Une expérience aléatoire (ou épreuve aléatoire) est une mise en œuvre, dans des conditions bien définies, d'un processus évolutif pour un système (matériel ou modèle) dont l'état final est observable (expérience concrète) ou imaginable (expérience abstraite) mais imprévisible. Un tel état final est appelé résultat de l'expérience aléatoire.
L'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire est appelé univers (ou univers des possibilités, ou ensemble fondamental), noté en général $\Omega$.
Un élément de cet ensemble $\Omega$ est appelé une issue ou une éventualité. Il est dit réalisé s'il est effectivement constaté lors d'un déroulement particulier de l'expérience aléatoire.
Exemple
Exemples
1) Le lancer d'un dé non truqué (ou non pipé) est une expérience aléatoire.
2) Le lancer de deux dés non truqués est une expérience aléatoire.
Un résultat est un couple d'éléments de $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. En effet, on suppose que ces dés sont discernables. Cela signifie qu'on peut décider qu'un dé est le dé numéro 1 et l'autre le dé numéro 2.
L'univers est donc : $\Omega = \{(i; j) / 1 \le i \le 6 \text{ et } 1 \le j \le 6\}$. C'est un ensemble fini à 36 éléments.
3) Le jeu « Pile ou Face » est une expérience aléatoire. L'univers $\Omega$ dépend dans ce cas de la façon dont le jeu est effectué. Voici quelques situations :
\underline{Situation 1 :} On lance la pièce de monnaie une seule fois.
\[\text{Ici :} \Omega = \{P; F\}\]
\underline{Situation 2 :} On lance la pièce de monnaie deux fois de suite.
\[\text{Ici :} \Omega = \{PP; PF; FP; FF\}\]
4) Le tirage de $p$ objets parmi $n$ objets, est une expérience aléatoire. L'univers $\Omega$ dépend du type de tirage.
Si, par exemple, le tirage effectué est simultané, alors l'univers $\Omega$ est l'ensemble des combinaisons de $p$ objets choisis parmi $n$ objets. Il y a dans ce cas $C_n^p$ possibilités. Par contre, Si le tirage effectué est successif avec remise, alors l'univers $\Omega$ est l'ensemble des arrangements avec répétitions de $p$ objets choisis parmi $n$ objets. Il y a dans ce cas $n^p$ possibilités.
5) La mesure de la durée de vie d'une ampoule électrique est une expérience aléatoire.
Le résultat est un réel positif ou nul. L'univers est : $\Omega = [0, +\infty[$.
Définition
Définition 2
On appelle événement lié à une expérience aléatoire, tout résultat de cette expérience pouvant se produire. Chaque événement lié à cette expérience aléatoire est une partie de l'univers $\Omega$ de ses résultats observables.
Exemple
Exemple
On lance un dé cubique honnête, puis un deuxième identique au premier, et on s'intéresse aux numéros affichés. On a déjà vu que : $\Omega = \{(i, j) / 1 \le i \le 6 \text{ et } 1 \le j \le 6\}$
Si on note $A$ l'événement « Les deux dés affichent le même numéro », alors :
Si on note $C$ l'événement « La somme des 2 numéros obtenus est 4 », alors :
\[C = \{(1,3); (2,2); (3,1)\}\]
Si on note $D$ l'événement « Le produit des 2 numéros obtenus est 12 », alors :
\[D = \{(4,3); (2,6); (6,2); (3,4)\}\]
Si on note $E$ l'événement « Le produit des 2 numéros obtenus est 18 », alors :
\[E = \{(6,3); (3,6)\}\]
Si on note $F$ l'événement « La somme des 2 numéros obtenus est 1 », alors :
\[F = \varnothing\]
Remarque
Remarques
La définition 2 montre qu'un événement est une propriété attachée à l'expérience aléatoire qui peut être vérifiée ou non.
Il est bon de remarquer qu'un événement se réalise lorsque le résultat constaté de l'épreuve est l'un des éléments qui constituent l'événement.
L'ensemble de tous les événements est égal à l'ensemble de toutes les parties de $\Omega$, qu'on note $\mathcal{P}(\Omega)$.
Définition
Définition 3
Soit $\Omega$ l'univers lié à une expérience aléatoire.
L'événement $\Omega$ se réalise toujours, et est appelé l'événement certain.
L'événement $\varnothing$ ne se réalise jamais, et appelé l'événement impossible.
L'événement $\{\omega\}$, où $\omega \in \Omega$ est appelé événement élémentaire.
1.2. OPÉRATIONS SUR LES ÉVÉNEMENTS
Définition
Définition 4
Soit $\Omega$ l'univers lié à une expérience aléatoire. $A$ et $B$ étant deux événements de $\Omega$.
L'événement « $A$ et $B$ » est réalisé si, et seulement si, $A$ et $B$ sont réalisés au cours de la même expérience. Cet événement est appelé l'intersection des événements $A$ et $B$, et on le note $A \cap B$.
L'événement « $A$ ou $B$ » est réalisé si, et seulement si, l'un au moins des deux événements $A$ ou $B$ est réalisé au cours de la même expérience. Cet événement est appelé la réunion des événements $A$ et $B$, et on le note $A \cup B$.
L'événement « non $A$ » est réalisé si, et seulement si, $A$ n'est pas réalisé. Cet événement est appelé l'événement contraire de $A$, et on le note $\overline{A}$.
On dit que les événements $A$ et $B$ sont incompatibles ou disjoints s'ils ne peuvent pas être réalisés simultanément. Donc, $A$ et $B$ sont incompatibles si, et seulement si, $A \cap B = \varnothing$.
Remarque
À retenir
\par\textbf{Diagramme de Venn}
\par
Pour bien comprendre les opérations sur les événements et ses propriétés, on utilise une création mathématique intéressant qui s'appelle diagramme de Venn. Ce diagramme permet de représenter sur une figure, un ensemble et certaines de ses parties. A titre d'exemple :
\par
\begin{tabular}{ccc}
&
&
Représentation de $A \cap B$ & Représentation de $A \cup B$ & Représentation de $\overline{A}$
\end{tabular}
\par
Exemple
Exemples
1) On considère trois événements $A$, $B$ et $C$ définis sur le même univers $\Omega$.
L'événement « Parmi les trois événements $A$, $B$ et $C$, seul $A$ est réalisé » est l'événement $A \cap \overline{B} \cap \overline{C}$.
L'événement « les trois événements $A$, $B$ et $C$ sont réalisés » est l'événement $A \cap B \cap C$.
L'événement « $A$ et $C$ sont réalisés mais pas $B$ » est l'événement $A \cap \overline{B} \cap C$.
L'événement « Au moins l'un des trois événements est réalisé » est l'événement contraire de l'événement « tous les événements sont réalisés ». On peut donc exprimer cet événement par $\overline{\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}}$.
L'événement « Au moins deux d'entre eux sont réalisés » signifie que soit exactement deux événements sont réalisés, soit exactement les trois sont réalisés. On peut donc exprimer cet événement par :
\[(\overline{A} \cap B \cap C) \cup (A \cap \overline{B} \cap C) \cup (A \cap B \cap \overline{C}) \cup (A \cap B \cap C)\]
2) Une urne contient 8 boules : 3 vertes, 4 noires et une rouge.
On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne et on considère les événements suivants :
[] $A$ : « Obtenir trois boules noires »
[] $B$ : « Obtenir trois boules vertes »
[] $C$ : « Obtenir exactement une boule verte »
[] $D$ : « Obtenir exactement une boule noire »
\par
\par
a) On considère l'événement :
$E$ : « Obtenir 3 boules de la même couleur »
Obtenir 3 boules de la même couleur correspond à l'obtention, soit de 3 boules noires, soit 3 boules vertes. Par conséquent : $E = A \cup B$.
b) On considère l'événement :
$F$ : « Obtenir au plus deux boules vertes ».
L'événement $F$ est l'événement contraire de l'événement $B$. Il s'ensuit donc : $F = \overline{B}$
c) On considère l'événement :
$G$ : « Obtenir trois boules de couleurs deux à deux distinctes ».
Obtenir trois boules de couleurs deux à deux distinctes correspond à l'obtention d'une boule noire, d'une boule rouge et d'une boule verte. Par suite : $G = C \cap D$.
d) Les événements $B$ et $C$ sont incompatibles car ils ne peuvent pas être réalisés en même temps. On a alors $B \cap C = \varnothing$. Par contre, les événements $D$ et $C$ sont compatibles.
