I.Généralités sur les suites (Rappel)
À retenir
Soit $n_0$ un entier naturel. On pose $I = \{n \in \mathbb{N} / n \ge n_0\}$ et on considère la suite numérique $(u_n)_{n \ge n_0}$.
1.Suite majorée – Suite minorée – Suite bornée
Définition 1
- On dit que la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que : $(\forall n \in I)\; u_n \le M$
- On dit que la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ est minorée s'il existe un réel $m$ tel que : $(\forall n \in I)\; u_n \ge m$
- On dit que la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
2.Monotonie d’une suite numérique
Définition 2
- On dit que la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ est croissante si : $(\forall n \in I)\; u_{n+1} – u_n \ge 0$
- On dit que la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ est décroissante si : $(\forall n \in I)\; u_{n+1} – u_n \le 0$
- On dit que la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ est constante si : $(\forall n \in I)\; u_{n+1} = u_n$
Remarque
- Si la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ est croissante alors : $(\forall n \in I)\; u_n \ge u_{n_0}$
- Si la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ est décroissante alors : $(\forall n \in I)\; u_n \le u_{n_0}$
3.Suite arithmétique
Définition 3
On dit que la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ (indépendant de $n$) tel que :
\[(\forall n \in I) u_{n+1} – u_n = r\]
Le nombre $r$ est appelé la raison de la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$.Propriété 1
Si la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ est une suite arithmétique de raison $r$ alors pour tout $(n, p) \in I^2$ :
\[u_n = u_p + (n – p)r \text{et} u_p + u_{p+1} + \ldots + u_n = \dfrac{n – p + 1}{2}(u_p + u_n)\]
4.Suite géométrique
Définition 4
On dit que la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ est géométrique s'il existe un réel $q$ (indépendant de $n$) tel que :
\[(\forall n \in I) u_{n+1} = q u_n\]
Le nombre $q$ est appelé la raison de la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$.Propriété 2
Si la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ est une suite géométrique de raison $q \in \mathbb{R}^* – \{1\}$ alors pour tout $(n, p) \in I^2$ :
\[u_n = u_p \cdot q^{n – p} \text{et} u_p + u_{p+1} + \ldots + u_n = u_p \cdot \dfrac{1 – q^{n – p + 1}}{1 – q} (n \ge p)\]
II.Limite d’une suite numérique
1.Suite de limite infinie
Définition 5
- On dit que la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ a pour limite $+\infty$ si tout intervalle de type $]A, +\infty[$, où $A > 0$, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang ; ce qui revient à dire que :
\[(\forall A > 0)\; (\exists N \in \mathbb{N})\; (\forall n \ge N) u_n \in ]A, +\infty[\]On dit alors que la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ diverge vers $+\infty$ et on notera :\[\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty \text{ou} \lim u_n = +\infty\]
- On dit que la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ a pour limite $-\infty$ si tout intervalle de type $]-\infty, -A[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang ; ce qui revient à dire que :
\[(\forall A > 0)\; (\exists N \in \mathbb{N})\; (\forall n \ge N) u_n \in ]-\infty, -A[\]On dit alors que la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ diverge vers $-\infty$ et on notera :\[\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty \text{ou} \lim u_n = -\infty\]
Remarques
- Si $k \in \mathbb{R}^*_+$, alors on a l'implication : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty \implies \lim_{n \to +\infty} k u_n = +\infty$
- On a les équivalences suivantes :
\[\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty \iff \lim_{n \to +\infty} (-u_n) = -\infty ; \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty \iff \lim_{n \to +\infty} (-u_n) = +\infty\]
Exemples
1) On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par :
\[u_n = n^2\]
Montrons que : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$
Soit $A > 0$. On a alors :
\[u_n \in ]A, +\infty[ \iff u_n > A \iff n^2 > A \iff n > \sqrt{A}\]
Posons $N = E(\sqrt{A}) + 1$, d'où $N > \sqrt{A}$ et $N \in \mathbb{N}$.
On a donc :
\[n \ge N \implies n > \sqrt{A} \implies n^2 > A \implies u_n \in ]A, +\infty[\]
Par suite : $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$
2) Soit $(v_n)$ la suite définie par : $v_n = 3 – 2n$
Montrons que : $\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$
Soit $A > 0$. On a alors :
\[v_n \in ]-\infty, -A[ \iff 3 – 2n \dfrac{A + 3}{2}\]
Posons $N = E\left(\dfrac{A + 3}{2}\right) + 1$, d'où $N > \dfrac{A + 3}{2}$ et $N \in \mathbb{N}$.
On a donc :
\[n \ge N \implies n > \dfrac{A + 3}{2} \implies v_n < -A \implies v_n \in ]-\infty, -A[\]
Par suite : $\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$2.Limite infinie des suites usuelles
Proposition 1
Les suites $(\sqrt{n})$, $(n)$, $(n^2)$ et $(n^3)_n$ tendent vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Proposition 2
Soit $(u_n)_{n \ge n_0}$ et $(v_n)_{n \ge n_0}$ deux suites numériques telles que pour tout $n \ge n_0$ : $u_n \le v_n$
- Si $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ alors $\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$.
- Si $\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$ alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$.
