Nombres complexes (Partie 1)

• On a : $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$
• L'addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes.
• Contrairement à $\mathbb{R}$, l'ensemble $\mathbb{C}$ n'est usuellement muni d'aucune relation d'ordre et nous ne pourrons donc pas dire qu'un nombre complexe est inférieur à un autre ou non plus qu'il est positif.
• Les nombres complexes $x + iy$ et $x + yi$ où $(x; y) \in \mathbb{R}^2$ représentent le même nombre complexe.

On a :

• Soit $z$ un nombre complexe et $\vec{u}(z)$ et $\vec{v}(-z)$ deux vecteurs du plan. On sait que $\text{Aff}\left(\vec{0}\right) = 0$ et $z + (-z) = 0$, donc d'après la proposition 6, on en déduit que $\vec{u} + \vec{v} = \vec{0}$. Ainsi $\vec{v} = -\vec{u}$ et alors : $\text{Aff}\left(-\vec{u}\right) = -\text{Aff}\left(\vec{u}\right)$.
• Soit $M(z)$ et $M'(-z)$. Comme $O(0)$ et $z + (-z) = 0$ alors $\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OM'} = \overrightarrow{OO} = \vec{0}$ et par suite : $\overrightarrow{OM'} = -\overrightarrow{OM}$. Ainsi, le point $M'(-z)$ est le symétrique de point $M(z)$ par rapport à $O$.
• On peut aussi interpréter géométriquement l'addition de la manière suivante : Étant donné un vecteur $\vec{u}$ d'affixe $a$, la translation de vecteur $\vec{u}$ transforme le point $M$, d'affixe $z$, en le point $M'$, d'affixe $z' = z + a$.

A l'aide des propositions 6 et 8, on peut établir le résultat suivant : Si $\vec{v}_1$ et $\vec{v}_2$ sont deux vecteurs du plan, alors pour tout $(\lambda_1; \lambda_2) \in \mathbb{R}^2$ :

\subsubsection*{Interprétation géométrique de la conjugaison} Soit $z = x + iy$ un nombre complexe avec $(x; y) \in \mathbb{R}^2$. La symétrie par rapport à l'axe des abscisses transforme le point $M(x; y)$ en $N(x; -y)$, d'affixe $\text{Aff}(N) = \text{Aff}(M)$. La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées transforme le point $M(x; y)$ en $Q(-x; y)$, d'affixe $\text{Aff}(Q) = -\text{Aff}(M)$.

\subsubsection*{Interprétation géométrique du module} Étant donné $z \in \mathbb{C}$, d'image $M$, le module de $z$ est la distance $OM$ : $|z| = \|\overrightarrow{OM}\| = OM$ Si $\vec{u}$ est un vecteur d'affixe $z$ alors : $|z| = \|\vec{u}\|$ À partir de cette interprétation géométrique du module, on peut déduire les résultats suivants :

Étant donné deux nombres complexes $z$ et $z'$, on a : $\left||z|-|z'|\right| \le |z-z'| \le |z|+|z'|$

On rappelle que le plan complexe $\mathscr{P}$ est rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{i},\vec{j})$.

Tout nombre complexe non nul admet une infinité de formes trigonométriques. Si $z \in \mathbb{C}^*$ alors : $ z = |z|\left(\cos\left(\arg(z)\right)+i\sin\left(\arg(z)\right)\right)$

Soit $z$ un nombre complexe non nul. Si $z = \left[r;\theta\right]$ alors : $\overline{z} = \left[r;-\theta\right]$ et $-z = \left[r;\pi+\theta\right]$. En particulier, on a : $ \arg(\overline{z}) \equiv -\arg(z) \ [2\pi] \text{et} \arg(-z) \equiv \pi+\arg(z) \ [2\pi]$

Soit $z$ un nombre complexe de forme algébrique $x+iy$ et soit $M(z)$ son image dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{u},\vec{v})$.

