Limites et continuité - Cours Maths 2ème Bac Sciences Mathématiques B

1.LIMITE D’UNE FONCTION EN UN POINT

Remarque

À retenir

Dans tout ce qui suit, $x_0$ est un nombre réel.

1.1. RAPPELS ET COMPLÉMENTS

Définition

Définition 1

Soit $f$ une fonction numérique telle que : $(\exists r > 0) ; ]x_0 – r, x_0 + r[ – \{x_0\} \subset D_f$ et $\ell \in \mathbb{R}$. On dit que la limite de $f$ en $x_0$ est $\ell$, ou encore, $f(x)$ tend vers $\ell$ lorsque $x$ tend vers $x_0$, si :

(\forall \varepsilon > 0)(\exists \alpha > 0)(\forall x \in D_f) (0 < |x – x_0| < \alpha \implies |f(x) – \ell| < \varepsilon)

On écrit : $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$

Exemple

Soit $f$ la fonction définie par :

\[f(x) = 2x^2 + 3x + 1\]

Montrons en utilisant la définition que :

\lim_{x \to 1} f(x) = 6

Soit $I = \left]1 – \dfrac{1}{2}; 1 + \dfrac{1}{2}\left[ = \left]\dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{2}\left[\right.\right.\right.\right.$. On a pour tout $x \in I$ :

\begin{aligned}|f(x) – 6| &= |(x – 1)(2x + 5)| \\ &= |x – 1||2x + 5|\end{aligned}

On a $x \in \left]\dfrac{1}{2}; \dfrac{3}{2}\left[\right.\right.$ ; d'où $|x – 1| < \dfrac{1}{2}$ et $6 < 2x + 5 < 8$. Et alors $|2x + 5| 0$. Pour que $|f(x) – 6| < \varepsilon$ il suffit que $8|x – 1| < \varepsilon$ et $|x – 1| < \dfrac{1}{2}$, c'est-à-dire que :

|x – 1| < \dfrac{\varepsilon}{8} \text{et} |x – 1| 0$ il existe $\alpha = \inf\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{\varepsilon}{8}\right) > 0$ tel que :

(\forall x \in D_f) (0 < |x – 1| < \alpha \implies |f(x) – 6| < \varepsilon)$$ Ce qui signifie que : $\lim_{x \to 1} f(x) = 6$

Application

Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par : $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x + 1}$

Montrer que pour tout $x \in \left]0; 2\left[\right.\right.$ : $\left|f(x) – \dfrac{3}{2}\right| \le \dfrac{1}{2}|x – 1|$
En utilisant la définition, montrer que $\lim_{x \to 1} f(x) = \dfrac{3}{2}$

1.2. UNICITÉ DE LA LIMITE

Proposition

Proposition 1

Si la limite d'une fonction numérique $f$ existe en un point, alors elle est unique.

Preuve

Soit $f$ une fonction numérique admettant une limite finie au point $x_0$. Par l'absurde, supposons que $f$ admet deux limites distinctes $\ell_1$ et $\ell_2$. En prenant $\varepsilon = \dfrac{|\ell_1 – \ell_2|}{2}$ on obtient :

\begin{aligned}(\exists \alpha_1 > 0)(\forall x \in D_f)& (0 < |x – x_0| < \alpha_1 \implies |f(x) – \ell_1| 0)(\forall x \in D_f)& (0 < |x – x_0| < \alpha_2 \implies |f(x) – \ell_2| < \varepsilon)\end{aligned}

Soit $\alpha = \inf(\alpha_1, \alpha_2)$. Il en résulte donc :

(\forall x \in D_f) (0 < |x – x_0| < \alpha \implies |f(x) – \ell_1| < \varepsilon \text{ et } |f(x) – \ell_2| < \varepsilon)

Puisque $|\ell_1 – \ell_2| = |(\ell_1 – f(x)) + (f(x) – \ell_2)|$ alors :

|\ell_1 – \ell_2| \le |f(x) – \ell_1| + |f(x) – \ell_2| < \dfrac{|\ell_1 – \ell_2|}{2} + \dfrac{|\ell_1 – \ell_2|}{2}

Donc $|\ell_1 – \ell_2| < |\ell_1 – \ell_2|$ ; ce qui est absurde. Par suite, $\ell_1 = \ell_2$.