Exemples
1) Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par :
\[u_n = \sqrt[3]{n^6 + 1 + \sin n}\]
On a pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $n^6 + 1 + \sin n \ge n^6$
Donc : $u_n \ge n^2$
Puisque $\lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$ alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$
2) Soit $(v_n)$ la suite numérique définie par :
\[v_n = E(\sqrt{n}) + 1\]
On a pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $\sqrt{n} – 1 \le E(\sqrt{n})$
Donc : $\sqrt{n} \le v_n$
Puisque $\lim_{n \to +\infty} \sqrt{n} = +\infty$ alors $\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$
3) Soit $(w_n)$ la suite numérique définie par :
\[w_n = \text{Arctan}(\cos n) – n\]
On a pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $\text{Arctan}(\cos n) \le \dfrac{\pi}{2}$
Donc : $w_n \le \dfrac{\pi}{2} – n$
Puisque $\lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{\pi}{2} – n\right) = -\infty$ alors $\lim_{n \to +\infty} w_n = -\infty$Proposition 3
Soit $a$ un réel quelconque.
- Si $a > 1$ alors $\lim_{n \to +\infty} a^n = +\infty$.
- Si $p \in \mathbb{N}^*$ alors $\lim_{n \to +\infty} n^p = +\infty$.
Preuve
- Soit $a > 1$. On pose $\alpha = a – 1$, c'est-à-dire $a = \alpha + 1$ et $\alpha > 0$. D'après l'inégalité de Bernoulli à savoir : « $(\forall (x, n) \in \mathbb{R}^+ \times \mathbb{N})\; (1+x)^n \ge 1 + nx$ », on a pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $a^n \ge 1 + n\alpha$ et donc $a^n > n\alpha$. Puisque $\lim_{n \to +\infty} n\alpha = +\infty$ alors $\lim_{n \to +\infty} a^n = +\infty$.
- On a pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $p \in \mathbb{N}^*$, $n \le n^p$. Puisque $\lim_{n \to +\infty} n = +\infty$ alors $\lim_{n \to +\infty} n^p = +\infty$.
Exemples
1) On a $\lim_{n \to +\infty} 3^n = +\infty$ car $3 > 1$. De même, $\lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{7}{4}\right)^n = +\infty$ car $\dfrac{7}{4} > 1$.
2) On a $\lim_{n \to +\infty} n^5 = +\infty$ car $5 \in \mathbb{N}^*$.
Applications
Déterminer les limites suivantes :
\[1)\; \lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{2017}{2016}\right)^n ; 2)\; \lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1 + \sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^n ; 3)\; \lim_{n \to +\infty} n^{2017} ; 4)\; \lim_{n \to +\infty} \left(n^3 + 2^n\right) ; 5)\; \lim_{n \to +\infty} \dfrac{5^n + 2^n}{3^n}\]
3.Convergence d’une suite numérique
Définition 6
Étant donné une suite numérique $(u_n)_{n \ge n_0}$ et $\ell \in \mathbb{R}$, on dit que $(u_n)_{n \ge n_0}$ tend vers $\ell$, ou encore converge vers $\ell$, si tout intervalle ouvert centré en $\ell$ contient tous les termes de la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ à partir d'un certain rang. En d'autres termes :
\[(\forall \varepsilon > 0)\; (\exists N \in \mathbb{N})\ ;; \; (\forall n \ge N) |u_n – \ell| < \varepsilon\]
Et on écrit : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \text{ou} \lim u_n = \ell$Définition 7
On dit qu'une suite numérique est convergente si elle admet une limite réelle. Dans le cas contraire, on dit qu'elle est divergente.
Remarque
- Dire qu'une suite diverge (ou qu'elle est divergente), ne signifie pas qu'elle tend vers l'infini. Cela signifie exactement que la suite n'a pas de limite ou qu'elle tend vers l'infini.
Exemple
Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_n = \dfrac{3n – 1}{n + 1}$. Montrons que : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$
Soit $\varepsilon > 0$. On a pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
\[\left|u_n – 3\right| = \left|\dfrac{3n – 1}{n + 1} – 3\right| = \dfrac{4}{n + 1}\]
Pour avoir $|u_n – 3| < \varepsilon$, il suffit d'avoir $\dfrac{4}{n + 1} < \varepsilon$, c'est-à-dire que $\dfrac{4}{\varepsilon} < n + 1$, et donc $\dfrac{4}{\varepsilon} – 1 \left|\dfrac{4}{\varepsilon} – 1\right|$, et donc $n > \dfrac{4}{\varepsilon} – 1$.
On a montré donc que : $(\forall \varepsilon > 0)\; (\exists N \in \mathbb{N})\; (\forall n \in \mathbb{N})\; (n \ge N \implies |u_n – 3| < \varepsilon)$. Par suite : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$Applications
1) Soit $(u_n)_{n \ge 1}$ la suite numérique définie par : $u_n = \dfrac{1}{n^2}$. Montrer en utilisant la définition que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.