• Par définition du module, on a : $OM = \sqrt{x^2+y^2} = |z|$.
• Pour tout point $A(z_A)$ et tout point $B(z_B)$ du plan complexe, on a :
  \[AB = \|\vec{AB}\| = |z_{\vec{AB}}| = |z_B-z_A|\]
  En particulier, si $A$ et $B$ appartiennent à l'axe réel, on retrouve la distance absolue entre deux réels.
• Pour tout $r \in \mathbb{R}_+^*$, l'ensemble des points $M(z)$ du plan complexe tels que $|z-z_A|=r$ est le cercle de centre $A(z_A)$ et de rayon $r$.
• Pour tout point $A(z_A)$ et tout point $B(z_B)$ du plan complexe, l'ensemble des points $M(z)$ du plan complexe tels que $|z-z_A|=|z-z_B|$ est la médiatrice du segment $[AB]$.

La formule du binôme de Newton, la formule de Moivre et les formules d'Euler permettent de transformer certaines expressions trigonométriques. Développement de $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ : Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\theta \in \mathbb{R}$. On a : En séparant les parties réelles et imaginaires, on en déduit les expressions de $\cos(n\theta)$ et $\sin(n\theta)$ en fonction de $\cos\theta$ et $\sin\theta$. Voici quelques exemples pratiques :

• On a : $\cos(2\theta)+i\sin(2\theta) = (\cos\theta+i\sin\theta)^2 = \cos^2\theta – \sin^2\theta + 2i\sin\theta\cos\theta$, dont on déduit $\cos(2\theta) = \cos^2\theta – \sin^2\theta = 2\cos^2\theta – 1 = 1 – 2\sin^2\theta$ et $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$.
• On a : $\cos(3\theta)+i\sin(3\theta) = (\cos\theta+i\sin\theta)^3$, donc :
  \[\cos(3\theta)+i\sin(3\theta) = \cos^3\theta + 3i\cos^2\theta\sin\theta – 3\cos\theta\sin^2\theta – i\sin^3\theta\]
  On en déduit :
  \[\begin{cases} \cos(3\theta) = \cos^3\theta – 3\cos\theta\sin^2\theta = \cos^3\theta – 3\cos\theta(1-\cos^2\theta) = 4\cos^3\theta – 3\cos\theta \\ \sin(3\theta) = 3\cos^2\theta\sin\theta – \sin^3\theta = 3(1-\sin^2\theta)\sin\theta – \sin^3\theta = -4\sin^3\theta + 3\sin\theta \end{cases}\]

On peut démontrer la formule plus générale suivante : (à titre d'exercice) Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \textbf{Linéarisation de $\cos^m\theta$, $\sin^m\theta$ et $\cos^m\theta\sin^n\theta$ pour $(m;n) \in \mathbb{N}^2$ :} Linéariser une expression du genre $\cos^m\theta$, $\sin^m\theta$ et $\cos^m\theta\sin^n\theta$, c'est la transformer en somme algébrique de termes du genre $a\cos(p\theta) + b\sin(q\theta)$ avec $(a;b) \in \mathbb{R}^2$ et $(p;q) \in \mathbb{N}^2$. Pour linéariser ces expressions, on utilise les formules d'Euler pour en déduire : On développe les expressions obtenues grâce au binôme de Newton, puis on fait réapparaître les fonctions cosinus et sinus. Voici quelques exemples pratiques :