1.3. LIMITES DES FONCTIONS USUELLES

Proposition

Proposition 2

Soit $P$ et $Q$ deux fonctions polynomiales et $x_0 \in \mathbb{R}$. Alors :

$\lim_{x \to x_0} P(x) = P(x_0)$
Si $Q(x_0) \neq 0$ alors $\lim_{x \to x_0} \dfrac{P(x)}{Q(x)} = \dfrac{P(x_0)}{Q(x_0)}$
$\lim_{x \to x_0} \sin x = \sin x_0$
Si $x_0 \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$ alors $\lim_{x \to x_0} \tan x = \tan x_0$
$\lim_{x \to x_0} \cos x = \cos x_0$
Si $x_0 \ge 0$ alors $\lim_{x \to x_0} \sqrt{x} = \sqrt{x_0}$
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$
$\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1$
$\lim_{x \to 0} \dfrac{1 – \cos x}{x^2} = \dfrac{1}{2}$

1.4. OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

Proposition

Proposition 3

Soit $f$ et $g$ deux fonctions numériques et $x_0 \in \mathbb{R}$. Si $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$ et $\lim_{x \to x_0} g(x) = \ell'$ alors :

$\lim_{x \to x_0} (f + g)(x) = \ell + \ell'$
$\lim_{x \to x_0} (f \cdot g)(x) = \ell\ell'$
Si $\ell' \neq 0$ alors $\lim_{x \to x_0} \left(\dfrac{1}{g}\right)(x) = \dfrac{1}{\ell'}$ et $\lim_{x \to x_0} \left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{\ell}{\ell'}$

2.CONTINUITÉ D’UNE FONCTION NUMÉRIQUE

2.1. CONTINUITÉ D’UNE FONCTION EN UN POINT

Définition

Définition 2

Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert centré en un point $x_0$. On dit que la fonction $f$ est continue au point $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Remarque

Interprétation Graphique

Remarque

Remarques

Si $f$ est définie au point $x_0$ et n'admet pas de limite en $x_0$ ou sa limite est infinie en $x_0$, on dit que $f$ est discontinue au point $x_0$.
$f$ est continue en $x_0$ si : $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \alpha > 0)(\forall x \in D_f) (0 < |x – x_0| < \alpha \implies |f(x) – f(x_0)| < \varepsilon)$

Exemple

Exemples

1) Soit $f$ la fonction numérique définie par :

f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 – 6x + 5}{x – 1} & \text{si } x \neq 1 \\ -4 & \text{si } x = 1 \end{cases}

Étudions la continuité de $f$ au point $x_0 = 1$. On a :

\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x – 1)(x – 5)}{x – 1} = \lim_{x \to 1} (x – 5) = -4

D'où $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$. Par suite $f$ est continue au point $x_0 = 1$. 2) Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}^*$ par :

g(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin(x – 2)}{x^2 – 2x} & \text{si } x \neq 0 \text{ et } x \neq 2 \\ \dfrac{1}{2} & \text{si } x = 2 \end{cases}

Étudions la continuité de $g$ au point $x_0 = 2$. On a :

\lim_{x \to 2} g(x) = \lim_{x \to 2} \dfrac{1}{x} \dfrac{\sin(x – 2)}{x – 2} = \dfrac{1}{2} = g(2)

Ainsi, la fonction $g$ est continue au point $x_0 = 2$. Étudions la continuité de $g$ au point $x_1 = 0$. On a $0 \notin D_g$ donc $g$ n'est pas continue en $x_1 = 0$. 3) Soit $h$ la fonction numérique définie sur $[-1, 2]$ par :

\[h(x) = E(x)\]

On a alors :

\begin{aligned}\forall x \in [-1, 0[&, h(x) = -1 \\ \forall x \in [0, 1[&, h(x) = 0 \\ \forall x \in [1, 2[&, h(x) = 1 \\ \text{Et enfin :} h(2) &= E(2) = 2\end{aligned}

Représentons la fonction $h$ :

Figure TikZ à convertir en image

Remarquons bien que la courbe $\mathscr{C}_h$ présente des sauts aux points $0$, $1$ et $2$. Par suite, la fonction $h$ est discontinue aux points $0$, $1$ et $2$.

Application

Applications

1) Soit $f$ la fonction numérique définie par :

f(x) = \begin{cases} \dfrac{-2x^2 – x + 1}{x + 1} & \text{si } x \neq -1 \\ f(-1) = 1 \end{cases}

Étudier la continuité de la fonction $f$ au point $x_0 = -1$. 2) Soit $g$ la fonction numérique définie par :

g(x) = \begin{cases} \dfrac{x + \tan(2x)}{\sin(3x)} & \text{si } x \neq 0 \\ g(0) = 1 \end{cases}

La fonction $g$ est-elle continue au point $x_0 = 0$ ? Justifier la réponse.