Remarque
À retenir
\par\textbf{\largeTABLEAU RÉCAPITULATIF}\par
\par
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Langage ensembliste & Langage probabiliste & Notation
\hline
$\Omega = \{\omega_1, \ldots, \omega_n\}$ & Univers des possibilités & $\Omega$
\hline
Ensemble vide & Evénement impossible & $\varnothing$
\hline
$\{\omega_i\}$ & Evénement élémentaire & $\{\omega_i\}$
\hline
$A$ est une partie de $\Omega$ & $A$ est un événement & $A \subset \Omega$
\hline
$C = A \cup B$ & $C$ est l'événement « $A$ ou $B$ » & $C = A \cup B$
\hline
$C = A \cap B$ & $C$ est l'événement « $A$ et $B$ » & $C = A \cap B$
\hline
$A$ et $B$ sont disjoints & \begin{tabular}{c} Les événements $A$ et $B$ sont incompatibles \end{tabular} & $A \cap B = \varnothing$
\hline
\begin{tabular}{c} $A$ et $B$ sont complémentaires \end{tabular} & \begin{tabular}{c} Les événements $A$ et $B$ sont contraires \end{tabular} & $B = \overline{A}$
\hline
\end{tabular}
\par
Application
Applications
1. On considère une urne contenant 5 boules blanches et 3 boules noires. On tire successivement et avec remise quatre boules de l'urne.
a) Déterminer le nombre des cas possibles.
b) Déterminer le nombre des cas possibles vérifiés par les événements suivants :
$A$ : « Obtenir quatre boules blanches » ; $B$ : « Obtenir au moins une boule noire »
$C$ : « Parmi les boules tirées, il y a deux boules blanches ».
2. Dans chacune des situations décrites en-dessous, énoncer l'événement contraire de l'événement donné :
a) Dans une classe, on choisit deux élèves au hasard :
$A$ : « Les deux élèves sont des filles »
b) Au restaurant, Aïcha prend un plat et un dessert :
$C$ : « Aïcha prend une viande et une glace »
c) À une loterie, Rachid achète trois billets :
$D$ : « L'un des billets au moins est gagnant » ; $E$ : « Deux billets au maximum sont gagnants »
3. Soit $\Omega$ un univers et soient $A$, $B$ et $C$ trois événements de $\Omega$.
Traduire en termes ensemblistes (en utilisant uniquement les symboles d'union, d'intersection et de passage au complémentaire, ainsi que $A$, $B$ et $C$) les événements suivants :
$A_1$ : « Seul $A$ est réalisé » ; $A_2$ : « $A$ et $B$ sont réalisés, mais pas $C$ »
$A_3$ : « Les trois événements sont réalisés » ; $A_4$ : « Un seul événement se produit »
$A_5$ : « Au moins l'un des trois événements se réalise ».
Proposition
Proposition 1
Soit $\Omega$ l'univers lié à une expérience aléatoire. $A$, $B$ et $C$ des événements de $\Omega$.
On a alors les propriétés suivantes :
\[A \cup B = B \cup A ; A \cap B = B \cap A ; A \cap \varnothing = \varnothing ; A \cup \varnothing = A\]
\[A \cap \Omega = A ; A \cup \Omega = \Omega ; \overline{\overline{A}} = A ; A \cup \overline{A} = \Omega ; A \cap \overline{A} = \varnothing\]
\[A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) ; (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) = A \cup B \cup C\]
\[A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) ; (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) = A \cap B \cap C\]
\[\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} ; \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} ; A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})\]
Remarque
Remarques
Comme dans le langage ensembliste, les égalités $\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$ et $\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$ portent le nom de « lois de Morgan ».
L'égalité $A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})$ joue un rôle important en calcul des probabilités.
1.3. SYSTÈMES COMPLETS D’ÉVÉNEMENTS
Définition
Définition 5
Soit $\Omega$ l'univers lié à une expérience aléatoire et $A_1, A_2, \ldots, A_n$ des événements de $\Omega$.
On dit que $A_1, A_2, \ldots, A_n$ forment un système complet d'événements lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :
Les événements $A_1, A_2, \ldots, A_n$ sont deux à deux incompatibles :
Pour tout univers fini $\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n\}$, les événements élémentaires $\{\omega_1\}, \{\omega_2\}, \ldots, \{\omega_n\}$ forment un système complet d'événements.
Exemple
Exemple
On lance quatre fois un dé non truqué. Pour chaque $k \in \{1; 2; 3; 4\}$, on considère l'événement :
\[A_k : \text{« obtenir pour la première fois 6 au } k\text{-ième lancer »}\]
et $E$ l'événement « n'obtenir aucun 6 à l'issue des quatre lancers ».
Les événements $A_1, A_2, A_3, A_4, E$ forment un système complet d'événements qui modélise l'information sur le rang du premier 6.
Les événements $A_1$ et $\overline{A_1}$ (respectivement $E$ et $\overline{E}$) forment un système complet d'événements qui modélise l'information sur le fait d'obtenir un 6 au premier lancer (respectivement sur le fait d'obtenir un 6 parmi les quatre lancers).
2.PROBABILITÉ D’UN ÉVÉNEMENT
2.1. LOI DE PROBABILITÉ SUR UN ENSEMBLE FINI
Définition
Définition 6
Soit $\Omega = \{\omega_1; \omega_2; \ldots; \omega_n\}$ un ensemble fini.
Définir une loi de probabilité sur $\Omega$, c'est attribuer à chaque éventualité $\omega_i$, un réel $p_i \in [0; 1]$ de telle sorte que :
On dit alors que la probabilité de l'événement élémentaire $\{\omega_i\}$ est $p_i$, et on écrit : $P(\{\omega_i\}) = p_i$
Étant donné un événement $A \subset \Omega$, on définit alors la probabilité de $A$, et on note $P(A)$ comme la somme des probabilités des événements élémentaires qui constituent $A$.
Le couple $(\Omega; P)$ est appelé un espace probabilisé fini.
Exemple
Exemples
Lors de lancement d'un dé cubique non truqué, on obtient $\Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$.
Puisque toutes les faces ont la même chance d'être observées alors on peut définir une probabilité sur $\Omega$ comme suit : $P(\{1\}) = P(\{2\}) = \ldots = P(\{6\}) = \dfrac{1}{6}$
Remarquons bien que toutes ces probabilités soient dans l'intervalle $[0; 1]$ et leur somme est égale à $1$.
Soit $A$ l'événement «\ obtenir un nombre pair ». On a alors $A = \{2; 4; 6\}$, et donc la probabilité de $A$ est :
On considère une pièce de monnaie truquée de telle sorte que la probabilité d'apparition de Face «\ $F$ »\ est égale au double de celle d'apparition de Pile «\ $P$ ». Calculons alors les probabilités des événements :
\[A : \text{\guillemotleft\ Obtenir Face \guillemotright} \text{et} B : \text{\guillemotleft\ Obtenir Pile \guillemotright}\]
Ici l'univers est $\Omega = \{P; F\}$ ; donc $A$ et $B$ sont les événements élémentaires constituant cet univers.
Il en résulte alors : $P(\Omega) = P(A) + P(B)$. Puisque $P(A) = 2P(B)$ et $P(\Omega) = 1$ alors :
Un dé cubique truqué est tel que la probabilité $p_k$ de sortie du numéro $k$ est proportionnelle à $k$.
On lance ce dé et on considère les événements :
\[A : \text{\guillemotleft\ Le numéro est pair \guillemotright} ; B : \text{\guillemotleft\ Le numéro est supérieur ou égal à 3 \guillemotright}\]
Calculer $p_k$ pour chaque $k \in \{1; 2; \ldots; 6\}$ puis en déduire les probabilités $P(A)$ et $P(B)$.
On jette une pièce de monnaie équilibrée trois fois de suite.
Citer la liste de tous les résultats possibles en notant $P$ pour Pile et $F$ pour face. (Exemple : $PPF$)
Donner la probabilité de chacun des événements suivants :
\[A : \text{\guillemotleft\ Le tirage ne comporte que des Piles \guillemotright} ; B : \text{\guillemotleft\ Le tirage comporte au moins une fois Face \guillemotright}\]
Proposition
Proposition 2
Soit $\Omega$ l'univers lié à une expérience aléatoire, et $P$ une probabilité définie sur $\Omega$. Soit $A$ et $B$ deux événements de $\Omega$. On a alors les propriétés suivantes :
$P(\Omega) = 1$ et $P(\varnothing) = 0$ et $0 \le P(A) \le 1$.
Si $A$ et $B$ sont incompatibles alors : $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
1) et 2) découlent immédiatement de la définition 5.