2) On considère les deux suites $(v_n)$ et $(w_n)$ définies par : $v_n = \dfrac{7n – 2}{3n + 4}$ et $w_n = \dfrac{2n^2 – \sin n}{n^2 + 3}$
Montrer en utilisation la définition que : $\lim_{n \to +\infty} v_n = \dfrac{7}{3}$ et $\lim_{n \to +\infty} w_n = 2$
4.Convergence des suites usuelles
Proposition 4
Les suites $\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)_{n \ge 1}$, $\left(\dfrac{1}{n}\right)_{n \ge 1}$ et $\left(\dfrac{1}{n^2}\right)_{n \ge 1}$ tendent vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
5.Unicité de la limite
Proposition 5
La limite d'une suite numérique, lorsqu'elle existe, est unique.
Preuve
Raisonnons par l'absurde et supposons qu'une suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ possède deux limites distinctes $\ell_1$ et $\ell_2$.
En posant $\varepsilon = \dfrac{|\ell_1 – \ell_2|}{3} > 0$, on obtient par la définition de la limite :
\[[(\exists N_1 \in \mathbb{N}) \;; \; (\forall n \in \mathbb{N})\; (n \ge N_1 \implies |u_n – \ell_1| < \varepsilon)] \text{et} [(\exists N_2 \in \mathbb{N}) \;; \; (\forall n \in \mathbb{N})\; (n \ge N_2 \implies |u_n – \ell_2| < \varepsilon)]\]
Soit $N = \sup(N_1, N_2)$. On a d'après l'inégalité triangulaire, pour tout $n \ge N$ :
\[|\ell_1 – \ell_2| \le |u_n – \ell_1| + |u_n – \ell_2| \le 2\varepsilon\]
On obtient alors $|\ell_1 – \ell_2| \le \dfrac{2}{3}|\ell_1 – \ell_2|$, ce qui est absurde. D'où le résultat.Proposition 6
Toute suite convergente est bornée. La réciproque est fausse.
Preuve
- Soit $(u_n)_{n \ge n_0}$ une suite convergeant vers un réel $\ell$. La définition de la convergence appliquée par exemple pour $\varepsilon = 1$, nous permet de fixer un rang $N$ tel que :
\[\begin{aligned} (\forall n \in \mathbb{N}) n \ge N &\implies |u_n – \ell| < 1 \\ &\implies \ell – 1 < u_n < \ell + 1 \end{aligned}\]On constate alors que la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ est majorée par le réel $M = \max\{u_{n_0}, \ldots, u_{N-1}, \ell + 1\}$ et minorée par le réel $m = \min\{u_{n_0}, \ldots, u_{N-1}, \ell – 1\}$. Il s'ensuit donc la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ est bornée.
- La réciproque est fausse : par exemple la suite de terme général $(-1)^n$ est bornée mais non convergente.
6.Opérations sur les limites
Proposition 7
Soit $(u_n)_{n \ge n_0}$ et $(v_n)_{n \ge n_0}$ deux suites numériques convergentes. Alors :
- La suite $(u_n + v_n)_{n \ge n_0}$ est convergente et de plus : $\lim_{n \to +\infty} (u_n + v_n) = \lim_{n \to +\infty}(u_n) + \lim_{n \to +\infty}(v_n)$.
- La suite $(u_n v_n)_{n \ge n_0}$ est convergente et de plus : $\lim_{n \to +\infty} (u_n v_n) = \lim_{n \to +\infty}(u_n) \times \lim_{n \to +\infty}(v_n)$.
- Si $\lim_{n \to +\infty}(v_n) \ne 0$, alors la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)_{n \ge n_0}$ est convergente et de plus : $\lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{u_n}{v_n}\right) = \dfrac{\lim_{n \to +\infty}(u_n)}{\lim_{n \to +\infty}(v_n)}$.
Preuve
Supposons que $(u_n)_{n \ge n_0}$ et $(v_n)_{n \ge n_0}$ sont convergentes et posons $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ et $\lim_{n \to +\infty} v_n = \ell'$ où $(\ell, \ell') \in \mathbb{R}^2$.
- Montrons que la suite $(u_n + v_n)_{n \ge n_0}$ est convergente vers $\ell + \ell'$ :
Soit $\varepsilon > 0$. Puisque $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ et $\lim_{n \to +\infty} v_n = \ell'$ alors :
\[\left[(\exists N_1 \in \mathbb{N})\ ;; \; (\forall n \in \mathbb{N})\left(n \ge N_1 \implies |u_n – \ell| < \dfrac{\varepsilon}{2}\right)\right] \text{et} \left[(\exists N_2 \in \mathbb{N})\ ;; \; (\forall n \in \mathbb{N})\left(n \ge N_2 \implies |v_n – \ell'| < \dfrac{\varepsilon}{2}\right)\right]\]En choisissant $N = \sup(N_1, N_2)$ on obtient : $n \ge N \implies |(u_n + v_n) – (\ell + \ell')| \le |u_n – \ell| + |v_n – \ell'| < \varepsilon$
Preuve (Suite)
Par conséquent, la suite $(u_n + v_n)_{n \ge n_0}$ converge vers $\ell + \ell'$.
- Montrons que la suite $(u_n v_n)_{n \ge n_0}$ est convergente vers $\ell \ell'$ :
Comme la suite $(v_n)_{n \ge n_0}$ est convergente alors elle est bornée. Donc, il existe $M \in \mathbb{R}^*_+$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $|v_n| \le M$.