2.2. CONTINUITÉ À DROITE – CONTINUITÉ À GAUCHE

Définition

Définition 3

1) Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $[x_0, x_0 + \alpha[$ où $\alpha \in \mathbb{R}^*_+$. On dit que $f$ est continue à droite en $x_0$ si : $\lim_{\substack{x \to x_0
x > x_0}} f(x) = f(x_0)$ 2) Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle de la forme $]x_0 – \alpha, x_0]$ où $\alpha \in \mathbb{R}^*_+$. On dit que $f$ est continue à gauche en $x_0$ si : $\lim_{\substack{x \to x_0
x < x_0}} f(x) = f(x_0)$

Exemple

Exemples

1) Soit $f$ la fonction numérique définie par :

f(x) = \begin{cases} 3 – x^2 & \text{si } x \le 0 \\ \dfrac{x^2 – 3}{2x – 1} & \text{si } x > 0 \end{cases}

Étudions la continuité à droite et à gauche de la fonction $f$ au point $x_0 = 0$ : On a $f(0) = 3$ et de plus :

\lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} \dfrac{x^2 – 3}{2x – 1} = 3 = f(0)

Donc $f$ est continue à droite au point $x_0 = 0$. $$\lim_{\substack{x \to 0
x < 0}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 0
x 0}} f(x) = \lim_{\substack{x \to 0
x 1}} g(x) = \lim_{\substack{x \to 1
x > 1}} \dfrac{x^2 – 1}{x – 1} = \lim_{\substack{x \to 1
x > 1}} (x + 1) = 2$ Donc $\lim_{\substack{x \to 1
x > 1}} g(x) = g(1)$ et la fonction $g$ est continue à droite au point $x_0 = 1$. On a : $\lim_{\substack{x \to 1
x < 1}} g(x) = \lim_{\substack{x \to 1
x < 1}} \dfrac{x^2 – 1}{-(x – 1)} = \lim_{\substack{x \to 1
x < 1}} (-x – 1) = -2$ Donc $\lim_{\substack{x \to 1
x < 1}} g(x) \neq g(1)$ et la fonction $g$ n'est pas continue à gauche au point $x_0 = 1$.

Proposition

Proposition 4

Une fonction numérique $f$ est continue au point $x_0$ si, et seulement si elle est continue à droite et à gauche au point $x_0$. En d'autres termes :

(f \text{ est continue au point } x_0) \iff \lim_{\substack{x \to x_0^-}} f(x) = \lim_{\substack{x \to x_0^+}} f(x) = f(x_0)

Application

Applications

1) Soit $f$ la fonction numérique définie par :

f(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{x + 1} & \text{si } x \le 0 \\ \dfrac{x^2 – x}{x + 3} & \text{si } x > 0 \end{cases}

Étudier la continuité de la fonction $f$ en $0$. 2) Soit $g$ la fonction numérique définie par :

g(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & \text{si } x \le 1 \\ \dfrac{a\sin(x – 1)}{x – 1} & \text{si } x > 1 \end{cases}

Déterminer la valeur du réel $a$ pour que la fonction $g$ soit continue au point $x_0 = 1$. 3) On considère la fonction $h$ définie par :

h(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{2} – 2\cos x}{4x – \pi} & \text{si } x \neq \dfrac{\pi}{4} \\ h\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{4} \end{cases}

Montrer que la fonction $h$ n'est pas continue au point $x_0 = \dfrac{\pi}{4}$.

2.3. PROLONGEMENT PAR CONTINUITÉ EN UN POINT

Définition

Définition 4

Soit $f$ une fonction numérique non définie en un point $x_0$ ($x_0 \notin D_f$) et admettant une limite finie $\ell$ au point $x_0$ : $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$ La fonction $\tilde{f}$ définie sur $D_{\tilde{f}} = D_f \cup \{x_0\}$ par :

\begin{cases} \tilde{f}(x) = f(x) & \text{si } x \in D_f \\ \tilde{f}(x_0) = \ell \end{cases}

est continue au point $x_0$, et est appelée le prolongement par continuité de $f$ au point $x_0$.

Exemple

Exemples

1) Soit $f$ la fonction numérique définie par :

f(x) = \dfrac{x^3 – 1}{x – 1}

On a $1 \notin D_f$ et de plus :

\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x – 1)(x^2 + x + 1)}{x – 1} = 3

Donc la fonction $f$ admet un prolongement par continuité au point $x_0 = 1$. Ce prolongement est donné par :

\begin{cases} \tilde{f}(x) = \dfrac{x^3 – 1}{x – 1} & \text{si } x \neq 1 \\ \tilde{f}(1) = 3 \end{cases}

On pourra remarquer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

\tilde{f}(x) = x^2 + x + 1

2) Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}^*$ par :

g(x) = \dfrac{\sqrt{1 + \sin x} – 1}{x}

On a $0 \notin D_g$ et de plus :

\lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1 + \sin x} – 1}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \dfrac{1}{\sqrt{1 + \sin x} + 1} = \dfrac{1}{2}

Donc la fonction $g$ admet un prolongement par continuité au point $x_0 = 0$. Ce prolongement est donné par :

\begin{cases} \tilde{g}(x) = \dfrac{\sqrt{1 + \sin x} – 1}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ \tilde{g}(0) = \dfrac{1}{2} \end{cases}

Application

Applications

Pour chacun des cas suivants, montrer que la fonction $f$ admet un prolongement par continuité au point $x_0$ puis donner ce prolongement :

$f(x) = \dfrac{x^3 – 2x^2 + 3x + 6}{x + 1}$ et $x_0 = -1$
$f(x) = \dfrac{x^3 – a^3}{x – a}$ et $x_0 = a (a \in \mathbb{R})$
$f(x) = \dfrac{x\sin x}{\cos x – 1}$ et $x_0 = 0$
$f(x) = \dfrac{(x – 2)^2}{4x – x^3}$ et $x_0 = 2$
$f(x) = \dfrac{|x^2 + 4x| – 3}{x + 3}$ et $x_0 = -3$
$f(x) = (x – 1)\sin\left(\dfrac{1}{x – 1}\right)$ et $x_0 = 1$

2.4. CONTINUITÉ D’UNE FONCTION SUR UN INTERVALLE

Définition

Définition 5

Une fonction $f$ est continue sur un intervalle ouvert $I$ si elle est continue en tout point de $I$. En particulier : $f$ est continue sur $\left]a, b\left[\right.\right.$ si elle est continue en tout point de $\left]a, b\left[\right.\right.$.
Une fonction $f$ est continue sur $[a, b]$ si elle est continue sur $\left]a, b\left[\right.\right.$ et continue à droite en $a$ et à gauche en $b$.
Une fonction $f$ est continue sur $[a, b[$ si elle est continue sur $\left]a, b\left[\right.\right.$ et continue à droite en $a$.
Une fonction $f$ est continue sur $]a, b]$ si elle est continue sur $\left]a, b\left[\right.\right.$ et continue à gauche en $b$.

Exemple

Exemples

Toute fonction constante est continue sur $\mathbb{R}$.
Toute fonction polynomiale $P$ est continue sur $\mathbb{R}$ car pour tout $x_0 \in \mathbb{R}$ : $\lim_{x \to x_0} P(x) = P(x_0)$
Tout fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition.
Les fonctions $x \mapsto \sin x$ et $x \mapsto \cos x$ sont continues sur $\mathbb{R}$.
La fonction $x \mapsto \tan x$ est continue sur tout intervalle inclus dans son domaine de définition.
La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $\mathbb{R}^+$.

Application

Soit $f$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par : $f(x) = x – E(x)$

Montrer que la fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[1, 2[$.
Montrer que pour tout $k \in \mathbb{Z}$, la fonction $f$ est continue sur l'intervalle $[k, k + 1[$.

2.5. OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS CONTINUES

Proposition

Proposition 5

Soit $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $I$ et $k$ un nombre réel. Alors :

Les fonctions $f + g$, $k \cdot f$ et $f \cdot g$ sont continues sur $I$.
Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, la fonction $f^n : x \mapsto (f(x))^n$ est continue sur $I$.
Si la fonction $g$ ne s'annule pas sur $I$ alors $\dfrac{1}{g}$ et $\dfrac{f}{g}$ sont continues sur $I$.
La fonction $|f|$ est continue sur $I$.
Si $f$ est positive sur $I$ alors $\sqrt{f}$ est continue sur $I$.

Exemple

Exemples

La fonction $f$ définie par $f(x) = x^2 + 5x + \cos x$ est continue sur $\mathbb{R}$ en tant que somme de deux fonctions continue sur $\mathbb{R}$ qui sont $x \mapsto x^2 + 5x$ et $x \mapsto \cos x$
La fonction $g$ définie par $g(x) = \sqrt{x}(x^3 + 5x – 7)$ est continue sur $\mathbb{R}^+$ en tant que produit de deux fonctions continues sur $\mathbb{R}^+$ qui sont $x \mapsto \sqrt{x}$ et $x \mapsto x^3 + 5x – 7$
On considère la fonction $h$ définie par $h(x) = \dfrac{x^2 – 2x + 3}{2|x + 1| – 5}$. Etudions la continuité de $h$ sur $D_h$. On a tout d'abord $D_h = \left]-\infty; -\dfrac{7}{2}\left[ \cup \left]-\dfrac{7}{2}; \dfrac{3}{2}\left[ \cup \left]\dfrac{3}{2}; +\infty\left[\right.\right.\right.\right.\right.\right.$. Soit maintenant $u$ et $v$ les deux fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par : $u(x) = x^2 – 2x + 3$ et $v(x) = 2|x + 1| – 5$ La fonction $u$ est continue sur $\mathbb{R}$ car c'est une fonction polynomiale. La fonction $v$ est continue sur $\mathbb{R}$ en tant que somme de deux fonctions continues sur $\mathbb{R}$. De plus, la fonction $v$ ne s'annule pas sur $D_h$. Par suite, la fonction $h$ est continue sur tout intervalle inclus dans son domaine de définition.