3) Les événements $A$ et $\overline{A}$ sont incompatibles, donc : $P(A) + P(\overline{A}) = P(A \cup \overline{A}) = P(\Omega) = 1$. Par suite :
\[P(\overline{A}) = 1 – P(A)\]
Les événements $B \cap A$ et $B \cap \overline{A}$ sont incompatibles car $(B \cap A) \cap (B \cap \overline{A}) = B \cap A \cap \overline{A} = \varnothing$, donc :
\[P(B \cap A) + P(B \cap \overline{A}) = P\big((B \cap A) \cup (B \cap \overline{A})\big) = P\big(B \cap (A \cup \overline{A})\big) = P(B \cap \Omega) = P(B)\]
Ce qui donne :
\[P(B \cap \overline{A}) = P(B) – P(B \cap A)\]
Si $A \subset B$ alors $B \cap A = A$, ce qui donne : $P(B \cap \overline{A}) = P(B) – P(A)$
Signalons au passage que ce résultat montre le caractère croissant de la fonction «\ probabilité ».
4) Montrons maintenant l'égalité : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$
On a $A \cup B = A \cup (B \cap \overline{A})$ et $A \cap (B \cap \overline{A}) = \varnothing$ (faites un diagramme de Venn), par conséquent :
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B \cap \overline{A})\]
D'après 3), on en déduit que : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$
Exemple
Exemples
En étudiant une population, on a remarqué que, durant un mois, $40\%$ des individus sont allés au cinéma, $25\%$ sont allés au théâtre et $12,5\%$ sont allés au cinéma et au théâtre. Calculons les probabilités que durant un mois, un individu :
aille au cinéma ou au théâtre ;
n'aille pas au cinéma ;
n'aille ni au cinéma, ni au théâtre ;
aille au cinéma mais pas au théâtre.
\underline{Réponses :}
Soit $C$ l'événement «\ aller au cinéma »\ et $T$ l'événement «\ aller au théâtre ». On a alors :
\[D : \text{\guillemotleft\ L'élève étudie l'allemand et l'anglais, mais pas l'espagnol \guillemotright}\]
\[E : \text{\guillemotleft\ L'élève étudie l'allemand ou l'anglais, mais pas l'espagnol \guillemotright}\]
Soit $\Omega$ un univers et $p$ une probabilité définie sur $\Omega$.
On considère deux événements $A$ et $B$ tels que : $P(A) = \dfrac{1}{2} ; P(B) = \dfrac{5}{12} ; P(A \cup B) = \dfrac{3}{4}$.
Calculer dans l'ordre que vous voulez :
\[P(\overline{A}) ; P(\overline{A} \cap B) ; P(A \cap B) ; P(\overline{A} \cap \overline{B})\]
Soit $\Omega$ un univers et $p$ une probabilité définie sur $\Omega$. Soit $A$, $B$ et $C$ des événements de $\Omega$.
Montrer la formule suivante dite «\ formule du crible de Poincaré »\ :
\[P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A \cap B) – P(A \cap C) – P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C)\]
2.2. HYPOTHÈSE D’ÉQUIPROBABILITÉ
Remarque
À retenir
La définition 5 ci-dessus montre que pour $\Omega = \{\omega_1, \ldots, \omega_n\}$, la donnée de $n$ nombres $p_i, i \in \{1, 2, \ldots, n\}$, associés à chacun des événements élémentaires par $P(\{\omega_i\}) = p_i$ tel que $p_i \ge 0$ et $\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$, suffit à déterminer une probabilité $p$ sur $\Omega$. Ainsi, la probabilité d'un événement quelconque $A$ de $\Omega$ est définie comme la somme des probabilités de tous les événements élémentaires qui y sont inclus.
Il y a un cas très fréquent dans la pratique où tous les événements élémentaires ont la même probabilité, ce qui correspond à la loi uniforme discrète définie par :
\[\text{Pour tout } i \in \{1, 2, \ldots, n\} : p_i = \dfrac{1}{n}\]
Dans le langage des probabilités, on dit alors qu'il s'agit d'équiprobabilité.
Cette particularité est souvent sous-entendue ou précisée par l'affirmation que les résultats de l'expérience sont obtenus au hasard. On obtient alors :
\[P(A) = \sum_{\omega_i \in A} \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{n} \times \text{Card}\,A = \dfrac{\text{Card}\,A}{\text{Card}\,\Omega} (\text{Remarquer bien que } n = \text{Card}\,\Omega)\]
Ce résultat s'énonce souvent sous la forme de la règle énoncée par Laplace au $XVIII^e$ siècle :
\[P(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables pour } A}{\text{nombre de cas possibles}}\]
Un cas favorable étant un événement élémentaire qui réalise $A$. On est alors ramené à un simple problème de dénombrement (déjà vu en $1^{\text{ère}}$ année du bac). Mais il faut bien faire attention que cette règle ne s'applique que dans le cas d'équiprobabilité.
[Figure : Portrait de Pierre-Simon de Laplace (XVIIIe siècle)]
Définition
Définition 7
Soit $\Omega = \{\omega_1; \omega_2; \ldots; \omega_n\}$ l'univers lié à une expérience aléatoire, et $P$ une probabilité définie sur $\Omega$.
On dit qu'il y a équiprobabilité, lorsque les probabilités de tous les événements élémentaires sont égales. On dit aussi que $P$ est la probabilité uniforme sur $\Omega$.
Proposition
Proposition 3
Soit $\Omega = \{\omega_1; \omega_2; \ldots; \omega_n\}$ l'univers lié à une expérience aléatoire, et $P$ une probabilité définie sur $\Omega$.
Dans le cas d'équiprobabilité, on a les formules suivantes :
Pour tout $i \in \{1, 2, \ldots, n\} : P(\{\omega_i\}) = \dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{\text{Card}\,\Omega}$
Pour tout événement $A$ de $\Omega : P(A) = \dfrac{\text{Card}\,A}{n} = \dfrac{\text{Card}\,A}{\text{Card}\,\Omega}$
Remarque
Remarques
Si l'énoncé du problème contient des phrases comme : «\ dé non pipé », «\ pièce non truquée », «\ manière équiprobable », «\ tirage au hasard », «\ boules indiscernables au toucher », \ldots etc., cela signifie qu'il s'agit bien d'une équiprobabilité. Bien entendu, dans la limite des programmes, on s'intéresse de façon générale à l'équiprobabilité dans la résolution des problèmes. Mais si l'énoncé indique qu'il n'y a pas d'équiprobabilité, on aura besoin d'autres informations pour résoudre le problème.
Jusqu'à présent, pour calculer la probabilité d'un événement $A$, on peut envisager les stratégies suivantes :
Exprimer $A$ en fonction d'événements de probabilités connues dans le langage des événements ;
Modéliser $A$ par une expression ensembliste. Cette traduction se fait en remplaçant les «\ et »\ par des «\ $\cap$ », les «\ ou »\ par des «\ $\cup$ »\ et les négations par des complémentaires ;
Simplifier ou transformer l'expression obtenue grâce au calcul ensembliste de façon à pouvoir appliquer les formules des calculs des probabilités ; on pourra utiliser dans les simplifications les diagrammes ensemblistes.
Exemple
Exemples
On jette trois dés identiques numérotés de 1 à 6. Il y a équiprobabilité des événements élémentaires de l'ensemble fondamental $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}^3$. La probabilité d'un événement quelconque $A$ se calcule donc par $P(A) = \dfrac{\text{Card}\,A}{\text{Card}\,\Omega}$. En particulier :
La probabilité d'observer trois fois le même chiffre est : $\dfrac{6}{6^3} = \dfrac{1}{36}$
En effet, l'événement considéré est de la forme $aaa$, où il y a six choix possibles pour le chiffre $a$.
La probabilité d'observer deux fois le même chiffre et un autre différent est : $3 \times \dfrac{6 \times 5}{6^3} = \dfrac{5}{12}$.
En effet, il s'agit cette fois d'un événement de la forme $aab$, avec six choix pour le chiffre $a$, cinq choix pour $b$ et trois possibilités pour la place du résultat $b$.
La probabilité d'observer trois chiffres différents est : $\dfrac{6 \times 5 \times 4}{6^3} = \dfrac{5}{9}$
En effet, un résultat quelconque de la forme $abc$ correspond à une permutation de trois chiffres choisis parmi six.
[Figure : Trois dés cubiques blancs montrant des faces numérotées]
Une urne contient deux boules blanches, trois boules rouges et cinq boules noires.
On suppose que ces boules sont indiscernables au toucher.
Soit $\Omega$ l'univers des possibles.
On tire successivement et avec remise trois boules de l'urne.
$\Omega$ est l'ensemble des arrangements avec répétitions de 3 boules par les 10 boules.
Donc : $\text{Card}\,\Omega = 10^3 = 1000$
[Figure : Une urne contenant deux boules blanches, trois boules rouges et cinq boules noires]
La probabilité de l'événement $A : \text{«\ obtenir une boule de chaque couleur »}$ est :
On tire successivement et sans remise trois boules de l'urne.
