DÉNOMBREMENTS
Parties d’un ensemble
Soit $E$ un ensemble fini et soit $A$ une partie de $E$.
- Le nombre d'éléments de $A$ est appelé le cardinal de $A$, noté $\Card(A)$.
- L'ensemble qui ne contient aucun élément est l'ensemble vide, noté $\emptyset$. On a $\Card(\emptyset) = 0$.
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$.
- L'ensemble formé des éléments qui sont soit dans $A$, soit dans $B$ (ou dans les deux) est noté $A \cup B$. On dit que c'est la réunion de $A$ et $B$.
- L'ensemble formé des éléments qui sont à la fois dans $A$ et dans $B$ est noté $A \cap B$. On dit que c'est l' intersection de $A$ et $B$.
- Si tous les éléments de $A$ sont aussi des éléments de $B$, on dit que $A$ est inclus dans $B$, noté $A \subset B$.
- Si $A \cap B = \emptyset$, on dit que $A$ et $B$ sont disjoints.
L'ensemble des éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$ est noté $\overline{A}$. C'est le complémentaire de l'ensemble $A$ dans $E$. On a :
\[
A \cup \overline{A} = E \text{et} A \cap \overline{A} = \emptyset
\]
Soient $A_1, A_2, \dots, A_p$ des parties de $E$. On dit qu'elles constituent une partition de $E$ si elles sont deux à deux disjointes ($A_i \cap A_j = \emptyset$ pour tout $i \neq j$) et que leur réunion est égale à $E$ ($\bigcup_{i=1}^p A_i = E$).
Principe de la somme
Si $A_1, A_2, \dots, A_p$ constituent une partition d'un ensemble fini $E$, alors :
\[
\Card(A_1) + \Card(A_2) + \dots + \Card(A_p) = \Card(E)
\]
Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble fini $E$ :
- Si $A$ et $B$ sont disjoints, alors : $\Card(A \cup B) = \Card(A) + \Card(B)$
- Si $A$ et $B$ sont quelconques, alors : $\Card(A \cup B) = \Card(A) + \Card(B) – \Card(A \cap B)$
Principe Fondamental du Dénombrement (Principe produit)
Soit un choix global qui se décompose en $p$ choix élémentaires successifs. Si le premier choix offre $n_1$ possibilités, le deuxième $n_2$ possibilités, \dots, et le $p$-ième choix offre $n_p$ possibilités, alors le nombre total de choix globaux est donné par :
\[
n_1 \times n_2 \times \dots \times n_p
\]
L'ordre des choix est ici important.
Soit l'ensemble $E = \{1; 2; 3\}$. Combien de nombres de trois chiffres appartenant à $E$ peut-on construire ?
Arrangement – Permutation – Combinaison
Arrangement sans répétition
Un arrangement sans répétition de $p$ éléments parmi $n$ ($p \le n$) est une $p$-liste ordonnée d'éléments distincts choisis parmi les $n$ objets. Le nombre d'arrangements de $p$ parmi $n$ est noté $A_n^p$.
Le nombre total de possibilités est donné par :
\[
A_n^p = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times (n-p+1) = \frac{n!}{(n-p)!}
\]
Permutation sans répétition
On appelle permutation de $n$ éléments tout arrangement de $n$ éléments parmi $n$. Le nombre de permutations sans répétition est :
\[
A_n^n = \frac{n!}{(n-n)!} = \frac{n!}{0!} = n!
\]
Combinaison sans répétition
On appelle combinaison de $p$ éléments parmi $n$ éléments toute partie à $p$ éléments de cet ensemble. L'ordre n'intervient pas. Le nombre de combinaisons est noté $C_n^p$ et défini par :
\[
C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}
\]
[Formules des combinaisons]
Pour tout $p \le n$, on a :
\[
A_n^p = p! \, C_n^p \iff C_n^p = \frac{A_n^p}{p!} = \frac{n!}{p!(n-p)!}
\]
\begin{tabular}{lll}
$\bullet \ C_n^0 = 1$ & $\bullet \ C_n^n = 1$ & $\bullet \ C_n^1 = n$
$\bullet \ C_n^{n-1} = n$ & $\bullet \ C_n^p = C_n^{n-p}$ & $\bullet \ C_{n-1}^{p-1} + C_{n-1}^p = C_n^p$ (Relation de Pascal) \end{tabular}
$\bullet \ C_n^{n-1} = n$ & $\bullet \ C_n^p = C_n^{n-p}$ & $\bullet \ C_{n-1}^{p-1} + C_{n-1}^p = C_n^p$ (Relation de Pascal) \end{tabular}
Une urne contient 4 boules blanches, 3 boules noires et 2 boules rouges.
Exercice 1 : On tire 3 boules simultanément.
Exercice 2 : Le tirage se fait successivement et sans remise.
Exercice 3 : Le tirage se fait successivement et avec remise.
Pour chacun des trois types de tirages, dénombrer :
Exercice 1 : On tire 3 boules simultanément.
Exercice 2 : Le tirage se fait successivement et sans remise.
Exercice 3 : Le tirage se fait successivement et avec remise.