Soit maintenant $\varepsilon > 0$. Puisque $\lim u_n = \ell$ et $\lim v_n = \ell'$ alors :
\[(\exists N_1 \in \mathbb{N})\ ;; \; (\forall n \in \mathbb{N})\left(n \ge N_1 \implies |u_n – \ell| < \dfrac{\varepsilon}{2M}\right)\]\[(\exists N_2 \in \mathbb{N})\ ;; \; (\forall n \in \mathbb{N})\left(n \ge N_2 \implies |v_n – \ell'| < \dfrac{\varepsilon}{2(|\ell| + 1)}\right)\]En choisissant $N = \sup(N_1, N_2)$, on obtient : $n \ge N \implies |u_n v_n – \ell \ell'| \le |(u_n – \ell)v_n + \ell(v_n – \ell')|$ Par conséquent : $n \ge N \implies |u_n v_n – \ell \ell'| \le |v_n||u_n – \ell| + |\ell||v_n – \ell'|$ C'est-à-dire : $n \ge N \implies |u_n v_n – \ell \ell'| \le M|u_n – \ell| + (|\ell| + 1)|v_n – \ell'|$ Par suite : $n \ge N \implies |u_n v_n – \ell \ell'| < \dfrac{\varepsilon}{2} + \dfrac{\varepsilon}{2} \implies |u_n v_n – \ell \ell'| 0$ alors : $(\exists N_1 \in \mathbb{N})\ ;; \; (\forall n \in \mathbb{N})\left(n \ge N_1 \implies |v_n – \ell'| < \dfrac{|\ell'|}{2}\right)$ Puisque $|v_n| – |\ell'| \le |v_n – \ell'|$ alors : $(\exists N_1 \in \mathbb{N})\ ;; \; \left(n \ge N_1 \implies ||v_n| – |\ell'|| \dfrac{|\ell'|}{2}$ Soit maintenant $\varepsilon > 0$. Puisque $\lim v_n = \ell'$ alors : $(\exists N_2 \in \mathbb{N})\ ;; \; (\forall n \in \mathbb{N})\left(n \ge N_2 \implies |v_n – \ell'| < \dfrac{\varepsilon |\ell'|^2}{2}\right)$ En choisissant $N = \sup(N_1, N_2)$, on obtient : $n \ge N \implies \left|\dfrac{1}{v_n} – \dfrac{1}{\ell'}\right| = \dfrac{|v_n – \ell'|}{|v_n||\ell'|} < \dfrac{\varepsilon |\ell'|^2}{\dfrac{|\ell'|^2}{2}}$ C'est-à-dire : $n \ge N \implies \left|\dfrac{1}{v_n} – \dfrac{1}{\ell'}\right| < \varepsilon$. Par conséquent : $\lim \dfrac{1}{v_n} = \dfrac{1}{\ell'}$ Enfin : $\lim \dfrac{u_n}{v_n} = \lim u_n \times \dfrac{1}{v_n} = \dfrac{\ell}{\ell'}$, ce qui achève la démonstration.
Exemples
1) Soit $(u_n)_{n \ge 1}$ la suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ par : $u_n = 3 – \dfrac{1}{n} + \dfrac{4}{\sqrt{n}}$
On a : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 3 – \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} + \lim_{n \to +\infty} \dfrac{4}{\sqrt{n}} = 3 \left(\text{car } \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{4}{\sqrt{n}} = 0\right)$
2) Soit $(v_n)$ la suite définie par : $v_n = \dfrac{2\sqrt{n} + 7}{3n – 2}$
\[\text{On a : } \lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sqrt{n}\left(2 + \dfrac{7}{\sqrt{n}}\right)}{n\left(3 – \dfrac{2}{n}\right)} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}} \times \dfrac{2 + \dfrac{7}{\sqrt{n}}}{3 – \dfrac{2}{n}}\]
Puisque $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{2}{n} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{7}{\sqrt{n}} = 0$, alors $\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$.Applications
Calculer la limite de chacune des suites suivantes définies par :
\[u_n = \dfrac{2\sqrt{n} – 7}{7\sqrt{n} + 3} ; v_n = \dfrac{n^2 – 3n + 4}{n^2 + 5n + 7} ; w_n = \dfrac{2n – 3}{n^3 + 3n^2 + 1} ; x_n = \dfrac{(n + 4)(-3n^2 + 1)}{5n^3 + 8n}\]
2.7. EXTENSION DES OPÉRATIONS SUR LA LIMITE DE SUITE
À retenir
On admet que les résultats sur les limites des fonctions restent valables pour les limites des suites :
\hline $\lim v_n$ & $\ell'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$
\hline $\lim (u_n + v_n)$ & $\ell + \ell'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & \begin{tabular}{c} Forme
indéterminée \end{tabular}
\hline \end{tabular}
\hline $\lim v_n$ & $\ell'$ & $\ell' > 0$ & $\ell' }] Limite d'une inverse : \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline $\lim u_n$ & $\ell \ne 0$ & $+\infty \text{ ou } -\infty$ & $0$
\hline $\lim \dfrac{1}{u_n}$ & $\dfrac{1}{\ell}$ & $0$ & $\lim \left|\dfrac{1}{u_n}\right| = +\infty$
\hline \end{tabular}
- [>] Limite d'une somme :
\hline $\lim v_n$ & $\ell'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$
\hline $\lim (u_n + v_n)$ & $\ell + \ell'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & \begin{tabular}{c} Forme
indéterminée \end{tabular}
\hline \end{tabular}
- [>] Limite d'un produit :
\hline $\lim v_n$ & $\ell'$ & $\ell' > 0$ & $\ell' }] Limite d'une inverse : \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline $\lim u_n$ & $\ell \ne 0$ & $+\infty \text{ ou } -\infty$ & $0$
\hline $\lim \dfrac{1}{u_n}$ & $\dfrac{1}{\ell}$ & $0$ & $\lim \left|\dfrac{1}{u_n}\right| = +\infty$
\hline \end{tabular}
2.8. LIMITES ET ORDRE
Proposition 8
Soit $(u_n)_{n \ge n_0}$ et $(v_n)_{n \ge n_0}$ deux suites numériques convergentes. Alors :
- Si la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ est positive alors $\lim u_n \ge 0$.
