À la fin de cette première version du chapitre Théorème des Accroissements Finis (TAF), l'élève de 2ème Bac Sciences Mathématiques B doit être capable de :
- Vérifier les hypothèses du TAF, obtenir un point intermédiaire et en déduire une majoration ou une inégalité
- identifier les données, les notations et les conditions propres au chapitre Théorème des accroissements finis (TAF)
- rédiger une solution structurée et vérifier la cohérence du résultat obtenu
- Situer le chapitre Théorème des Accroissements Finis (TAF) et vérifier les prérequis.
- Comprendre les définitions et les résultats indispensables.
- Appliquer une méthode explicite à une situation standard.
- Étudier un exemple corrigé en contrôlant chaque étape.
- S'entraîner puis comparer sa démarche aux réponses courtes.
I.THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS (TAF)
Cette page constitue un socle de travail consacré au chapitre Théorème des Accroissements Finis (TAF) pour le parcours 2ème Bac Sciences Mathématiques B. Elle présente les notions qui permettent de commencer les exercices sans remplacer le cours détaillé, les activités de classe ni la correction argumentée par un enseignant.
Prérequis utiles : Continuité sur un segment, Dérivabilité sur un intervalle ouvert, Calcul de dérivées et valeur absolue. Avant de poursuivre, l'élève doit vérifier qu'il sait reconnaître les données, employer les notations du chapitre et effectuer les calculs élémentaires associés.
La lecture conseillée est progressive : comprendre d'abord les objets mathématiques, repérer ensuite les conditions des propriétés, reproduire l'exemple sans regarder la solution, puis traiter les questions de vérification. Une formule ne doit jamais être appliquée sans contrôler ses hypothèses.
1.Définition et vocabulaire
Le chapitre « Théorème des accroissements finis (TAF) » rassemble les objets et les méthodes nécessaires pour vérifier les hypothèses du TAF, obtenir un point intermédiaire et en déduire une majoration ou une inégalité. Un premier repère essentiel est le suivant : Si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, il existe c dans ]a,b[ tel que f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).
Il faut connaître le sens de chaque symbole et préciser l'ensemble dans lequel on travaille. Cette précaution évite les erreurs de domaine, de signe ou d'indice et permet de rédiger une réponse compréhensible.
2.Résultats essentiels
Les résultats suivants forment le noyau minimal à maîtriser. Pour chacun, l'élève doit identifier les conditions d'utilisation avant de commencer les calculs :
- Si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, il existe c dans ]a,b[ tel que f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).
- Le nombre (f(b)-f(a))/(b-a) est la pente de la corde reliant les extrémités.
- Si |f'(x)| ≤ M sur l'intervalle, alors |f(b)-f(a)| ≤ M|b-a|.
- Si f'(x)=0 sur un intervalle, f y est constante.
- Si f'(x)>0 sur un intervalle, f y est strictement croissante.
- Le TAF ne s'applique pas sans contrôle de la continuité aux bornes et de la dérivabilité à l'intérieur.
3.Méthode de résolution
Pour traiter une question standard sur ce chapitre, on peut suivre la démarche suivante :
- reformuler la question afin de déterminer s'il faut vérifier les hypothèses du TAF, obtenir un point intermédiaire et en déduire une majoration ou une inégalité
- relever les données et contrôler les prérequis utiles : Continuité sur un segment, Dérivabilité sur un intervalle ouvert, Calcul de dérivées et valeur absolue
- choisir la propriété adaptée, notamment parmi les repères suivants : Si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, il existe c dans ]a,b[ tel que f(b)-f(a)=f'(c)(b-a). Le nombre (f(b)-f(a))/(b-a) est la pente de la corde reliant les extrémités.
- effectuer le calcul étape par étape, vérifier les conditions, puis interpréter le résultat dans le contexte demandé
4.Exemple corrigé
Énoncé. Appliquer le TAF à f(x)=x² sur [1,3].
Solution. f est continue sur [1,3] et dérivable sur ]1,3[. La pente moyenne vaut (9-1)/(3-1)=4. Comme f'(x)=2x, on résout 2c=4.
Conclusion. c=2, qui appartient bien à ]1,3[.
Pour réutiliser cette démarche, changer les données de l'énoncé et recommencer sans recopier mécaniquement les calculs. La structure du raisonnement reste utile, mais les conditions et le résultat doivent être recalculés.
Dans le parcours 2ème Bac Sciences Mathématiques B, ce chapitre peut être mobilisé de la manière suivante : Justifier une tolérance de fabrication: une borne sur la dérivée d'une grandeur géométrique transforme une tolérance sur la cote en borne sur la variation obtenue.
L'objectif de cette application est de relier la technique mathématique à une situation lisible, sans confondre le modèle et la réalité. Il faut annoncer les variables, expliquer les hypothèses retenues et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
II.S’ENTRAÎNER ET VÉRIFIER
Traiter les trois questions suivantes sur une feuille. Pour chacune, écrire la propriété ou la définition utilisée, détailler le calcul principal et terminer par une conclusion :
- 1. Quelles sont les deux hypothèses régulières du TAF?
- 2. Si |f'|≤3 sur [0,2], que peut-on dire de |f(2)-f(0)|?
- 3. Que déduit-on de f'=0 sur un intervalle?
Réponses courtes.
- 1. Continuité sur [a,b] et dérivabilité sur ]a,b[.
- 2. Il est inférieur ou égal à 6.
- 3. f est constante sur cet intervalle.