• Linéarisation de $\cos^4 x$ :
  \[\cos^4 x = \left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}\left(\left(e^{ix}\right)^4 + 4\left(e^{ix}\right)^3 e^{-ix} + 6\left(e^{ix}\right)^2\left(e^{-ix}\right)^2 + 4e^{ix}\left(e^{-ix}\right)^3 + \left(e^{-ix}\right)^4\right)\]
  \[=\frac{1}{16}\left(e^{4ix}+e^{-4ix}+4\left(e^{2ix}+e^{-2ix}\right)+6\right) = \frac{1}{16}(2\cos(4x)+8\cos(2x)+6)\]
  Par suite : $\cos^4 x = \frac{1}{8}(\cos(4x)+4\cos(2x)+3)$
• Linéarisation de $\sin^5 x$ :
  \[\sin^5 x = \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^5\]
  \[=\frac{-1}{32i}\left(\left(e^{ix}\right)^5 – 5\left(e^{ix}\right)^4 e^{-ix} + 10\left(e^{ix}\right)^3\left(e^{-ix}\right)^2 – 10\left(e^{ix}\right)^2\left(e^{-ix}\right)^3 + 5e^{ix}\left(e^{-ix}\right)^4 – \left(e^{-ix}\right)^5\right)\]
  \[=\frac{-1}{32i}\left(e^{5ix}-5e^{3ix}+10e^{ix}-10e^{-ix}+5e^{-3ix}-e^{-5ix}\right)\]
  \[=\frac{-1}{32i}\left(e^{5ix}-e^{-5ix}-5\left(e^{3ix}-e^{-3ix}\right)+10\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)\right)\]
  Par suite : $\sin^5 x = -\frac{1}{16}(\sin(5x)-5\sin(3x)+10\sin x)$
• Linéarisation de $\cos^2(x)\sin^3(x)$ : On a : $\cos^2 x = \left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\left(e^{2ix}+2+e^{-2ix}\right) = \frac{1}{4}(2\cos(2x)+2) = \frac{1}{2}(\cos(2x)+1)$ Et : $\sin^3 x = \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^3 = -\frac{1}{8i}\left(e^{3ix}-3e^{ix}+3e^{-ix}-e^{-3ix}\right) = -\frac{1}{4}(\sin(3x)-3\sin x)$ Il s'ensuit donc :
  \[\cos^2 x \sin^3 x = \left(\frac{1}{2}(\cos(2x)+1)\right)\left(-\frac{1}{4}(\sin(3x)-3\sin x)\right)\]
  \[=-\frac{1}{8}(\cos(2x)\sin(3x)-3\cos(2x)\sin(x)+\sin(3x)-3\sin(x))\]
  Et puisque : $\cos(2x)\sin(3x) = \frac{1}{2}(\sin(5x)+\sin x)$ et $\cos(2x)\sin x = \frac{1}{2}(\sin(3x)-\sin x)$ Alors : $\cos^2(x)\sin^3(x) = -\frac{1}{16}(\sin(5x)-\sin(3x)-2\sin x)$

Les racines $n^{\text{ième}}$ de l'unité sont les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $z^n = 1$.

6. a) Déterminer les racines cubiques du nombre complexe : $a = \dfrac{-\sqrt{2}}{16}(1+i)$ b) En déduire les valeurs de $\cos\dfrac{13\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{13\pi}{12}$. 7. On considère dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante : $(E): z^3 = 2-11i$ a) Vérifier que $z_0 = 2-i$ est une solution de $(E)$. b) En déduire l'ensemble solution de l'équation $(E)$. 8. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, résoudre l'équation $z^{2n+1} + 1 = 0$. 9. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $(E)\; z^3 = \bar{z}$

On sait que tout nombre complexe non nul $Z$ admet exactement deux racines carrées opposées. Ce sont les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation $z^2 = Z$. L'utilisation des formes trigonométrique ou exponentielle donne facilement les expressions des racines carrées d'un nombre complexe non nul quelconque mais on a parfois besoin d'exprimer une racine sous forme algébrique. Dans la pratique, on rencontre deux cas : \underline{1\textsuperscript{er} cas :} Si $Z = |Z|e^{i\varphi}$ alors, d'après la proposition précédente, les racines carrées du nombre $Z$ sont : \underline{2\textsuperscript{nd} cas :} Si $Z = X + iY$ avec $(X;Y) \in \mathbb{R}^2 – \{(0;0)\}$. On pose $z = x + iy$ avec $(x;y) \in \mathbb{R}^2$. On a : On peut ajouter à ce dernier système d'équations celle obtenue en considérant les modules : Ainsi, on obtient : Puisque $(X;Y) \neq (0;0)$, les deux premières équations du dernier système fournissent chacune deux solutions. La troisième équation $2xy = Y$ permet de sélectionner les deux uniques couples solutions $X + iY$ en raisonnant sur le signe.