Application

Applications

1. Dans chacun des cas suivants, montrer que la fonction $f$ est continue sur son domaine de définition :

\text{a) } f(x) = \dfrac{4x + 5}{x^2 + 3} \sin x \text{b) } f(x) = |2x – 3| + \dfrac{x + 1}{x^2 + x + 1} \text{c) } f(x) = x^2 – \tan x – 1

2. Soit $g$ la fonction numérique définie par $g(x) = \dfrac{\sqrt{x – 2}}{4 – x}$. Montrer que $g$ est continue sur l'intervalle $[2; 4[$. 3. Etudier la continuité de la fonction $x \mapsto xE(x)$ sur l'intervalle $[0; 2]$.

2.6. CONTINUITÉ DE LA COMPOSÉE DE DEUX FONCTIONS

Proposition

Proposition 6

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $g$ une fonction définie sur un intervalle $J$ tel que $f(I) \subset J$, et soit $x_0$ un élément de $I$. Si $f$ est continue au point $x_0$ et $g$ est continue au point $f(x_0)$ alors la fonction $g \circ f$ est continue en $x_0$.

Remarque

Corollaire

Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et $g$ est continue sur un intervalle $J$ tel que $f(I) \subset J$ alors la fonction $g \circ f$ est continue sur l'intervalle $I$.

Exemple

Exemples

1) Soit $f$ la fonction numérique définie par :

f(x) = \cos(2x^2 – 3x + 4)

Montrons que la fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ : Puisque les fonctions $f_1 : x \mapsto 2x^2 – 3x + 4$ et $f_2 : x \mapsto \cos x$ sont continues sur $\mathbb{R}$ et $f_1(\mathbb{R}) \subset \mathbb{R}$ alors la fonction $f = f_2 \circ f_1$ est continue sur $\mathbb{R}$. 2) Soit $g$ la fonction numérique définie par :

g(x) = \sqrt{\dfrac{x}{1 + \sin^2 x}}

Etudions la continuité de $g$ sur $\mathbb{R}^+$ : La fonction $g_1 : x \mapsto \dfrac{x}{1 + \sin^2 x}$ est continue sur $\mathbb{R}^+$ et $g_1(\mathbb{R}^+) \subset \mathbb{R}^+$, et la fonction $g_2 : x \mapsto \sqrt{x}$ est continue sur $\mathbb{R}^+$. Il s'ensuit donc que la fonction $g = g_2 \circ g_1$ est continue sur $\mathbb{R}^+$.

Application

Applications

Dans chacun des cas suivants, étudier la continuité de la fonction $f$ sur les intervalles de $D_f$.

\begin{aligned}1)\ & f(x) = \sin\left(\dfrac{2x + 1}{x^2 – 1}\right) & 2)\ & f(x) = \sqrt{\dfrac{x – 3}{x + 2}} & 3)\ & f(x) = \tan\left(\dfrac{\pi}{x}\right) \\ 4)\ & f(x) = \cos\left(\sqrt{x^2 + 1}\right) & 5)\ & f(x) = \sqrt{1 – \sin x} & 6)\ & f(x) = \cos\left(\tan^2 x\right)\end{aligned}

2.5. COMPOSÉE D’UNE FONCTION CONTINUE ET D’UNE FONCTION ADMETTANT UNE LIMITE

Proposition

Proposition 7

Soit $f$ une fonction définie sur l'ensemble $\left]x_0 – r, x_0 + r\left[\right.\right. (r > 0)$ et $g$ la fonction définie sur un intervalle ouvert $J$ centré en $\ell$ tel que $f(I) \subset J$. Si $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$ et $g$ est continue en $\ell$ alors : $\lim_{x \to x_0} g \circ f(x) = g(\ell)$

Remarque

La proposition 7 reste valable en $x_0$ à droite ou $x_0$ à gauche ou en $+\infty$ ou en $-\infty$ à condition de remplacer l'intervalle $I$ par un intervalle convenable.

