Objectifs du chapitre
Cours de nombres complexes — partie 2 pour 2ème Bac Sciences Mathématiques B.
L'objectif est de maîtriser les définitions, les méthodes de calcul, les exemples corrigés et les exercices classiques du programme de 2ème Bac Sciences Mathématiques. Les formules importantes sont données en LaTeX pour un affichage MathJax propre.
IV.Conjugué d’un nombre complexe
Conjugué
Si \(z=x+iy\), avec \(x,y\in\mathbb{R}\), le conjugué de \(z\) est :
\[ \overline{z}=x-iy. \]
Propriétés
Pour tous \(z,z'\in\mathbb{C}\) :
\[ \overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}, \overline{zz'}=\overline{z}\,\overline{z'}, \overline{\overline{z}}=z. \]
De plus :
\[ z+\overline{z}=2\operatorname{Re}(z), z-\overline{z}=2i\operatorname{Im}(z). \]
V.Module d’un nombre complexe
Module
Si \(z=x+iy\), le module de \(z\) est :
\[ |z|=\sqrt{x^2+y^2}. \]
Géométriquement, si \(M\) est le point d'affixe \(z\), alors :
\[ |z|=OM. \]
Propriétés du module
Pour tous \(z,z'\in\mathbb{C}\) :
\[ |z|^2=z\overline{z}, |zz'|=|z|\,|z'|, |\overline{z}|=|z|. \]
Si \(z'
e0\), alors :
\[ \left|rac{z}{z'}
ight|=rac{|z|}{|z'|}. \]
Exemple
Pour \(z=3-4i\), on a :
\[ |z|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5. \]
Et :
\[ z\overline{z}=(3-4i)(3+4i)=25=|z|^2. \]
VI.Forme trigonométrique
1.Argument
Argument
Soit \(z
e0\) et soit \(M\) son point image. Un argument de \(z\) est une mesure de l'angle orienté :
\[ (ec{u},\overrightarrow{OM}). \]
On le note \(\arg(z)\), défini modulo \(2\pi\).
2.Forme trigonométrique
Écriture trigonométrique
Si \(z
e0\), \(r=|z|\) et \( heta\) est un argument de \(z\), alors :
\[ z=r(\cos heta+i\sin heta). \]
Passage à la forme trigonométrique
Pour \(z=1+i\sqrt3\), on a :
\[ |z|=2. \]
Comme \(\cos heta=rac12\) et \(\sin heta=rac{\sqrt3}{2}\), un argument est \( heta=rac{\pi}{3}\).
Donc :
\[ z=2\left(\cosrac{\pi}{3}+i\sinrac{\pi}{3}
ight). \]
VII.Équations du second degré dans \(\mathbb{C}\)
Résolution
Dans \(\mathbb{C}\), toute équation du second degré
\[ az^2+bz+c=0 (a
e0) \]
admet deux racines complexes comptées avec multiplicité.
On pose \(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta\) admet une racine carrée \(\delta\), alors :
\[ z_1=rac{-b-\delta}{2a}, z_2=rac{-b+\delta}{2a}. \]
VIII.Notation exponentielle
Notation exponentielle
Pour tout réel \( heta\), on note :
\[ e^{i heta}=\cos heta+i\sin heta. \]
Ainsi, si \(z
e0\), sa forme exponentielle est :
\[ z=re^{i heta}, r=|z|. \]
Formules de Moivre et Euler
Pour tout \(n\in\mathbb{Z}\) :
\[ (\cos heta+i\sin heta)^n=\cos(n heta)+i\sin(n heta). \]
Formules d'Euler :
\[ \cos heta=rac{e^{i heta}+e^{-i heta}}2, \sin heta=rac{e^{i heta}-e^{-i heta}}{2i}. \]
IX.Transformations remarquables du plan
Translation, homothétie et rotation
Dans le plan complexe :
– une translation de vecteur d'affixe \(a\) s'écrit \(z'=z+a\) ;
– une homothétie de centre \(\Omega\) d'affixe \(\omega\) et de rapport \(k\) s'écrit \(z'-\omega=k(z-\omega)\) ;
– une rotation de centre \(\Omega\), d'angle \( heta\), s'écrit :
\[ z'-\omega=e^{i heta}(z-\omega). \]
Exercices rapides
1. Calculer le module et un argument de \(2-2i\).
2. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2+2z+5=0\).
3. Écrire \(1+i\) sous forme exponentielle, puis calculer \((1+i)^8\).
4. Identifier la transformation : \(z'=iz+2-i\).