$\Omega$ est l'ensemble des arrangements sans répétitions de 3 boules par les 10 boules.
Donc : $\text{Card}\,\Omega = A_{10}^3 = 720$
La probabilité de l'événement $A : \text{«\ obtenir une boule de chaque couleur »}$ est :
Dans un lot de 20 yaourts, il y a en a 3 qui ont dépassé la date de péremption. On extrait au hasard et simultanément 4 yaourts. Calculons la probabilité de l'événement :
\[E : \text{\guillemotleft\ un seul de ces yaourts ait dépassé la date de péremption \guillemotright}.\]
On choisit l'univers $\Omega = \{\text{combinaisons de 4 yaourts parmi 20}\}$. Donc :
[Figure : Étiquette de date de péremption 16/08/06]
On apprend que 18 personnes se sont présentées à une collecte de sang. Il y avait onze personnes du groupe O, quatre personnes du groupe A, deux personnes du groupe B et une personne du groupe AB. À l'issue de la collecte, on prélève au hasard 3 flacons parmi les 18 flacons obtenus. Calculons la probabilité de chacun des événements suivants :
L'événement $E : \text{«\ Les sangs des 3 flacons appartiennent au même groupe »}$.
L'événement $F : \text{«\ Parmi les 3 flacons prélevés, il y a au moins 1 flacon contenant du sang du groupe A »}$
L'événement $G : \text{«\ Les sangs des 3 flacons appartiennent à 3 groupes différents »}$.
\underline{Réponses :}
L'expérience étant le prélèvement de 3 flacons parmi 18, l'univers des possibles $\Omega$ a pour cardinal :
\[\text{Card}(\Omega) = C_{18}^3 = 816\]
[Figure : Illustration représentant le don du sang avec deux cœurs]
1. On compose au hasard un numéro de téléphone à $10$ chiffres.
Quelle est la probabilité que tous les chiffres soient distincts ?
Quelle est la probabilité qu'il commence par $01$ ?
Quelle est la probabilité que ses chiffres forment une suite strictement croissante ?
2. Un sac contient $10$ jetons blancs, $6$ jetons rouges et $4$ jetons noirs.
On tire au hasard trois jetons successivement et avec remise.
Quel est l'événement le plus probable parmi les trois événements suivants ?
$A$ : <>
$B$ : <>
$C$ : <>
Même question si l'on tire simultanément trois jetons.
Même question si l'on tire successivement et sans remise.
3. On range aléatoirement cinq boules distinguables dans quatre boîtes également distinguables.
Quel est le nombre de rangements différents possibles ?
Quelle est la probabilité que toutes les boules soient rangées dans la même boîte ?
Quelle est la probabilité que deux boîtes exactement soient vides ?
Quelle est la probabilité qu'une boîte exactement soit vide ?
En déduire la probabilité qu'aucune boîte ne soit vide ?
4. On jette trois fois un dé non pipé, et on note $a$, $b$ et $c$ les résultats successifs obtenus.
On note dans la suite :
\[Q(x) = ax^2 + bx + c\]
Déterminer la probabilité pour que :
Le polynôme $Q$ ait deux racines réelles distinctes.
Le polynôme $Q$ ait une racine réelle double.
Le polynôme $Q$ n'ait pas de racines réelles.
5. On jette une pièce de monnaie en l'air cinq fois de suite et l'on note chaque fois la face apparente après sa chute.
Quelle est la probabilité d'obtenir ainsi exactement deux fois <> ?
III.PROBABILITÉ CONDITIONNELLE
3.1. INTRODUCTION
Remarque
À retenir
Pourquoi les probabilités conditionnelles ?
Les décisions dans la vie courante sont souvent influencées ou conditionnées par la survenue d'événements extérieurs. L'influence de ces événements sur d'autres événements ne peut souvent être appréhendée que de façon subjective, mais parfois cette influence peut être appréhendée de façon objective par une mesure de probabilité.
Soit $\Omega = \{ \omega_1 ; \omega_2 ; \ldots ; \omega_n \}$ l'univers lié à une expérience aléatoire, et $P$ une probabilité définie sur $\Omega$.
Supposons que l'événement $A$ est réalisé. Sous l'information <>, un événement $B$ est réalisé si et seulement si $A \cap B$ est réalisé. On dira que la probabilité que $B$ est réalisé, sachant que $A$ est réalisé est :
\[\dfrac{\text{nombre de cas favorables à } A \cap B}{\text{nombre de cas favorables à } A} = \dfrac{\text{Card}(A \cap B)}{\text{Card } A} = \dfrac{\dfrac{\text{Card}(A \cap B)}{\text{Card } \Omega}}{\dfrac{\text{Card } A}{\text{Card } \Omega}} = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\]
Pour reconnaître une hypothèse de probabilité conditionnelle, on examine si la probabilité donnée est celle d'un événement $B$ sous la contrainte que l'événement $A$ soit réalisé. Par exemple, dans un établissement scolaire, la phrase <>, ne correspond pas à une probabilité conditionnelle. Dans la phrase <>, correspond à une probabilité conditionnelle. Voici deux autres exemples concrets pour bien comprendre :
Exemple
Exemple 1
On lance une fois un dé cubique parfait dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$.
Soit $A$ l'événement : <> et $B$ l'événement : <>.
Supposons que l'on sache que $A$ est réalisé. Le résultat du lancer est donc un élément $\omega$ de $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ et il y a $5$ cas possibles. L'événement $B$ est réalisé signifie que $\omega \in \{3, 4, 5\}$. Il y a donc $3$ cas favorables pour que $B$ soit réalisé. La probabilité que $B$ soit réalisé sachant que $A$ l'est est $\dfrac{3}{5}$.
Or, on a : $P(A) = \dfrac{5}{6}$ et $P(A \cap B) = \dfrac{3}{6}$. Donc :
\[\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{3}{5}\]
Exemple
Exemple 2
Une pisciculture dispose de deux bassins notés $B_1$ et $B_2$. Le bassin $B_1$ contient $5$ poissons dont $3$ truites et $2$ carpes, et $B_2$ contient $10$ poissons dont $7$ truites et $2$ carpes. On extrait au hasard un poisson.
La probabilité d'obtenir une truite sachant qu'elle provient de $B_1$ est $\dfrac{3}{5} = 0,6$.
Définition
Définition 8
Soit $P$ une probabilité définie sur un univers $\Omega$, et soit $A$ un événement tel que $P(A) \neq 0$.
Pour tout événement $B$, on pose :
\[P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\]
$P_A$ est une probabilité définie sur $\Omega$, appelée probabilité conditionnelle relative à $A$ ou probabilité conditionnelle sachant $A$.
$P_A(B)$ s'appelle <> ou <> ou encore <>.
Remarque
Remarques
La probabilité $P_A(B)$ de $B$ sachant $A$ est à bien distinguer de la probabilité de l'intersection de $B$ et de $A$ égale à $P(A \cap B)$. En effet dans le calcul de la probabilité $P_A(B)$, nous supposons implicitement que l'événement $A$ est réalisé tandis que dans le calcul de la probabilité $P(A \cap B)$, nous cherchons la probabilité de l'événement ($A$ et $B$) où l'événement $A$ n'est pas a priori réalisé.
Au lieu de $P_A(B)$, on note aussi $P(B / A)$. Cette notation prête à confusion. La raison en est qu'elle donne à penser qu'il existe un événement conditionnel <> dont on calculerait la probabilité. Il n'existe pas d'événements conditionnels, mais seulement des probabilités conditionnelles, c'est-à-dire d'autres probabilités sur l'espace probabilisable.
Il est parfois utile de connaître $P_B(A)$ pour calculer $P_A(B)$. En effet, on a la relation suivante :
\[P_A(B) = P_B(A) \times \dfrac{P(B)}{P(A)}\]
Cette formule est connue sous le nom <>.
Exemple
Exemple
On considère deux urnes dont les contenus sont les suivants :
On choisit une urne au hasard puis on y tire une boule. Calculons la probabilité que l'on ait choisi l'urne $U_1$ sachant que la boule tirée est blanche.
Notons les événements :
Soit $P$ une probabilité définie sur un univers $\Omega$, et soit $A$ un événement tel que $P(A) \neq 0$.
Puisque $P_A$ est une probabilité sur $\Omega$, elle possède toutes les propriétés d'une probabilité.
En particulier, on a :
$P_A(\varnothing) = 0$ et $P_A(A) = P_A(\Omega) = 1$.
Pour tout événement $B$ vérifiant $B \subset A$, $P_A(B) = 1$.
Pour tout événement $B$, $P_A(\overline{B}) = 1 – P_A(B)$.