- Si $u_n \le v_n$ pour tout entier $n \ge n_0$ alors $\lim u_n \le \lim v_n$.
Preuve
Supposons que les suites $(u_n)_{n \ge n_0}$ et $(v_n)_{n \ge n_0}$ convergent et posons $\lim u_n = \ell$ et $\lim v_n = \ell'$ où $(\ell, \ell') \in \mathbb{R}^2$.
- Si la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ est positive alors on a $u_n = |u_n|$ pour tout $n \ge n_0$. Comme $(|u_n|)_{n \ge n_0}$ converge vers $|\ell|$ (cela revient en fait de l'inégalité $||u_n| – |\ell|| \le |u_n – \ell|$ et de la définition de convergence d'une suite), et par unicité de la limite, on en déduit que $|\ell| = \ell$, c'est-à-dire que $\ell \ge 0$.
- Si $u_n \le v_n$ pour tout $n \ge n_0$, alors en posant $w_n = v_n – u_n$, la suite $(w_n)_{n \ge n_0}$ est positive et convergente. Comme $\lim w_n \ge 0$ et $\lim w_n = \lim v_n – \lim u_n$, alors $\lim u_n \le \lim v_n$.
Remarque
- Si $(u_n)_{n \ge n_0}$ est une suite convergente dont on souhaite montrer que sa limite est strictement positive, alors il suffit de chercher un réel $m > 0$ tel que $u_n \ge m$ à partir d'un certain rang.
2.9. MONOTONIE ET CONVERGENCE
Théorème 1
- Toute suite croissante majorée est convergente.
- Toute suite décroissante minorée est convergente.
Remarque
- Le théorème ci-dessus assure la convergence de la suite mais ne détermine pas sa limite.
Exemple
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$
Montrons par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $0 \le u_n \le 2$
- Initialisation : Pour $n = 0$, on a $u_0 = 0$ ; donc $0 \le u_0 \le 2$.
- Hérédité : Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons que $0 \le u_n \le 2$ et montrons que $0 \le u_{n+1} \le 2$. On a : $0 \le u_n \le 2 \implies 2 \le 2 + u_n \le 4 \implies \sqrt{2} \le \sqrt{2 + u_n} \le 2 \implies 0 \le u_{n+1} \le 2$
- Conclusion : Pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $0 \le u_n \le 2$
Applications
1. Montrer que la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_{n+1} = 3 – \dfrac{9}{4u_n}$ est décroissante et minorée par $\dfrac{3}{2}$. Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite $(u_n)$ ?
2. Soit $(v_n)_{n \ge 1}$ la suite numérique définie par : $v_n = 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \ldots + \dfrac{1}{n!}$
- [a)] Montrer que pour tout entier $k \ge 2$, $k! \ge 2^{k-1}$. En déduire que la suite $(v_n)_{n \ge 1}$ est majorée.
- [b)] Montrer que la suite $(v_n)_{n \ge 1}$ est croissante puis en déduire qu'elle est convergente.
Proposition 9
- Toute suite croissante non majorée tend vers $+\infty$.
- Toute suite décroissante non minorée tend vers $-\infty$.
Preuve
- Soit $(u_n)_{n \ge n_0}$ une suite croissante. Si elle est non majorée alors : $(\forall A > 0)\; (\exists N \in \mathbb{N})\ ;; \; u_N > A$. Comme $(u_n)_{n \ge n_0}$ est croissante alors pour tout entier $n \ge N$, $u_n \ge u_N > A$. Par conséquent : $(\exists N \in \mathbb{N})\ ;; \; (\forall n \in \mathbb{N}) u_n > A$ Par définition de la limite d'une suite tendant vers $+\infty$, on en déduit que $\lim u_n = +\infty$.
- Si $(u_n)_{n \ge n_0}$ est une suite décroissante non minorée alors $(-u_n)_{n \ge n_0}$ est une suite croissante non majorée. Comme $\lim (-u_n) = +\infty$ alors $\lim u_n = -\infty$. Ce qui achève la démonstration.