Tout nombre complexe non nul $Z$ admet exactement deux racines carrées opposées :

1. Si $Z = |Z|e^{i\varphi}$, alors les racines carrées sont : $\sqrt{|Z|}e^{i\frac{\varphi}{2}}$ et $\sqrt{|Z|}e^{i\left(\frac{\varphi}{2}+\pi\right)}$. En particulier :
   • Si $Z \in \mathbb{R}_+^*$, ses racines carrées sont : $\sqrt{Z}$ et $-\sqrt{Z}$.
   • Si $Z \in \mathbb{R}_-^*$, ses racines carrées sont : $i\sqrt{-Z}$ et $-i\sqrt{-Z}$.
   • Si $Z \in i\mathbb{R}_+^*$, ses racines carrées sont : $\sqrt{\dfrac{|Z|}{2}}(1+i)$ et $-\sqrt{\dfrac{|Z|}{2}}(1+i)$.
   • Si $Z \in i\mathbb{R}_-^*$, ses racines carrées sont : $\sqrt{\dfrac{|Z|}{2}}(1-i)$ et $-\sqrt{\dfrac{|Z|}{2}}(1-i)$.
2. Si $Z = X + iY$ avec $(X;Y) \in \left(\mathbb{R}^*\right)^2$, et si $\alpha = \dfrac{1}{2}\left(X + \sqrt{X^2 + Y^2}\right)$ et $\beta = \dfrac{1}{2}\left(-X + \sqrt{X^2 + Y^2}\right)$ alors les racines carrées de $Z$ sont :
   • $\sqrt{\alpha} + i\sqrt{\beta}$ et $-\sqrt{\alpha} – i\sqrt{\beta}$ si $Y > 0$.
   • $\sqrt{\alpha} – i\sqrt{\beta}$ et $-\sqrt{\alpha} + i\sqrt{\beta}$ si $Y < 0$.

Il n'est pas indispensable d'apprendre par cœur les résultats énoncés ci-dessus. Il faut plutôt savoir la démarche à suivre pour la détermination des racines carrées d'un nombre complexe selon le contexte.

Soit $(a;b;c) \in \mathbb{C}^* \times \mathbb{C} \times \mathbb{C}$. On considère l'équation $az^2 + bz + c = 0$, d'inconnue $z \in \mathbb{C}$. Pour résoudre cette équation, on utilise la forme canonique du trinôme : En désignant par $\Delta = b^2 – 4ac$ le discriminant du trinôme, on a :

• Si $\Delta \neq 0$, l'équation admet deux solutions distinctes $z_1$ et $z_2$ données par :
  \[z_1 = \dfrac{-b-\delta}{2a} \text{et} z_2 = \dfrac{-b+\delta}{2a}\]
  où $\delta$ est une racine carrée de $\Delta$ (obtenue, par exemple, par une des méthodes exposées dans 8.1). De plus : $ (\forall z \in \mathbb{C}) az^2 + bz + c = a(z-z_1)(z-z_2)$ Enfin, les solutions $z_1$ et $z_2$ vérifient les relations suivantes, connues sous le nom de formules de Viète :
  \[z_1 + z_2 = \dfrac{-b-\delta}{2a} + \dfrac{-b+\delta}{2a} = \dfrac{-2b}{2a} = -\dfrac{b}{a} \text{et} z_1 \times z_2 = \dfrac{-b-\delta}{2a} \times \dfrac{-b+\delta}{2a} = \dfrac{b^2-\Delta}{4a^2} = \dfrac{4ac}{4a^2} = \dfrac{c}{a}\]
  En notant $s = z_1 + z_2$ et $p = z_1 \times z_2$, on obtient l'égalité suivante :
  \[az^2 + bz + c = a\left(z^2 – sz + p\right)\]
• Si $\Delta = 0$, l'équation a une seule solution, dite double, donnée par : $z = \dfrac{-b}{2a}$. De plus : $ (\forall z \in \mathbb{C}) az^2 + bz + c = a\left(z+\dfrac{b}{2a}\right)^2$

Afin de simplifier les calculs, on peut multiplier les membres de l'équation par le conjugué du coefficient de $z^2$. Par exemple, l'équation $(1+i)z^2 – (1+7i)z + 14 + 21i = 0$ est équivalente à :

Soit $a$, $b$ et $c$ trois réels, $a$ étant non nul, ainsi que l'équation dans $\mathbb{C} : (E)\; az^2 + bz + c = 0$ On note $\Delta = b^2 – 4ac$ son discriminant.