Soit $P$ une probabilité définie sur un univers $\Omega$. Pour tous événements $A$ et $B$ de $\Omega$, on a la formule suivante dite <> :
$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ si $P(A) \neq 0$
$P(A \cap B) = P(B) \times P_B(A)$ si $P(B) \neq 0$
Exemple
Exemples
1) Une urne contient initialement $4$ boules blanches et $2$ boules noires.
On tire une boule. On la remet dans l'urne avec une boule de la même couleur. On procède à un deuxième tirage. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules noires ?
Réponse :
On note $N_i$, pour $i \in \{1; 2\}$, l'événement <>. On obtient :
2) Une maladie affecte $3\%$ d'une population. Un test sanguin détecte cette maladie avec une probabilité de $0,98$ chez un malade mais il indique à tort à $4\%$ des personnes saines qu'elles sont malades.
On prend une personne au hasard ayant subi le test.
on peut schématiser ces données par l'arbre pondéré suivant :
$M$ : La personne est malade
$T$ : Le test est positif
a) La probabilité que la personne soit malade et que le test soit positif est :
1. Le gérant d'un magasin d'informatique a reçu un lot de boîtes de CD-ROM.
$5\%$ des boîtes sont abîmées. Le gérant estime que :
$60\%$ des boîtes abîmées contiennent au moins un CD-ROM défectueux.
$98\%$ des boîtes non abîmées ne contiennent aucun CD-ROM défectueux.
Un client achète une boîte du lot. On désigne par $A$ et $B$ les événements suivants :
$A$ : <> ; $B$ : <>
a) Donner les probabilités suivantes : $P(A)$ ; $P(\overline{A})$ ; $P_A(D)$ ; $P_{\overline{A}}(D)$ ; $P_A(\overline{D})$ ; $P_{\overline{A}}(\overline{D})$
b) Le client constate qu'un des CD-ROM acheté est défectueux.
Quelle est la probabilité pour qu'il ait acheté une boîte abîmée ?
2. Un employé se rend à son travail. S'il est à l'heure, il prend le bus de ramassage gratuit mis à disposition par l'entreprise, s'il est en retard il prend le bus de la ville et il lui en coûte $15~\text{Dh}$.
Si l'employé est à l'heure un jour donné, la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est $\dfrac{1}{5}$, s'il est en retard un jour donné, la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est $\dfrac{1}{20}$.
Pour tout entier $n \geq 1$, on appelle $R_n$ l'événement : <>
On pose : $p_n = P(R_n) , q_n = P(\overline{R}_n) , p_1 = 0$
a) Déterminer les probabilités conditionnelles $P_{R_n}(R_{n+1})$ et $P_{\overline{R}_n}(R_{n+1})$.
b) En utilisant la formule des probabilités composées, déterminer $P(R_{n+1} \cap R_n)$ en fonction de $p_n$, et $P(R_{n+1} \cap \overline{R}_n)$ en fonction de $q_n$.
c) En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :
\[p_{n+1} = \dfrac{1}{5} – \dfrac{3}{20} p_n\]
d) Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :
puis déterminer $\lim\limits_{n \to +\infty} p_n$.
3.3. FORMULE DES PROBABILITÉS TOTALES
Proposition
Proposition 5
Soit $P$ une probabilité définie sur un univers $\Omega$, et soit $(A_1, A_2, \ldots, A_n)$ un système complet d'événements de $\Omega$. Pour tout événement $B \subset \Omega$, on a la formule suivante dite <> :
1) On dispose de $2$ pièces de monnaie. Une des $2$ pièces est équilibrée, l'autre est truquée : elle affiche Pile avec la probabilité $\dfrac{3}{5}$. On choisit au hasard une pièce et on la lance une fois. Calculons la probabilité
Exemple
Exemples
d'obtenir Pile. Pour cela, considérons les événements :
\[P : \text{« obtenir Pile »} \text{et} T : \text{« la pièce est truquée »}\]
Selon les données de l'exemple : $P(T) = P(\overline{T}) = \dfrac{1}{2} , P_T(P) = \dfrac{3}{5} , P_{\overline{T}}(P) = \dfrac{1}{2}$
D'après la formule des probabilités totales (on pourra dessiner un arbre pondéré), on a alors :
2) Une urne $A$ contient 5 boules rouges et 2 boules blanches et une urne $B$ contient 3 boules rouges et 4 boules blanches. On lance un dé équilibré :
Si on obtient 1 ou 2, on tire une boule dans l'urne $A$.
Si on obtient 3, 4, 5 ou 6, on tire une boule dans l'urne $B$.
Calculons la probabilité d'obtenir une boule rouge.
Pour cela, considérons les événements :
\[D : \text{« obtenir 1 ou 2 »} \text{et} R : \text{« la boule tirée est rouge »}\]
Selon les données de l'exemple : $P(D) = \dfrac{2}{6} ; P(\overline{D}) = \dfrac{4}{6} ; P_D(R) = \dfrac{5}{7} ; P_{\overline{D}}(R) = \dfrac{3}{7}$
D'après la formule des probabilités totales (on pourra dessiner un arbre pondéré), on a alors :
3) A un carrefour, une étude statistique sur un feu tricolore montre que :
Si le feu est vert, il y a $99\%$ de chances que l'automobiliste passe.
Si le feu est orange, il y a $30\%$ de chances que l'automobiliste passe.
Si le feu est rouge, il y a $1\%$ de chances que l'automobiliste passe.
Le cycle du feu tricolore dure une minute répartie comme suit : le feu vert dure 25 secondes, l'orange, 5 secondes et le rouge, 30 secondes. On veut calculer la probabilité qu'un automobiliste passe sans s'arrêter à ce feu tricolore.
Pour cela, on considère les événements
\[\begin{aligned}A & : \text{« l'automobiliste passe »} & ; V & : \text{« le feu est vert »} \\
O & : \text{« Le feu est orange »} & ; R & : \text{« le feu est rouge »}\end{aligned}\]
Les trois égalités citées dans la définition 9 ci-dessus sont équivalentes, à conditions bien sûr que $A$ et $B$ soient de probabilités non nulles, ce qui est souvent dans la pratique. Ainsi, si $P(A) \neq 0$, $A$ et $B$ sont indépendants si la probabilité de $B$ et sa probabilité conditionnelle à $A$ sont égales : (<> au sens logique) se manifeste entre deux événements $A$ et $B$, on peut affirmer l'indépendance de ces événements.
L'indépendance n'est en général pas démontrable. Elle constitue un choix (ou une conséquence) de la modélisation probabiliste d'un phénomène aléatoire. Lorsqu'il est demandé de démontrer que deux événements sont indépendants, c'est parce qu'il existe déjà une hypothèse d'indépendance (éventuellement dissimulée) parmi les données du problème.
Lorsque l'énoncé du problème contient des phrases comme <>, <>…, l'indépendance est claire.
Attention ! L'indépendance (notion probabiliste) ne doit pas être confondue avec l'incompatibilité (notion ensembliste). En fait, deux événements incompatibles (et de probabilités non nulles) ne sont jamais indépendants puisque, si tel est le cas de $A$ et $B$, on a : $P(A) = P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = 0$.
Intuitivement, deux événements incompatibles sont dépendants l'un de l'autre puisque la place occupée par l'un ne peut être occupée par l'autre.
Exemple
Exemples
1) On lance deux dés non truqués. On considère les événements :
\[A : \text{« Le premier dé donne un numéro pair »} \text{et} B : \text{« le deuxième dé donne 3 »}\]
Le nombre de résultats possibles est : $\text{Card}\,\Omega = 6^2 = 36$
\[\text{Comme } A \cap B = \{(2;3); (4;3); (6;3)\}\text{, on obtient :} P(A \cap B) = \dfrac{3}{36} = \dfrac{1}{12}.\]
Enfin, et puisque $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \dfrac{1}{12}$, les événements $A$ et $B$ sont indépendants.
2) Une urne contient 13 boules dont 6 noires, 3 blanches et 4 rouges. On tire au hasard et simultanément 4 boules de l'urne. On considère les événements :
\[A : \text{« on obtient deux boules blanches »} \text{et} B : \text{« on obtient deux boules rouges »}\]
Le nombre de résultats possibles est : $\text{Card}\,\Omega = C_{13}^4 = 715$. On a alors :
Comme $P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B)$, alors les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
3) Une pièce de monnaie (truquée ou pas) est lancée deux fois de suite. L'univers est $\Omega = \{PP; PF; FP; FF\}$.
On considère les événements :
\[A : \text{« les deux lancers ne donnent pas le même résultat »} \text{et} B : \text{« le deuxième lancer donne face »}\]
Si la pièce est parfaitement équilibrée, alors : $P(A) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ et $P(B) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ et $P(A \cap B) = \dfrac{1}{4}$.