Exemple

Exemples

1) Déterminons la limite : $\lim_{x \to 0} \sin\left(\dfrac{1 – \cos x}{x^2}\pi\right)$ On a $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 – \cos x}{x^2}\pi = \dfrac{\pi}{2}$. Puisque la fonction $\sin$ est continue en $\dfrac{\pi}{2}$ alors :

\lim_{x \to 0} \sin\left(\dfrac{1 – \cos x}{x^2}\pi\right) = \sin\dfrac{\pi}{2} = 1

2) Déterminons la limite $\lim_{x \to +\infty} \cos\left(\pi\sqrt{\dfrac{x – 1}{x + 1}}\right)$ On a $\lim_{x \to +\infty} \pi\sqrt{\dfrac{x – 1}{x + 1}} = \lim_{x \to +\infty} \pi\sqrt{\dfrac{1 – \dfrac{1}{x}}{1 + \dfrac{1}{x}}} = \pi$. Puisque la fonction $\cos$ est continue en $\pi$ alors :

\lim_{x \to +\infty} \cos\left(\pi\sqrt{\dfrac{x – 1}{x + 1}}\right) = \cos(\pi) = -1

Application

Applications

Calculer les limites suivantes :

\begin{aligned}1)\ & \lim_{x \to +\infty} \left(x – 2\sqrt{x} + \dfrac{1}{x}\right)^3 & 2)\ & \lim_{x \to 0} \tan\left(\dfrac{\pi \sin x}{3x}\right) \\ 3)\ & \lim_{x \to -\infty} \cos\left(\dfrac{\pi x + 1}{x + 2}\right) & 4)\ & \lim_{x \to +\infty} \cos\left(\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\right)\end{aligned}

3.IMAGE D’UN INTERVALLE PAR UNE FONCTION CONTINUE

3.1. IMAGE D’UN SEGMENT PAR UNE FONCTION CONTINUE

Proposition

Proposition 8

L'image d'un segment par une fonction continue est un segment. Autrement dit :

(f \text{ continue sur } [a, b]) \implies f([a, b]) = [m, M]

Figure TikZ à convertir en image

Remarque

Si $f$ est continue sur un segment $[a, b]$ alors $M = f(\alpha)$ est le maximum de $f$ sur $[a, b]$ et $m = f(\beta)$ est le minimum de $f$ sur $[a, b]$. On a alors : $f([a, b]) = [m, M]$ (voir la figure)

Proposition

Proposition 9

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Exemple

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^2 – 2x$ A partir du graphe de la fonction $f$, on déduit que :

\[f([-1; 2]) = [-1; 3] ; f([0; 2[) = [-1; 0]\]

f(]-1; 0]) = [0; 3[ ; f([2; +\infty[) = [0; +\infty[

f(]-\infty; 1]) = [-1; +\infty[ ; f(\mathbb{R}) = [-1; +\infty[

Figure TikZ à convertir en image

Remarque

Remarques

La continuité d'une fonction est une condition suffisante pour que l'image d'un intervalle soit un intervalle, mais cette condition n'est pas évidemment nécessaire. En effet, il se peut que l'image d'un intervalle par une fonction discontinue soit un intervalle comme le montre l'exemple suivant : Considérons la fonction $f$ définie sur $[-1; 2]$ par : $f(x) = \begin{cases} 2x & \text{si } x \in [-1; 1] \\ x – 1 & \text{si } x \in ]1; 2] \end{cases}$ L'image de l'intervalle $[-1; 2]$ par la fonction $f$ est l'intervalle $[-2; 2]$ bien que la fonction $f$ ne soit pas continue sur $[-1; 2]$.
Figure TikZ à convertir en image
Les intervalles $I$ et $f(I)$ ne sont pas toujours de même nature. A titre d'exemple, l'image de l'intervalle semi-ouvert $]-1; 2]$ par la fonction $x \mapsto x^2$ est le segment $[0; 4]$.