• Si $\Delta > 0$, alors l'équation $(E)$ a deux racines réelles distinctes $z_1$ et $z_2$ données par :
  \[z_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \text{et} z_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\]
• Si $\Delta = 0$, l'équation a une racine double réelle donnée par : $z = \dfrac{-b}{2a}$.
• Si $\Delta < 0$, alors l'équation $(E)$ a deux racines complexes distinctes conjuguées $z_1$ et $z_2$ données par :
  \[z_1 = \dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} \text{et} z_2 = \dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}\]

On utilise la proposition précédente sous plusieurs formes :

• Si l'on sait que $z_1$ et $z_2$ sont les racines de l'équation $az^2 + bz + c = 0$, alors on peut simplifier toute expression symétrique en $z_1$ et $z_2$, et l'évaluer en fonction de $z_1 + z_2$ et $z_1 \times z_2$, et donc de $a, b$ et $c$, sans avoir à expliciter $z_1$ et $z_2$. Dans la pratique, on rencontre souvent les expressions symétriques :
  \[z_1^n + z_2^n ; z_1^n \times z_2^n ; \dfrac{1}{z_1^n} + \dfrac{1}{z_2^n} ; \left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)^n + \left(\dfrac{z_2}{z_1}\right)^n (\text{avec } n \in \{1;2;3;4\})\]
• Si $z_1$ et $z_2$ sont les racines de l'équation $az^2 + bz + c = 0$, et si l'on connaît une de ces racines, alors on peut facilement en déduire l'autre.
• Si l'on connaît deux complexes $s$ et $p$, et si l'on cherche $z_1$ et $z_2$ tels que $z_1 + z_2 = s$ et $z_1 z_2 = p$, alors une façon élégante et efficace de faire est de dire que $z_1$ et $z_2$ sont les racines de l'équation :
  \[z^2 – sz + p = 0\]

Si $F$ est une application du plan $\mathcal{P}$ dans lui-même, on peut lui associer une unique application $f$ de $\mathbb{C}$ dans $\mathbb{C}$ telle que pour tous points $M(z)$ et $M'(z')$ on ait $M' = F(M)$ si, et seulement si, $z' = f(z)$. Réciproquement, la donnée de $f$ caractérise l'application $F$. On dit alors que $f$ est représentée par $F$ dans le plan complexe $\mathcal{P}$.