Ainsi, les événements $A$ et $B$ sont indépendants.
Si la pièce est truquée et qu'elle tombe sur pile avec une probabilité de $\dfrac{3}{4}$, on obtient alors :
Puisque $P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B)$, alors les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
Application
Applications
1. Dans une université, une enquête sur le tabagisme a donné les résultats suivants :
On choisit au hasard l'une des 1000 personnes interrogées.
On note $A$ et $B$ les événements :
\[A : \text{« En réponse à l'enquête, la personne a déclaré être du sexe féminin »}\]
\[B : \text{« En réponse à l'enquête, la personne a déclaré fumeur »}\]
a) $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier votre réponse.
b) Même question pour la même enquête dans une autre université où les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous :
2. Soient $A$ et $B$ deux événements indépendants d'un univers $\Omega$, et $P$ une probabilité définie sur $\Omega$.
Montrer les résultats suivants :
a) $A$ et $\overline{B}$ sont indépendants. ; b) $\overline{A}$ et $B$ sont indépendants.
c) $\overline{A}$ et $\overline{B}$ sont indépendants. ; d) $P(A \cap B) \times P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(A \cap \overline{B}) \times P(\overline{A} \cap B)$.
4.2. ÉPREUVES INDÉPENDANTES – RÉPÉTITION D’UNE ÉPREUVE
Définition
Définition 10
Il y a répétition d'expériences identiques, lorsque la même expérience aléatoire est répétée plusieurs fois de suite. Ces expériences aléatoires successives sont indépendantes lorsque l'issue de l'une quelconque de ces expériences ne dépend pas de l'issue des autres expériences.
Exemple
Exemples
1) On lance 10 fois de suite un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on s'intéresse au nombre de 6 obtenus.
2) On lance une pièce de monnaie équilibrée 100 fois et on s'intéresse au nombre de fois où la pièce retombe sur pile.
Proposition
Proposition 6
Soit $A$ un événement de probabilité $p$ lors d'une épreuve aléatoire, et soit $n$ un entier naturel non nul.
Lorsqu'on répète cette épreuve $n$ fois de manières identiques et indépendantes, alors la probabilité que l'événement $A$ soit réalisé $k$ fois exactement est : $C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$ où $k \in \{0; 1; 2; \dots; n\}$.
Exemple
Exemple
On lance 10 fois de suite un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on s'intéresse au nombre de 6 obtenus.
La probabilité d'obtenir <> 3 fois exactement est : $C_{10}^3 \left(\dfrac{1}{6}\right)^3 \left(\dfrac{5}{6}\right)^7$.
La probabilité de n'obtenir jamais <> est : $C_{10}^0 \left(\dfrac{1}{6}\right)^0 \left(\dfrac{5}{6}\right)^{10} = \left(\dfrac{5}{6}\right)^{10}$.
La probabilité d'obtenir <> une fois exactement est : $C_{10}^1 \left(\dfrac{1}{6}\right)^1 \left(\dfrac{5}{6}\right)^9$.
5.LES VARIABLES ALÉATOIRES
5.1. INTRODUCTION
Remarque
À retenir
La première question qu'on peut poser dans ce chapitre est la suivante :
\[\text{« Pourquoi les variables aléatoires ? A quoi servent-elles ? »}\]
Le besoin de calculs, comme par exemple celui de la moyenne associée aux différents résultats possibles d'une épreuve aléatoire, impose que ce résultat, symbolisé ou non par un nombre, soit mis sous forme numérique. C'est pourquoi on souhaitera presque toujours, traduire par une valeur numérique l'événement réalisé.
Pour un lancer de pièce de monnaie, on peut retenir par exemple comme codage des résultats : $\text{pile} \mapsto 0$, $\text{face} \mapsto 1$. Pour un lancer de dé, il y a un codage naturel puisque le résultat a ici un caractère numérique : $\text{face 1} \mapsto 1, \dots, \text{face 6} \mapsto 6$. Mais on peut bien sûr envisager d'autres codages, comme par exemple noter par $0$ tout résultat pair et par $1$ tout résultat impair.
Bien entendu la valeur numérique associée à un résultat est arbitraire et correspond à un codage des événements qui va se faire au moyen d'une certaine application, notée usuellement $X$, qui va associer un nombre à chaque événement élémentaire, soit :
Le résultat $\omega$ ayant un caractère aléatoire, la valeur numérique $X(\omega)$ associée a aussi un caractère aléatoire. Il serait donc intéressant de pouvoir calculer la probabilité que $X$ prenne une certaine valeur ou appartienne à un certain intervalle.
Pour pouvoir définir cette probabilité sur l'ensemble image $X(\Omega) \subset \mathbb{R}$, il faut pouvoir revenir en arrière sur l'ensemble de départ puisque la probabilité est définie sur $\Omega$. Il va donc falloir imposer une certaine condition à cette application qui sera alors appelée variable aléatoire.
Le rôle extrêmement important que jouent les variables aléatoires est la modélisation d'un caractère quantitatif. En effet, si on considère une population $\Omega$ sur laquelle est défini un caractère quantitatif $X$, alors $X$ est une application de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ qui, à tout individu $\omega$, associe un réel $x = X(\omega) \in X(\Omega)$ ensemble des valeurs du caractère. Cette application modélise le caractère d'une façon déterministe en ce sens que, si on connaît l'individu $\omega$, on connaît aussitôt la valeur de $x$.
Définition
Définition 11
Soit $\Omega$ l'univers d'une expérience aléatoire.
Une variable aléatoire réelle définie sur $\Omega$ est une application $X$ définie sur $\Omega$ à valeurs dans $\mathbb{R}$.
L'ensemble $X(\Omega)$ des valeurs prises par $X$ s'appelle le support de la variable aléatoire $X$.
Remarque
Remarques
Noter bien qu'une variable aléatoire est une application définie sur $\Omega$ et non une variable numérique.
Comme $\Omega$ est fini, il en est de même de son image par l'application $X$. En notant $n$ le cardinal de $X(\Omega)$, on écrira d'habitude $X(\Omega) = \{x_1; x_2; \dots; x_n\}$. Dans la plupart des exemples concrets, on a $X(\Omega) \subset \mathbb{N}$ ou, plus rarement, $X(\Omega) \subset \mathbb{Z}$.
Pour insister sur l'importance des valeurs prises par $X$ et non sur les valeurs des antécédents, l'événement $\{\omega \in \Omega \, / \, X(\omega) = x\}$ sera noté tout simplement $(X = x)$ ou parfois $[X = x]$.
De même, les événements $\{\omega \in \Omega \, / \, X(\omega) \leq x\}$ et $\{\omega \in \Omega \, / \, x' < X(\omega) < x\}$ seront notés respectivement $(X \leq x)$ et $(x' < X < x)$.
Exemple
Exemples
1) Une urne contient 100 boules de différentes couleurs à savoir : 10 bleues, 10 rouges, 5 orange, 15 vertes, 20 noires, 40 marrons.
Expérience aléatoire : tirer une boule dans l'urne.
Résultat ($\omega \in \Omega$) : couleur de la boule extraite de l'urne.
On a donc $\Omega = \{b, r, o, v, n, m\}$ (La couleur est identifiée par sa première lettre).
A chaque élément $\omega \in \Omega$, on associe un nombre qui représente un gain en DH, ce nombre est négatif s'il s'agit d'une perte.
\[b \mapsto X(b) = 100 ; r \mapsto X(r) = 300 ; o \mapsto X(o) = -200\]
\[v \mapsto X(v) = 100 ; n \mapsto X(n) = -200 ; m \mapsto X(m) = 50\]
La variable aléatoire $X$ est bien définie comme une application de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$.
La variable aléatoire $X$ peut prendre quatre valeurs :
\[x_1 = -200 ; x_2 = 50 ; x_3 = 100 ; x_4 = 300\]
Ces valeurs de $X$ apparaissent de façon aléatoire avec les expériences.
Les éléments <> et <> ont la même image : $X(o) = X(n) = -200$
2) Un joueur lance deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On a : $\Omega = \{(x_1, x_2) \, / \, x_1, x_2 \in \{1, 2, \dots, 6\}\}$ et $\text{Card}\,\Omega = 36$. Considérons l'application $X$ qui à chaque résultat possible de ces lancers associe la somme de chiffres apparus :
Soit $X$ une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé fini $(\Omega; P)$, et $X(\Omega)$ son support.