Application

Applications

Pour chacun des cas suivants, montrer que la fonction $f$ est continue sur l'intervalle $I$ puis déterminer $f(I)$ :

\begin{aligned}1)\ & f(x) = x^2 + 2 \text{et} I = [-1; 3] & 2)\ & f(x) = \dfrac{x – 4}{x – 2} \text{et} I = [5; 8] \\ 3)\ & f(x) = 2x\sqrt{x} + 1 \text{et} I = [3; 5] & 4)\ & f(x) = \tan x \text{et} I = \left]-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\left[\right.\right. \\ 5)\ & f(x) = \begin{cases} x + 3 & \text{si } x \le 2 \\ x^2 + 1 & \text{si } x > 2 \end{cases} \text{et} I = [-3; 5]\end{aligned}

3.2. IMAGE D’UN INTERVALLE PAR UNE FONCTION CONTINUE ET STRICTEMENT MONOTONE

Remarque

À retenir

Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$. On a alors les résultats suivants : \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline \multicolumn{3}{|c|}{L'image de l'intervalle $I$ par la fonction $f$}
\hline L'intervalle $I$ & $f$ strictement croissante sur $I$ & $f$ strictement décroissante sur $I$
\hline $[a, b]$ & $[f(a), f(b)]$ & $[f(b), f(a)]$
\hline $\left]a, b\left[\right.\right.$ & $\left]\lim_{x \to a^+} f(x), \lim_{x \to b^-} f(x)\left[\right.\right.$ & $\left]\lim_{x \to b^-} f(x), \lim_{x \to a^+} f(x)\left[\right.\right.$
\hline $[a, b[$ & $\left[f(a), \lim_{x \to b^-} f(x)\left[\right.\right.$ & $\left]\lim_{x \to b^-} f(x), f(a)\right]$
\hline $]-\infty, a]$ & $\left]\lim_{x \to -\infty} f(x), f(a)\right]$ & $\left[f(a), \lim_{x \to -\infty} f(x)\left[\right.\right.$
\hline $]a, +\infty[$ & $\left]\lim_{x \to a^+} f(x), \lim_{x \to +\infty} f(x)\left[\right.\right.$ & $\left]\lim_{x \to +\infty} f(x), \lim_{x \to a^+} f(x)\left[\right.\right.$
\hline $\mathbb{R}$ & $\left]\lim_{x \to -\infty} f(x), \lim_{x \to +\infty} f(x)\left[\right.\right.$ & $\left]\lim_{x \to +\infty} f(x), \lim_{x \to -\infty} f(x)\left[\right.\right.$
\hline \end{tabular}

Exemple

On considère la fonction numérique $f$ définie par : $f(x) = \dfrac{2x – 3}{x + 1}$ On a $D_f = \left]-\infty; -1\left[ \cup \left]-1; +\infty\left[\right.\right.\right.\right.$ et $\begin{vmatrix} 2 & -3
1 & 1 \end{vmatrix} = 2 + 3 = 5 > 0$. La fonction $f$ est donc continue et strictement croissante sur chacun des intervalles $\left]-\infty; -1\left[\right.\right.$ et $\left]-1; +\infty\left[\right.\right.$. Il en découle donc les résultats suivants :

f([0; 1]) = [f(0); f(1)] = \left[-3; -\dfrac{1}{2}\right] , f([-2; -1[) = \left[f(-2); \lim_{x \to -1^-} f(x)\left[ = [7; +\infty[\right.\right.

f(]-1; 1]) = \left]\lim_{x \to -1^+} f(x); f(1)\right] = \left]-\infty; -\dfrac{1}{2}\right] , f([2; +\infty[) = \left[f(2); \lim_{x \to +\infty} f(x)\left[ = \left[\dfrac{1}{3}; 2\left[\right.\right.\right.\right.

Application

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^2 – 2x + 3$ Déterminer les images des intervalles suivants par la fonction $f$ :

I = ]-\infty; 0] ; J = [1; 2] ; K = ]-5; -1[ ; L = [\sqrt{2}; +\infty[

3.3. THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES

Proposition

Proposition 10

Si $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$ alors, pour tout réel $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ il existe au moins un réel $c$ appartenant à l'intervalle $[a, b]$ tel que $f(c) = \lambda$. En d'autres termes : l'équation $f(x) = \lambda$ d'inconnue $x$ admet au moins une solution dans $[a, b]$, pour tout $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$.

Figure TikZ à convertir en image

Preuve

Comme $f$ est continue sur l'intervalle $[a, b]$ alors il existe deux réels $m$ et $M$ tels que $f([a, b]) = [m, M]$. Puisque les réels $f(a)$ et $f(b)$ appartiennent à $[m, M]$ (en supposant par exemple que $f(a) \le f(b)$) alors $[f(a), f(b)] \subset [m, M]$, c'est-à-dire que $[f(a), f(b)] \subset f([a, b])$. Il s'ensuit donc que pour tout réel $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ appartenant à $[a, b]$ tel que $f(c) = \lambda$.

Exemple

Soit $f$ la fonction définie sur $[0; \pi]$ par :

f(x) = x + \cos x

La fonction $f$ est continue sur $[0; \pi]$ et de plus $f(0) = 1$ et $f(\pi) = \pi – 1$. Puisque $2$ est compris entre $f(0)$ et $f(\pi)$ alors il existe au moins un réel $c \in [0; \pi]$ tel que $f(c) = 2$. Cela signifie que l'équation $x + \cos x = 2$ admet au moins une solution sur l'intervalle $[0; \pi]$.