3.CRITÈRES DE CONVERGENCE
3.1. EXISTENCE DE LA LIMITE PAR ENCADREMENT
Théorème 2
Soit $(v_n)_{n \ge n_0}$ et $(w_n)_{n \ge n_0}$ deux suites numériques convergeant vers une limite commune $\ell$.
Si $(u_n)_{n \ge n_0}$ est une suite vérifiant l'encadrement $v_n \le u_n \le w_n$ à partir d'un certain rang, alors la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ converge et sa limite vaut $\ell$. Ce résultat est appelé « Théorème des gendarmes »
Preuve
Soit $(u_n)_{n \ge n_0}$, $(v_n)_{n \ge n_0}$ et $(w_n)_{n \ge n_0}$ trois suites numériques. Supposons que $(v_n)_{n \ge n_0}$ et $(w_n)_{n \ge n_0}$ convergent vers une même limite $\ell$ et qu'à partir d'un certain rang $N_1$, $v_n \le u_n \le w_n$.
Soit $\varepsilon > 0$. D'après la définition de la convergence d'une suite :
\[\left[(\exists N_2 \in \mathbb{N})\ ;; \; (n \ge N_2 \implies |v_n – \ell| < \varepsilon)\right] \text{et} \left[(\exists N_3 \in \mathbb{N})\ ;; \; (n \ge N_3 \implies |w_n – \ell| < \varepsilon)\right]\]
Par conséquent, à partir du rang $\max(N_2, N_3)$ : $\ell – \varepsilon < v_n < \ell + \varepsilon$ et $\ell – \varepsilon < w_n < \ell + \varepsilon$
Comme $v_n \le u_n \le w_n$, à partir du rang $N_1$, alors à partir du rang $N = \max(N_1, N_2, N_3)$ :
$$\ell – \varepsilon < v_n \le u_n \le w_n 0)\; (\exists N \in \mathbb{N})\ ;; \; (\forall n \in \mathbb{N})\; (n \ge N \implies |u_n – \ell| < \varepsilon)$
Ce qui revient à dire que la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ converge et sa limite vaut $\ell$.Exemple
Montrons que la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}^*$ par $u_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{n}{\sqrt{n^4 + k}}$ converge, et déterminons sa limite :
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On a pour tout $k \in \{1, 2, \ldots, n\}$ :
\[\dfrac{n}{\sqrt{n^4 + n}} \le \dfrac{n}{\sqrt{n^4 + k}} \le \dfrac{n}{\sqrt{n^4 + 1}}\]
En sommant ces $n$ encadrements, on obtient :
\[\sum_{k=1}^n \dfrac{n}{\sqrt{n^4 + n}} \le \sum_{k=1}^n \dfrac{n}{\sqrt{n^4 + k}} \le \sum_{k=1}^n \dfrac{n}{\sqrt{n^4 + 1}}\]
ce qui donne : $\dfrac{n^2}{\sqrt{n^4 + n}} \le u_n \le \dfrac{n^2}{\sqrt{n^4 + 1}}$
Puisque $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^2}{\sqrt{n^4 + n}} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{n^3}}} = 1$ et $\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^2}{\sqrt{n^4 + 1}} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{n^4}}} = 1$ alors la suite $(u_n)$ est convergente, et de plus : $\lim_{n \to +\infty} u_n = 1$Applications
1. Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_n = \dfrac{\sqrt{n}\sin(n)}{n+1}$
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
2. Calculer les limites des suites $(v_n)_{n \ge 1}$ et $(w_n)_{n \ge 1}$ définies par : $v_n = \sum_{k=1}^{2n+1} \dfrac{1}{n^2 + k}$ et $w_n = \sum_{k=1}^{3n+1} \dfrac{1}{\sqrt[3]{n^3 + k}}$
Corollaire
Soit $(u_n)_{n \ge n_0}$ une suite numérique et $\ell$ un nombre réel. S'il existe une suite $(v_n)_{n \ge n_0}$ tendant vers $0$ telle que pour tout $n \ge n_0$, $|u_n – \ell| \le v_n$, alors la suite $(u_n)_{n \ge n_0}$ converge et sa limite vaut $\ell$.
Proposition 10
Soit $r$ un nombre rationnel non nul.
- Si $r > 0$ alors $\lim_{n \to +\infty} n^r = +\infty$.
- Si $r < 0$ alors $\lim_{n \to +\infty} n^r = 0$.
Exemples
\[\lim_{n \to +\infty} n^{\frac{5}{6}} = +\infty ; \lim_{n \to +\infty} n^{\frac{2}{7}} = +\infty ; \lim_{n \to +\infty} n^{-\frac{2}{3}} = 0 ; \lim_{n \to +\infty} n^{-\frac{20}{17}} = 0\]
3.2. LIMITE D’UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE
Proposition 11
Soit $q$ un nombre réel non nul.
- Si $q > 1$ alors $\lim q^n = +\infty$.
- Si $-1 < q < 1$ alors $\lim q^n = 0$.
- Si $q = 1$ alors $\lim q^n = 1$.
- Si $q \le -1$ alors la suite $(q^n)_{n \in \mathbb{N}}$ n'admet pas de limite.