Dans ce paragraphe, nous allons examiner plusieurs compositions à partir des exemples : I) Composée de deux rotations : On considère le point $A(i)$. Soit $\mathrm{R}_0$ la rotation de centre $O$ (origine du repère) et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$, et soit $\mathrm{R}_1$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$. Déterminons $\mathrm{R}_1 \circ \mathrm{R}_0$ : Pour tout point $M$ d'affixe $z$, on pose $M' = \mathrm{R}_0(M)$ et $M'' = \mathrm{R}_1(M')$. Soit $z'$ l'affixe de $M'$ et $z''$ l'affixe de $M''$. On a $z' = e^{i\frac{\pi}{6}}z$ et $z'' – z_A = e^{i\frac{\pi}{3}}(z' – z_A)$ où $z_A$ est l'affixe de $A$ (autrement dit, $z_A = i$). Il s'ensuit donc : $z'' – i = e^{i\frac{\pi}{3}}(z' – i)$, et alors : $z'' = i + e^{i\frac{\pi}{3}}(z' – i)$. On en déduit alors : $z'' = e^{i\frac{\pi}{3}} \cdot e^{i\frac{\pi}{6}}z + i\left(1 – e^{i\frac{\pi}{3}}\right)$. Comme $e^{i\frac{\pi}{3}} \cdot e^{i\frac{\pi}{6}} = e^{i\frac{\pi}{2}} = i$, alors : $z'' = iz + \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i$. On sait que la composée de deux rotations est une rotation. On va maintenant déterminer le centre de la rotation $\mathrm{R}_1 \circ \mathrm{R}_0$, et qui n'est rien d'autre que le point invariant $\Omega(\omega)$ par la transformation $\mathrm{R}_1 \circ \mathrm{R}_0$. On a $\omega = i\omega + \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2}i$, ce qui donne $\omega = \dfrac{\sqrt{3} – 1}{4} + i\dfrac{\sqrt{3} + 1}{4}$. Et comme $i = e^{i\frac{\pi}{2}}$, alors $\mathrm{R}_1 \circ \mathrm{R}_0$ est la rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. II) Composée d'une rotation et d'une translation : Soit $ABC$ un triangle isocèle et rectangle en $A$ tel que $\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}\right) \equiv \dfrac{\pi}{2} \; [2\pi]$. Soit $\mathrm{R}$ la rotation de centre $A$ et qui transforme $B$ en $C$, et soit $\mathrm{T}$ la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$. Déterminons $F_1 = \mathrm{R} \circ \mathrm{T}$ et $F_2 = \mathrm{T} \circ \mathrm{R}$ : On munit le plan du repère orthonormé $\left(A; \overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}\right)$. L'angle de la rotation $\mathrm{R}$ est $\left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}\right)$ ; ainsi $\mathrm{R}$ est la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. L'écriture complexe de la rotation $\mathrm{R}$ est $z' = e^{i\frac{\pi}{2}}z$, c'est-à-dire, $z' = iz$. L'écriture complexe de la translation $\mathrm{T}$ est $z'' = z + 1$. Pour tout $M$ d'affixe $z$, on pose : $M_1 = F_1(M)$, et on note $z_1$ l'affixe de $M_1$ ; $M_2 = F_2(M)$, et on note $z_2$ l'affixe de $M_2$. On a : $z_1 = i(z + 1)$ et $z_2 = iz + 1$. Et puisque : $z = i(z + 1) \iff (1 – i)z = i \iff z = \dfrac{-1 + i}{2}$ alors $\Omega_1\left(\dfrac{-1 + i}{2}\right)$ est l'unique point invariant par l'application $F_1$. L'écriture complexe de l'application $F_1$ s'écrit : $z_1 = e^{i\frac{\pi}{2}}z + \omega_1\left(1 – e^{i\frac{\pi}{2}}\right)$ où $\omega_1 = \dfrac{-1 + i}{2}$. $F_1$ est donc la rotation de centre $\Omega_1\left(\dfrac{-1 + i}{2}\right)$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$. De plus, $\Omega_2\left(\dfrac{1 + i}{2}\right)$ est l'unique point invariant par l'application $F_2$. $F_2$ est donc la rotation de centre $\Omega_2\left(\dfrac{1 + i}{2}\right)$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ ; ceci car $z_2 = e^{i\frac{\pi}{2}}z + \omega_2\left(1 – e^{i\frac{\pi}{2}}\right)$ où $\omega_2 = \dfrac{1 + i}{2}$. De l'égalité $z_2 – z_1 = 1 – i$ on tire $\overrightarrow{M_1 M_2} = \overrightarrow{CB}$, ce qui montre que $CBM_1 M_2$ est un parallélogramme. III) Composée d'une homothétie et d'une translation : Soit $k \in \mathbb{R}^* – \{1\}$, et $\mathrm{H}$ l'homothétie de centre un point $\Omega(\omega)$ donné et de rapport $k$. Soit $b$ un nombre complexe donné et $\vec{u}(b)$ le vecteur image de $b$, et $\mathrm{T}$ la translation de vecteur $\vec{u}$. On pose : $F = \mathrm{H} \circ \mathrm{T}$ et $G = \mathrm{T} \circ \mathrm{H}$. L'écriture complexe de l'homothétie $\mathrm{H}$ est : $z_1 = kz + \omega(1 – k)$. L'écriture complexe de la translation $\mathrm{T}$ est : $z_2 = z + b$. Déterminons l'écriture complexe des transformations $F$ et $G$ : Pour tout $M(z)$, on pose $F(M) = M'$ et $G(M) = M''$. On note $z'$ l'affixe de $M'$, et $z''$ l'affixe de $M''$.

• On a $M' = \mathrm{H}(M_2)$ où $M_2 = \mathrm{T}(M)$, donc : $z' = kz_2 + \omega(1 – k) = k(z + b) + \omega(1 – k)$

Par suite, $z' = kz + kb + (1 – k)\omega$ est l'écriture complexe de la transformation $F$. Il est facile de montrer que l'application $F$ admet $A\left(\dfrac{k}{1 – k}b + \omega\right)$ comme unique point invariant, et que $F$ est l'homothétie de centre $A$ et de rapport $k$.