On appelle loi de probabilité de $X$ (ou loi de $X$ ou distribution de $X$) l'ensemble des couples $(x_i, p_i)$ où :
\[x_i \in X(\Omega) \text{et} p_i = P(X = x_i)\]
Remarque
Remarque
En pratique, pour déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$, on détermine les valeurs $x_i$ susceptibles d'être prises par $X$, puis les probabilités $p_i = P(X = x_i)$. On peut résumer les résultats obtenus sous forme d'un tableau donnant les probabilités des différents éléments de l'ensemble $X(\Omega)$ :
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$x_i$ & $x_1$ & $x_2$ & $\dots$ & $x_n$
\hline
$P_i$ & $p_1$ & $p_2$ & $\dots$ & $p_n$
\hline
\end{tabular}
Comme les événements $(X = x_i)$, où $i \in \{1, 2, \dots, n\}$, forment un système complet d'événements alors :
Un dé cubique, non truqué et non standard, porte inscrits sur ses faces les nombres :
\[-2 ; -2 ; 1 ; 1 ; 1 ; 4\]
Soit $X$ la variable aléatoire égale au numéro que ce dé affiche après un lancer. Ici $\Omega = \{-2; -2; 1; 1; 1; 4\}$ et $\text{Card}\,\Omega = 6$. L'ensemble des valeurs prises par $X$ est : $X(\Omega) = \{-2, 1, 4\}$.
Calculons maintenant les probabilités : $P(X = -2) ; P(X = 1) ; P(X = 4)$
On a : $P(X = -2) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} ; P(X = 1) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} ; P(X = 4) = \dfrac{1}{6}$
\underline{Loi de probabilité de $X$ :}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$x_i$ & $-2$ & $1$ & $4$
\hline
$P_i$ & $\dfrac{1}{3}$ & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{1}{6}$
\hline
\end{tabular}
Un joueur joue à un jeu où la probabilité de gagner est $0,32$. S'il gagne, il reçoit $40\,DH$, sinon il perd $20\,DH$. Soit $G$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur (une perte est un gain négatif).
Déterminons la loi de probabilité de $G$ :
D'après l'énoncé, on a $G(\Omega) = \{-20, 40\}$.
La loi de probabilité de $G$ est :
[Figure : Photographie montrant des pièces de monnaie (Dirhams marocains).]
Un marchand de glaces propose $9$ parfums au choix pour les glaces en cornet.
Trois clients choisissent chacun un des parfums proposés.
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de parfums différents choisis par les trois clients.
Si on désigne par $\Omega$ l'univers des possibles, on obtient $\text{Card}\,\Omega = 9^3 = 729$.
[Figure : Photographie d'un chariot de marchand de glaces.]
L'ensemble des valeurs prises par $X$ est : $X(\Omega) = \{1, 2, 3\}$
Calculons maintenant les probabilités :
\[P(X = 1) ; P(X = 2) ; P(X = 3)\]
On a : $(X = 1) = \{(\text{parfum } 1, \text{parfum } 1, \text{parfum } 1) ; \dots ; (\text{parfum } 9, \text{parfum } 9, \text{parfum } 9)\}$
Donc :
\[P(X = 1) = \dfrac{9}{729} = \dfrac{1}{81}\]
L'événement $(X = 3)$ est constitué des arrangements de $3$ parfums choisis parmi $9$.
Donc : $P(X = 3) = \dfrac{A_9^3}{729} = \dfrac{56}{81}$. Puisque on a $X(\Omega) = \{1, 2, 3\}$ alors :
Une urne contient quatre boules rouges et six boules blanches. On tire successivement et avec remise deux boules de l'urne. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées.
On a ici $X(\Omega) = \{0, 1, 2\}$. On note :
$R_1$ l'événement « on obtient une boule rouge au premier tirage »
$R_2$ l'événement « on obtient une boule rouge au deuxième tirage »
Dans ce cas, on a :
Un dé cubique est truqué de sorte que la probabilité d'obtenir $k \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ soit proportionnelle à $k$.
On note $X$ la variable aléatoire correspondant au numéro obtenu. Déterminer la loi de $X$.
On lance simultanément deux dés à $6$ faces. On appelle $X$ la variable aléatoire égale à la somme des numéros obtenus et $Y$ la variable aléatoire égale au maximum des numéros obtenus.
Déterminer la loi de probabilité de $X$.
Déterminer la loi de probabilité de $Y$.
On tire $4$ boules d'une urne contenant $3$ boules blanches et $2$ boules noires indiscernables au toucher.
Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues.
[Figure : Illustration d'une urne contenant 3 boules blanches et 2 boules noires.]
Dans chacun des cas suivants, déterminer la loi de probabilité de $X$ :
Si le tirage se fait successivement et avec remise.
Si le tirage se fait successivement et sans remise.
\textbf{Interprétation de l'espérance mathématique}
L'espérance mathématique $E(X)$ est la moyenne des valeurs prises par la variable aléatoire $X$ pondérées par la probabilité que $X$ prenne cette valeur. Dans le cas où $E(X) = 0$, on dit que la variable aléatoire $X$ est centrée.
On notera que l'espérance ne dépend pas directement de la variable aléatoire mais seulement de sa loi.
À l'origine des probabilités, la quantité $E(X)$ a été introduite pour traduire la notion de gain moyen, ou espérance de gain, la variable aléatoire $X$ représentant la valeur du gain à un certain jeu. Dans un jeu au hasard, lorsque $E(X) = 0$, le jeu est dit équitable. En revanche, si $E(X) < 0$ le jeu est défavorable au joueur. Pour les économistes et statisticiens, $E(X)$ est souvent noté $\mu$ ou $m$. Bien que le terme de moyenne soit communément employé pour désigner l'espérance mathématique, la signification n'est pas la même que la moyenne utilisée en statistique descriptive. Cette dernière se calcule avec des fréquences observées.
Exemple
Exemples
Le tableau suivant présente la variable aléatoire $X$ égale au gain algébrique lors d'un jeu : (les valeurs sont données en $DH$)
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$x_i$ & $-200$ & $50$ & $100$ & $300$
\hline
$P_i$ & $0,25$ & $0,40$ & $0,25$ & $0,10$
\hline
\end{tabular}
L'espérance mathématique de $X$ est :
La racine carrée de la variance est appelée écart-type de $X$ et on la note $\sigma(X)$.
On a donc :
\[\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\]
Remarque
À retenir
\textbf{Interprétation de la variance mathématique}
La variance d'une variable aléatoire est toujours positive. C'est la moyenne des carrés de la distance entre les valeurs de $X$ et l'espérance de $X$. La variance est donc une mesure de la dispersion de $X$ par rapport à $E(X)$. Plus la variance est élevée, plus la dispersion est grande et plus les réalisations $x$ de la variable aléatoire $X$ sont dispersées.
A titre d'exemple, considérons les deux variables aléatoires discrètes $X$ et $Y$ dont les lois de probabilité sont données par les tableaux suivants :
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$x_i$ & $2$ & $4$ & $6$
\hline
$P(X = x_i)$ & $\dfrac{1}{4}$ & $\dfrac{1}{4}$ & $\dfrac{1}{2}$
\hline
\end{tabular}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$y_k$ & $-4$ & $3$ & $33$
\hline
$P(Y = y_k)$ & $\dfrac{1}{2}$ & $\dfrac{1}{3}$ & $\dfrac{1}{6}$
\hline
\end{tabular}
Un calcul élémentaire montre que les variables $X$ et $Y$ ont même espérance : $E(X) = E(Y) = 4,5$
Par contre, le calcul de la variance à l'aide de la définition ci-dessus donne : $V(X) = \dfrac{11}{4}$ et $V(Y) = \dfrac{689}{4}$.
Ces dernières indiquent une dispersion de $Y$ autour de sa moyenne beaucoup plus grande que celle de $X$.
Pour le calcul de la variance, la formule $V(X) = \sum_{i=1}^n p_i \left(x_i – E(X)\right)^2$ est un peu lourde et aboutit parfois à des calculs compliqués. C'est pourquoi il est préférable d'utiliser la formule développée suivante nommée « formule de Koenig »
Proposition
Proposition 7
Soit $X$ une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé fini $(\Omega; P)$ telle que :
\[X(\Omega) = \{x_1, x_2, \dots, x_n\} \text{et} p_i = P(X = x_i) \text{ pour tout } i \in \{1, 2, \dots, n\}\]
On a alors la formule suivante dite « formule de Koenig » :
\textbf{A.} Pour une demande aléatoire de $x$ tonnes de denrées périssables, un grossiste commande $y$ tonnes de denrées chaque jour avec $y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Soit $X$ la variable aléatoire « demande en tonnes » et sa loi de probabilité :
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$x_i$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$
\hline
$P_i$ & $0,02$ & $0,15$ & $0,25$ & $0,30$ & $0,15$ & $0,10$ & $0,03$
\hline
\end{tabular}
Calculer la probabilité que le grossiste vende moins de trois tonnes de denrées dans la journée.