Exemples
1) On a $\lim_{n \to +\infty} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^n = 0$ car $-1 < \dfrac{\sqrt{3}}{2} < 1$. De même : $\lim_{n \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{4}\right)^n = 0$ car $-1 < -\dfrac{1}{4} 1$. Par contre, la suite $\left(\left(-\dfrac{3}{2}\right)^n\right)_{n \in \mathbb{N}}$ n'a pas de limite quand $n$ tend vers $+\infty$.
4.SUITES DE LA FORME $u_{n+1} = f(u_n)$ ET $v_n = f(u_n)$
4.1. SUITE DE LA FORME $u_{n+1} = f(u_n)$
Proposition 12
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ telle que $f(I) \subset I$.
Soit $(u_n)_{n \ge n_0}$ une suite réelle définie par $u_{n_0} \in I$ et $(\forall n \ge n_0)\; u_{n+1} = f(u_n)$.
Si $(u_n)_{n \ge n_0}$ est convergente de limite $\ell$ et $\ell \in I$, alors $\ell$ est solution dans $I$ de l'équation $f(x) = x$.
Preuve
$(u_n)_{n \ge n_0}$ est convergente : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$. Soit $\varepsilon$ un nombre strictement positif.
Puisque $f$ est continue en $\ell$ alors : $(\exists \alpha > 0)\ ;; \; (\forall x \in I)\left(|x – \ell| < \alpha \implies |f(x) – f(\ell)| < \varepsilon\right)$
Et comme $\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ alors : $(\exists n_0 \in \mathbb{N})\ ;; \; (\forall n \ge n_0)\left(|u_n – \ell| < \alpha\right)$
Il est aisément facile de montrer par récurrence que pour tout entier $n \ge n_0$, $u_n \in I$.
On a : $(\exists n_0 \in \mathbb{N})\ ;; \; (\forall n \ge n_0)\left(|f(u_n) – f(\ell)| 0$.
Par suite, $\lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(\ell)$. Et puisque $\lim_{n \to +\infty} u_{n+1} = \ell$ alors $f(\ell) = \ell$. D'où le résultat.
Exemple
Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{\dfrac{1 + u_n}{2}} (\forall n \in \mathbb{N})$
Étudions la convergence de la suite $(u_n)$.
On considère la fonction numérique $f$ définie sur $I = [0; 1]$ par : $f(x) = \sqrt{\dfrac{1 + x}{2}}$
- La fonction $f$ est continue et croissante sur $I$, donc : $f(I) = [f(0); f(1)] = \left[\dfrac{\sqrt{2}}{2}; 1\right]$. Par conséquent, $f(I) \subset I$.
- Montrons que pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \le u_n \le 1$ : Initialisation : Pour $n = 0$, on a $u_0 = 1$ donc $0 \le u_0 \le 1$. Hérédité : Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons que $0 \le u_n \le 1$ et montrons que $0 \le u_{n+1} \le 1$ On a $0 \le u_n \le 1$, c'est-à-dire $u_n \in I$, donc $f(u_n) \in f(I)$. Et comme $f(I) \subset I$ alors $u_{n+1} \in I$, d'où $0 \le u_{n+1} \le 1$. Conclusion : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $0 \le u_n \le 1$
Exemple (Suite)
- Étudions la monotonie de la suite $(u_n)$ :
On a pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
\[u_{n+1} – u_n = \sqrt{\dfrac{1 + u_n}{2}} – u_n = \dfrac{\dfrac{1 + u_n}{2} – u_n^2}{\sqrt{\dfrac{1 + u_n}{2}} + u_n} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1 + u_n – 2u_n^2}{\sqrt{\dfrac{1 + u_n}{2}} + u_n} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(2u_n + 1)(1 – u_n)}{\sqrt{\dfrac{1 + u_n}{2}} + u_n}\]Puisque $0 \le u_n \le 1$ alors $-\dfrac{(2u_n + 1)(1 – u_n)}{2\left(\sqrt{\dfrac{1 + u_n}{2}} + u_n\right)} \le 0$, et donc $u_{n+1} – u_n \le 0$. La suite $(u_n)$ est décroissante.
- Puisque la suite $(u_n)$ est décroissante minorée par 0 alors elle est convergente. Soit $\ell$ sa limite. D'après la proposition 12, la limite $\ell$ vérifie : $f(\ell) = \ell$ et $0 \le \ell \le 1$ On a : $f(\ell) = \ell \iff \sqrt{\dfrac{1 + \ell}{2}} = \ell \iff 2\ell^2 – \ell – 1 = 0 \iff \left(\ell = 1 \text{ ou } \ell = -\dfrac{1}{2}\right)$ Et comme $0 \le \ell \le 1$ alors $\ell = 1$. Ainsi, la suite $(u_n)$ converge vers 1.
Application
Étudier la convergence de la suite $(u_n)$ définie par : $u_0 = \dfrac{1}{2}$ et $u_{n+1} = \dfrac{5}{2} u_n (1 – u_n) (\forall n \in \mathbb{N})$
4.2. LIMITE D’UNE SUITE DE LA FORME $V_n = f(U_n)$
Proposition 13
Si une suite $(u_n)$ est convergente vers $\ell$ et $f$ est une fonction continue en $\ell$ alors la suite $(v_n)$ définie par $v_n = f(u_n)$ est convergente et sa limite est $f(\ell)$.