Pour chacun des trois types de tirages, dénombrer :
- Le nombre de résultats possibles.
- Le nombre de tirages contenant 3 boules de même couleur.
- Le nombre de tirages contenant 2 boules blanches et une noire.
- Le nombre de tirages contenant 2 boules blanches et une de couleur différente.
- Le nombre de tirages contenant 2 boules de même couleur et l'autre de couleur différente.
- Le nombre de tirages contenant 3 boules de couleurs différentes deux à deux.
- Le nombre de tirages contenant au moins une boule blanche.
- Le nombre de tirages contenant au plus une boule blanche.
LE JARGON DES PROBABILITÉS
Expérience aléatoire – Notion d’événement
Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est imprévisible bien que les conditions initiales soient définies.
- L'ensemble de tous les résultats possibles est appelé l'Univers, noté généralement $\Omega$.
- Un élément de cet ensemble est une issue (ou éventualité).
On appelle événement toute partie de l'univers $\Omega$.
- L'événement qui contient toutes les issues ($\Omega$) est l'événement certain.
- L'ensemble vide ($\emptyset$) est l'événement impossible.
- Tout événement réduit à une seule issue $\{\omega\}$ est un événement élémentaire.
Pour l'expérience précédente du lancer de deux dés, déterminer les ensembles associés aux événements :
- $A_1$ : « Le premier dé affiche le numéro 1 »
- $A_2$ : « La somme des deux numéros obtenus est égale à 4 »
- $A_3$ : « Le produit des numéros est égal à 18 »
- $A_4$ : « La somme des deux numéros obtenus est égale à 1 »
[Opérations sur les événements]
Soient $A$ et $B$ deux événements d'un univers $\Omega$.
- L'événement « $A$ et $B$ » est réalisé si $A$ et $B$ se réalisent simultanément, noté $A \cap B$.
- L'événement « $A$ ou $B$ » est réalisé si au moins l'un des deux événements se réalise, noté $A \cup B$.
- L'événement « non $A$ » est réalisé si $A$ ne se réalise pas, noté $\overline{A}$ (événement contraire).
- Deux événements sont dits incompatibles (ou disjoints) s'ils ne peuvent pas être réalisés en même temps : $A \cap B = \emptyset$.
Correspondance des langages
PROBABILITÉ D’UN ÉVÉNEMENT
Loi de probabilité sur un ensemble fini
Soit $\Omega = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}$ un univers fini. Définir une loi de probabilité sur $\Omega$, c'est associer à chaque événement élémentaire $\{a_i\}$ un nombre réel $p_i = p(\{a_i\})$ tel que :
\[
0 \le p_i \le 1 \text{et} \sum_{i=1}^n p_i = p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1
\]
\small
\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline
Ensemble & Vocabulaire & Propriété analytique
\hline $A$ & Événement quelconque & $0 \le p(A) \le 1$
\hline $\emptyset$ & Événement impossible & $p(\emptyset) = 0$
\hline $\Omega$ & Événement certain & $p(\Omega) = 1$
\hline $A \cap B = \emptyset$ & $A$ et $B$ incompatibles & $p(A \cup B) = p(A) + p(B)$
\hline $\overline{A}$ & Événement contraire & $p(\overline{A}) = 1 – p(A)$
\hline $A, B$ & Événements quelconques & $p(A \cup B) = p(A) + p(B) – p(A \cap B)$
\hline \end{tabular}
\hline $A$ & Événement quelconque & $0 \le p(A) \le 1$
\hline $\emptyset$ & Événement impossible & $p(\emptyset) = 0$
\hline $\Omega$ & Événement certain & $p(\Omega) = 1$
\hline $A \cap B = \emptyset$ & $A$ et $B$ incompatibles & $p(A \cup B) = p(A) + p(B)$
\hline $\overline{A}$ & Événement contraire & $p(\overline{A}) = 1 – p(A)$
\hline $A, B$ & Événements quelconques & $p(A \cup B) = p(A) + p(B) – p(A \cap B)$
\hline \end{tabular}
On considère l'ensemble $E$ des entiers de 20 à 40. On choisit l'un de ces nombres au hasard.
Soit $A$ : « le nombre est multiple de 3 », $B$ : « le nombre est multiple de 2 » et $C$ : « le nombre est multiple de 6 ».
Calculer $p(A)$, $p(B)$, $p(C)$, $p(A \cap B)$, $p(A \cup B)$, $p(A \cap C)$ et $p(A \cup C)$.
Soit $A$ : « le nombre est multiple de 3 », $B$ : « le nombre est multiple de 2 » et $C$ : « le nombre est multiple de 6 ».
Calculer $p(A)$, $p(B)$, $p(C)$, $p(A \cap B)$, $p(A \cup B)$, $p(A \cap C)$ et $p(A \cup C)$.
Hypothèse d’équiprobabilité
On dit qu'il y a équiprobabilité quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité d'être réalisés. Dans ce cas, pour tout événement $A$ :
\[
p(A) = \frac{\Card(A)}{\Card(\Omega)} = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}}
\]
Exercice 1 : On lance deux fois de suite un dé équilibré.