Calculer le nombre moyen de tonnes vendues chaque jour.
Calculer l'écart-type de $X$
Le grossiste gagne $5000\,Dhs$ par tonne vendue et perd $2000\,Dhs$ par tonne non vendue.
Soit la variable $G_y : \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\} \to \mathbb{R}$ dont les valeurs sont égales au bénéfice lorsque $y$ tonnes sont commandées pour une journée.
Construire un tableau donnant les valeurs prises par $G_y$ pour $y \in \{1, 2, \dots, 6\}$ ainsi que les probabilités associées.
[Figure : Photographie de denrées alimentaires et bocaux.]
Calculer $E(G_y)$ pour $y \in \{1, 2, \dots, 6\}$.
Pour quelle valeur de $y$ l'espérance de gain est maximale ?
\textbf{B.} On lance simultanément deux dés à $6$ faces.
On appelle $Z$ la variable aléatoire égale à la valeur absolue de la différence des numéros obtenus.
Déterminer la loi de probabilité de $Z$.
Calculer l'espérance mathématique de $Z$.
En déduire la variance et l'écart-type de $Z$.
5.4. FONCTION DE RÉPARTITION
Définition
Définition 15
Soit $X$ une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé fini $(\Omega; P)$.
La fonction $F_X$ définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ par : $F_X(x) = P(X \le x)$ est appelée la fonction de répartition de $X$.
Remarque
Remarques
La définition 14 ci-dessus est justifiée car, pour tout réel $x$, $(X \le x)$ est un événement, donc on peut calculer sa probabilité.
La fonction de répartition $F_X$ est définie sur $\mathbb{R}$ et non seulement sur le support $X(\Omega)$ (ensemble des valeurs prises par $X$).
Exemple
Exemple
On considère le tableau suivant donnant la loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ :
Déterminons la fonction de répartition $F_X$ de la variable aléatoire $X$ :
On a par définition, pour tout $x \in \mathbb{R} : F_X(x) = P(X \le x)$. Il s'ensuit donc :
Si $x < -2$ : $F_X(x) = 0$
Si $-2 \le x < -1$ : $F_X(x) = \dfrac{1}{3}$
Si $-1 \le x < 2$ : $F_X(x) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2}$
Si $2 \le x < 3$ : $F_X(x) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$
Si $3 \le x$ : $F_X(x) = 1$
Par suite, la fonction de répartition de $X$ est donnée par :
Vérifier que le tableau représente bien une distribution de probabilité.
Calculer les probabilités suivantes : $P(1 \le X \le 3)$ ; $P(X \ge 2)$ ; $P_{(X \ge 2)}(X = 4)$.
Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ et l'écart-type $\sigma(X)$.
Déterminer la fonction de répartition $F_X$ de $X$ puis tracer sa courbe.
On lance une pièce de monnaie $4$ fois de suite. Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque éventualité, le nombre de fois d'apparition de la face $F$.
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
Déterminer la fonction de répartition $F_X$ de $X$ puis tracer sa courbe.
Quelle est la probabilité d'obtenir la face $F$ au plus trois fois ?
Dix chevaux, quatre blancs et six noirs entrent sur la piste d'un cirque un par un et au hasard.
On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de chevaux blancs précédant le premier cheval noir.
Préciser la loi de $X$ puis déterminer la fonction de répartition $F_X$ de $X$ et tracer son graphe.
VI.LA LOI BINOMIALE
1.SITUATION TYPE
Remarque
À retenir
Considérons une urne contenant un nombre fini de boules blanches et de boules noires supposées indiscernables au toucher, la proportion des boules blanches dans l'urne étant $p$ et la proportion de boules noires $q = 1 – p$. Soit l'expérience qui consiste à tirer $n$ boules avec remise dans cette urne. On note $X$ le nombre de boules blanches obtenues.
On a $X(\Omega) = \{0; 1; \ldots; n\}$ et, pour tout $k \in X(\Omega) : P(X = k) = C_n^k p^k (1 – p)^{n – k}$. En effet :
L'événement $(X = k)$ est la réalisation disjointe des événements $A_{i_1, i_2, \ldots, i_k}$ :
« on a tiré des boules blanches aux tirages numéros $i_1, i_2, \ldots, i_k$ et des boules noires aux $n – k$ autres tirages »
pour $1 \le i_1 < \ldots < i_k \le n$. On a $P(A_{i_1, i_2, \ldots, i_k}) = p^k q^{n – k}$, car de les résultats des différents tirages sont indépendants, et comme $A_{i_1, i_2, \ldots, i_k}$ est la réunion de $C_n^k$ événements (qui correspondent au nombre de façons de choisir $i_1, i_2, \ldots, i_k$ dans $\{1; 2; \ldots; n\}$, c'est-à-dire les places des tirages donnant des boules blanches parmi les $n$ tirages), on obtient $P(X = k) = C_n^k p^k q^{n – k}$.
Définition
Définition 16
Soit $X$ une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé fini $(\Omega; P)$, et $n \in \mathbb{N}^*$.
On dit que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ si on a :
Cela montre bien qu'il s'agit d'une loi de probabilité.
Dans la pratique, on se donne un événement $A$ associé à une expérience aléatoire et qui se réalise avec la probabilité $p$. On répète cette expérience $n$ fois de manière indépendante. On désigne par $X$ la variable aléatoire réelle qui compte le nombre de fois où $A$ se réalise. Alors la variable $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.
Exemple
Exemples
On lance $50$ fois, de manière indépendante, une pièce truquée dont la probabilité d'obtenir face est $0,4$, et on note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de faces obtenues durant ces $50$ lancers. Alors $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 50$ et $p = 0,4$. Par conséquent :
Une fabrique de microprocesseurs utilise un procédé qui produit en moyenne $2\%$ de pièces défectueuses. Toutes les deux heures, on choisit au hasard et avec remise $50$ pièces parmi les microprocesseurs produits.
Le nombre de pièces défectueuses trouvées est une variable aléatoire $X$.
[Figure : Illustration d'un microprocesseur/composant électronique.]
Déterminons la loi de la variable aléatoire $X$ :
On a $X(\Omega) = \{0; 1; \ldots; 50\}$. On considère l'événement $A : \text{« la pièce est défectueuse »}$.
Par l'énoncé, $X$ est égale au nombre de réalisations de l'événement $A$ en $50$ expériences indépendantes.
On en déduit que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 50$ et $p = P(A) = \dfrac{2}{100} = 0,02$. De plus,
On a pour tout $k \in X(\Omega) : P(X = k) = C_{50}^k (0,02)^k (1 – 0,02)^{50 – k}$
On adopte la règle de contrôle de qualité suivante : la production sera arrêtée si l'échantillon contient au moins $3$ pièces défectueuses. Dans ce cas, la probabilité que la production soit arrêtée est donc :
A la livraison d'un nombre très important de colis dont $1\%$ sont endommagés, on prélève au hasard un échantillon de $50$ colis.
On admet que l'on peut assimiler ce prélèvement à $50$ tirages avec remise.
Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de colis endommagés.
[Figure : Illustration de colis de livraison endommagés ou en entrepôt.]
On a $Y(\Omega) = \{0; 1; \ldots; 50\}$. On considère l'événement $A : \text{« le colis est endommagé »}$.
Par l'énoncé, $Y$ est égale au nombre de réalisations de l'événement $A$ en $50$ expériences indépendantes.
On en déduit que $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 50$ et $p = P(A) = \dfrac{1}{100} = 0,01$. De plus :
On a pour tout $k \in Y(\Omega) : P(Y = k) = C_{50}^k (0,01)^k (1 – 0,01)^{50 – k}$
Considérons les événements :
$E : \text{« L'échantillon ne comporte aucun colis endommagé »}$
$F : \text{« L'échantillon comporte un seul colis endommagé »}$
$G : \text{« L'échantillon comporte au moins deux colis endommagés »}$
Si la variable aléatoire $X$ suit la loi de Binomiale de paramètres $n$ et $p$ alors :
\[E(X) = np \text{et} V(X) = np(1 – p)\]
Application
Applications
Un sac contient $7$ boules blanches et $3$ boules noires. On tire une boule au hasard et on répète l'opération avec remise. Soit $X$ le nombre de boules blanches obtenues en $6$ tirages.
Préciser la loi de $X$. On donnera les valeurs prises par $X$ et pour chacune de ces valeurs de $P(X = k)$.
Calculer la probabilité d'obtenir :
$5$ boules blanches en $6$ tirages.
Au plus $4$ boules blanches en $6$ tirages.
Ni plus de $5$ boules ni moins de $2$ boules en $6$ tirages.
Déterminer l'espérance mathématique $E(X)$ et la variance $V(X)$.