Exemple
Soit $(v_n)$ la suite numérique définie par : $v_n = \tan\left(\dfrac{\pi n + 1}{3n + 2}\right)$
On pose pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_n = \dfrac{\pi n + 1}{3n + 2}$. On a donc $v_n = f(u_n)$ avec $f(x) = \tan x$.
On a : $\lim_{n \to +\infty} u_n = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\pi n + 1}{3n + 2} = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\pi + \dfrac{1}{n}}{3 + \dfrac{2}{n}} = \dfrac{\pi}{3}$. Puisque la fonction $f$ est continue en $\dfrac{\pi}{3}$ alors :
\[\lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \tan\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}\]
En résumé : $\lim_{n \to +\infty} v_n = \sqrt{3}$.Applications
Déterminer les limites des suites définies par :
\[u_n = \sqrt{\dfrac{24n^4 – n + 1}{3n^4 – n^2 – 7}} ; v_n = \sqrt[4]{\dfrac{16n^3 – 3n + 1}{2n^2 + 1}} ; w_n = \cos\left(\dfrac{n\pi – 2}{n^2 + 1}\right) ; t_n = \sin\left(\dfrac{\pi}{n + 1}\right)\]
5.SUITES ADJACENTES
Définition 8
On dit que deux suites numériques $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si une est croissante, l'autre est décroissante et $\lim_{n \to +\infty} (v_n – u_n) = 0$.
Exemple
Soit $(u_n)_{n \ge 1}$ et $(v_n)_{n \ge 1}$ les suites numériques définies sur $\mathbb{N}^*$ par : $u_n = \dfrac{-2}{n}$ et $v_n = \dfrac{1}{n}$.
On a $(u_n)_{n \ge 1}$ est croissante, $(v_n)_{n \ge 1}$ est décroissante et de plus : $\lim_{n \to +\infty} (v_n – u_n) = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{3}{n} = 0$.
Par conséquent, les suites $(u_n)_{n \ge 1}$ et $(v_n)_{n \ge 1}$ sont adjacentes.
Applications
On considère les suites numériques $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par : $u_n = \sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}$ et $v_n = u_n + \dfrac{1}{n!}$.
Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
Proposition 14
Si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites adjacentes alors elles sont convergentes et ont la même limite.
Preuve
Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites adjacentes. Supposons que $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ décroissante.
Comme $(u_n)$ est croissante et $(v_n)$ décroissante, la suite $(u_n – v_n)$ est croissante. Comme de plus elle tend vers 0, elle est à valeurs négatives, ce qui donne : $\forall n \in \mathbb{N},\; u_n \le v_n$.
On en déduit que la suite $(u_n)$ est majorée par $v_0$ puisque : $\forall n \in \mathbb{N},\; u_n \le v_n \le v_0$.
Comme elle est croissante alors elle converge.
De même, la suite $(v_n)$ étant décroissante et minorée par $u_0$, elle converge.
Enfin, l'écriture $v_n = u_n + (v_n – u_n)$ permet de prouver que $(v_n)$ converge et nous donne :
\[\lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} u_n + \lim_{n \to +\infty} (v_n – u_n) = \lim_{n \to +\infty} u_n \left(\text{car } \lim_{n \to +\infty} (v_n – u_n) = 0\right)\]
Ainsi, les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont convergentes et ont la même limite.Exemple
Soit $(u_n)_{n \ge 1}$ et $(v_n)_{n \ge 1}$ les suites numériques définies sur $\mathbb{N}^*$ par :
\[u_n = 1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \ldots + \dfrac{1}{\sqrt{n}} – 2\sqrt{n + 1} \text{et} v_n = 1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}} + \ldots + \dfrac{1}{\sqrt{n}} – 2\sqrt{n}\]
On montre facilement que la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ est croissante et $(v_n)_{n \ge 1}$ est décroissante. On a de plus :
\[\lim_{n \to +\infty} (v_n – u_n) = \lim_{n \to +\infty} 2(\sqrt{n+1} – \sqrt{n}) = \lim_{n \to +\infty} \dfrac{2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = 0\]
Il s'ensuit donc que les suites $(u_n)_{n \ge 1}$ et $(v_n)_{n \ge 1}$ sont adjacentes, donc elles sont toutes les deux convergentes et ont la même limite.Applications
Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs tels que $a < b$. On considère les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par :
\[\begin{cases} u_0 = a \\ u_{n+1} = \dfrac{2u_n v_n}{u_n + v_n} \end{cases}, \; \forall n \in \mathbb{N} \text{et} \begin{cases} v_0 = b \\ v_{n+1} = \dfrac{u_n + v_n}{2} \end{cases}, \; \forall n \in \mathbb{N}\]
1. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_n \le v_n$
2. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante et que $(v_n)$ est décroissante.
3. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $v_{n+1} – u_{n+1} \le \dfrac{1}{2}(v_n – u_n)$
4. En déduire que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
5. Montrer que la suite $(u_n v_n)$ est constante, et en déduire la limite commune des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.