- Représenter dans un tableau les 36 issues équiprobables.
- Calculer la probabilité des événements : $A$ : « on obtient un double » ; $B$ : « on obtient 2 numéros consécutifs » ; $C$ : « on obtient au moins un 6 » ; $D$ : « la somme des numéros dépasse 7 ».
- Dresser la liste des issues équiprobables.
- Quel est l'événement le plus probable entre $A$ et $B$ ?
$A$ : « obtenir 2 piles et 2 faces » et $B$ : « obtenir 3 piles et 1 face ou 3 faces et 1 pile ».
- Quel est l'ensemble des issues possibles ?
- Soit $X$ l'application qui associe à chaque issue le gain correspondant.
a) Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
b) Quelle est la probabilité de l'événement « obtenir un gain de 3 DH », notée $p(X=3)$ ?
- trois fois le même chiffre.
- deux fois le même chiffre et un troisième différent.
- trois chiffres différents.
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
Soit $A$ un événement de probabilité non nulle ($p(A) > 0$). Pour tout événement $B$, la probabilité conditionnelle de $B$ sachant que $A$ est réalisé, notée $p_A(B)$ ou $p(B|A)$, est le nombre :
\[
p_A(B) = \frac{p(A \cap B)}{p(A)}
\]
Pour tous événements $A$ et $B$ de probabilités non nulles, on a :
\[
p(A \cap B) = p(A) \times p_A(B) = p(B) \times p_B(A)
\]
\[
p_A(B) = p_B(A) \times \frac{p(B)}{p(A)} \text{(Formule de Bayes)}
\]
Formule des Probabilités Totales
Soit $(A_1, A_2, \dots, A_n)$ un système complet d'événements (une partition de $\Omega$). Pour tout événement $B \subset \Omega$, on a la formule des probabilités totales :
\[
p(B) = p(B \cap A_1) + p(B \cap A_2) + \dots + p(B \cap A_n)
\]
Si de plus, pour tout $i$, $p(A_i) \neq 0$, alors :
\[
p(B) = p_{A_1}(B)p(A_1) + p_{A_2}(B)p(A_2) + \dots + p_{A_n}(B)p(A_n)
\]
[Corollaire]
Pour tout événement $A$ tel que $0 < p(A) < 1$ et pour tout événement $B$, on a :
\[
p(B) = p(B \cap A) + p(B \cap \overline{A}) = p_A(B)p(A) + p_{\overline{A}}(B)p(\overline{A})
\]
On considère 3 urnes $U_1, U_2$ et $U_3$.
- $U_1$ contient 4 boules blanches et 1 noire.
- $U_2$ contient 2 boules blanches et 2 noires.
- $U_3$ contient 3 boules blanches et 1 noire.
L’INDÉPENDANCE
Indépendance de deux événements
On dit que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas celle de l'autre. Mathématiquement, cela se traduit par :
\[
p(A \cap B) = p(A) \times p(B)
Épreuves indépendantes et répétition d’une épreuve
Il y a répétition d'épreuves identiques et indépendantes lorsque la même expérience est réitérée plusieurs fois de suite, et que l'issue de l'une quelconque d'entre elles ne dépend pas des résultats des précédentes.
[Loi binomiale]
Soit $A$ un événement de probabilité $p$ au cours d'une épreuve aléatoire. Si l'on répète cette épreuve $n$ fois de manières identiques et indépendantes, la probabilité que l'événement $A$ soit réalisé exactement $k$ fois ($0 \le k \le n$) est donnée par :
\[
C_n^k \, p^k \, (1-p)^{n-k}
\]
Les variables aléatoires
Soit $\Omega$ l'univers lié à une expérience aléatoire. Une variable aléatoire réelle $X$ est une application définie de $\Omega$ dans $\R$. L'ensemble des valeurs prises par $X$, noté $X(\Omega)$, s'appelle le support de la variable $X$.
[Loi de probabilité]
Soit $X$ une variable aléatoire sur un univers fini. Définir la loi de probabilité de $X$, c'est déterminer l'ensemble des couples $(x_i, p_i)$ où $x_i \in X(\Omega)$ et $p_i = p(X = x_i)$, en vérifiant que $\sum p_i = 1$.
ESPÉRANCE – VARIANCE – ÉCART-TYPE
Espérance mathématique
Soit $X$ une variable aléatoire telle que $X(\Omega) = \{x_1, x_2, \dots, x_n\}$ avec $p_i = p(X = x_i)$. L' espérance mathématique de $X$ est le nombre réel défini par :
\[
E(X) = \sum_{i=1}^n x_i \, p(X = x_i) = x_1p_1 + x_2p_2 + \dots + x_np_n
\]
Variance et Écart-type
La variance de $X$, notée $V(X)$, est le nombre réel positif défini par :
\[
V(X) = E\left[(X – E(X))^2\right] = \sum_{i=1}^n p_i \, (x_i – E(X))^2
Le binôme de Newton
Pour tout $n \in \N^*$ et pour tous réels $a$ et $b$, on a :
\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k \, a^k \, b^{n-k}
\]