• On a $M'' = \mathrm{T}(M_1)$ où $M_1 = \mathrm{H}(M)$, donc : $z'' = z_1 + b$.

Par suite, $z'' = kz + b + (1 – k)\omega$ est l'écriture complexe de la transformation $G$. Il est facile de montrer que l'application $G$ admet $B\left(\dfrac{b}{1 – k} + \omega\right)$ comme unique point invariant, et que $G$ est l'homothétie de centre $A$ et de rapport $k$. V) Composée d'une rotation et d'une homothétie : Soit $A$ le point d'affixe 2, et soit $\varphi$ l'application de plan $\mathcal{P}$ dans lui-même qui, à chaque point $M(z)$, associe le point $M_2(z_2)$ tel que : $z_2 = \dfrac{3 + i\sqrt{3}}{4}z + \dfrac{1 – i\sqrt{3}}{2}$ Soit $h$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ et on pose $f = \varphi \circ h$.

• On pose $z_A = 2$. On a : $\dfrac{3 + i\sqrt{3}}{4}z_A + \dfrac{1 – i\sqrt{3}}{2} = z_A$, donc $\varphi(A) = A$. Cela signifie donc que $A$ est invariant par $\varphi$.
• L'écriture complexe de l'homothétie $h$ est : $z_1 = \dfrac{2}{\sqrt{3}}(z – 2) + 2$
• Pour tout point $M(z)$, on pose $M' = f(M)$ et on note $z'$ l'affixe de $M'$. On a : $z' = \dfrac{3 + i\sqrt{3}}{4}z_1 + \dfrac{1 – i\sqrt{3}}{2}$, qu'on peut écrire encore : $z' – 2 = \dfrac{3 + i\sqrt{3}}{4}(z_1 – 2)$. Comme $z_1 – 2 = \dfrac{2}{\sqrt{3}}(z – 2)$ alors $z' – 2 = \dfrac{3 + i\sqrt{3}}{4} \times \dfrac{2}{\sqrt{3}}(z – 2)$, et donc : $z' – 2 = \dfrac{\sqrt{3} + i}{2}(z – 2)$. Et puisque $\dfrac{\sqrt{3} + i}{2} = e^{i\frac{\pi}{6}}$ alors : $z' – 2 = e^{i\frac{\pi}{6}}(z – 2)$. ce qui montre bien que $f$ est la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$.

Et puisque $f = \varphi \circ h$, alors $f \circ h^{-1} = (\varphi \circ h) \circ h^{-1} = \varphi \circ \left(h \circ h^{-1}\right) = \varphi$ (car $h \circ h^{-1} = \mathrm{Id}_{\mathcal{P}}$). D'où : $\varphi = f \circ h^{-1}$. Ainsi, l'application $\varphi$ est la composée de la rotation de centre $A$ et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$, et de l'homothétie de centre $A$ et de rapport $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

$a$ et $b$ sont deux nombres complexes tels que $a \neq 0$. Soit $\mathrm{T}$ la transformation du plan d'écriture complexe $z' = az + b$.

• Si $a = 1$ alors $\mathrm{T}$ est la translation de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $b$
• Si $a \in \mathbb{R}^* – \{1\}$ alors $\mathrm{T}$ est l'homothétie de centre $\Omega\left(\dfrac{b}{1 – a}\right)$ et de rapport $a$.
• Si $a \notin \mathbb{R}$ et $|a| = 1$, alors $\mathrm{T}$ est la rotation de centre $\Omega\left(\dfrac{b}{1 – a}\right)$ d'angle $\arg(a)$.
• Si $a \notin \mathbb{R}$ et $|a| \neq 1$, alors $\mathrm{T}$ est la composée de la rotation $\mathrm{R}$ de centre $\Omega\left(\dfrac{b}{1 – a}\right)$ et d'angle $\arg(a)$, et l'homothétie $\mathrm{H}$ de centre $\Omega\left(\dfrac{b}{1 – a}\right)$ et de rapport $|a|$. Dans ce cas, on a : $\mathrm{T} = \mathrm{R} \circ \mathrm{H} = \mathrm{H} \circ \mathrm{R}$.