pm\infty} \big[f(x) – ax\big] = b \in \mathbb{R}$ : Asymptote oblique $y = ax+b$.
- Si $\lim_{x \to \pm\infty} \big[f(x) – ax\big] = \pm\infty$ : Branche parabolique de direction la droite $y = ax$.
Éléments de symétrie d’une courbe
Axe de symétrie
La droite $(D) : x = a$ est un axe de symétrie de la courbe $(\mathcal{C}_f)$ si et seulement si pour tout $x \in D_f$ :
\[ (2a – x) \in D_f \text{et} f(2a – x) = f(x) \]
Centre de symétrie
Le point $\Omega(a, b)$ est un centre de symétrie de la courbe $(\mathcal{C}_f)$ si et seulement si pour tout $x \in D_f$ :
\[ (2a – x) \in D_f \text{et} f(2a – x) + f(x) = 2b \]
[Application]
Soit $f$ la fonction définie sur $]-\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}[$ par $f(x) = \frac{\cos x}{1 + \sin x}$.
Montrer que le point $A\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$ est un centre de symétrie de la courbe $(\mathcal{C}_f)$.
Montrer que le point $A\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$ est un centre de symétrie de la courbe $(\mathcal{C}_f)$.