Remarque

Corollaire

Si la fonction $f$ est continue sur $[a, b]$ tel que $f(a) \cdot f(b) < 0$ alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[a, b]$. Si de plus, la fonction $f$ est strictement monotone, cette solution est unique.

Remarque

On peut interpréter le résultat du corollaire précédent comme suit : Si la fonction $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires alors le graphe $\mathscr{C}_f$ coupe l'axe des abscisses, au moins une fois, en un point dont l'abscisse appartient à $[a, b]$.

Figure TikZ à convertir en image

Exemple

Exemples

1) Montrons que l'équation $8x^3 – 6x – 1 = 0$ admet une solution dans chacun des intervalles $\left]-1; -\dfrac{1}{2}\left[\right.\right.$, $\left]-\dfrac{1}{2}; 0\left[\right.\right.$ et $\left]0; 1\left[\right.\right.$ : On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = 8x^3 – 6x – 1$ La fonction $g$ est évidemment continue sur $\mathbb{R}$ car c'est une fonction polynomiale.

On a $g(-1) = -3$ et $g\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 1$, donc $g(-1) \cdot g\left(-\dfrac{1}{2}\right) < 0$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x) = 0$ admet une solution dans l'intervalle $\left]-1; -\dfrac{1}{2}\left[\right.\right.$.
On a $g\left(-\dfrac{1}{2}\right) = 1$ et $g(0) = -1$, donc $g\left(-\dfrac{1}{2}\right) \cdot g(0) < 0$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x) = 0$ admet une solution dans l'intervalle $\left]-\dfrac{1}{2}; 0\left[\right.\right.$.
On a $g(1) = 1$ et $g(0) = -1$, donc $g(0) \cdot g(1) < 0$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x) = 0$ admet une solution dans l'intervalle $\left]0; 1\left[\right.\right.$.

D'où l'équation $8x^3 – 6x – 1 = 0$ admet une solution dans chacun des intervalles $\left]-1; -\dfrac{1}{2}\left[\right.\right.$, $\left]-\dfrac{1}{2}; 0\left[\right.\right.$ et $\left]0; 1\left[\right.\right.$. Comme de plus $g$ est un polynôme de degré 3, ce sont les seules solutions sur $\mathbb{R}$. 2) Montrons que l'équation $x + \sin x – 1 = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]$ : On considère la fonction $f$ définie sur $\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]$ par : $f(x) = x + \sin x – 1$ La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]$ en tant que somme des fonctions continues et strictement croissantes sur $\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]$. De plus $f(0) = -1$ et $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{\pi}{2}$, donc $f(0) \cdot f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) < 0$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans $\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]$.

Application

Applications

1) Montrer que chacune des équations suivantes admet au moins une solution dans l'intervalle $I$ :

\text{a) } x^4 + x^2 + 4x – 1 = 0 \text{et} I = [0; 1] \text{b) } 2\cos x – x = 0 \text{et} I = [0; \pi]

\text{c) } 1 + \sin x = 4x \text{et} I = \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right] \text{d) } \tan x + x^2 = 2 \text{et} I = \left[\dfrac{\pi}{4}; \dfrac{\pi}{3}\right]

2) Montrer que l'équation $x^3 – 6x^2 + 6 = 0$ admet une solution unique dans l'intervalle $[-2; 0]$. 3) Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ telle que : $\forall x \in I, f(x) \neq 0$ Montrer par l'absurde que la fonction $f$ garde un signe constant sur l'intervalle $I$.

3.4. PRINCIPE DE LA MÉTHODE DE DICHOTOMIE

Remarque

À retenir

Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$ telle que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans $[a, b]$. Pour déterminer un encadrement du nombre $\alpha$, on démarre donc en ayant localisé la racine $\alpha$ entre $a$ et $b$ ($a < \alpha <b>=Stealth] \draw[->] (-1,0) — (3.5,0) node[right] {$x$}; \draw[->] (0,-1.5) — (0,2.5) node[above] {$f(x)$}; \draw[dashed] (-0.8,0) node[above] {$a$} — (-0.8,-1.2) — (0,-1.2) node[right] {$f(a)$}; \draw[dashed] (0.8,0) node[above] {$m$} — (0.8,-0.3) — (0,-0.3) node[left] {$f(m)$}; \draw[dashed] (2.2,0) node[bottom] {$b$} — (2.2,2.2); \draw[thick, red] (-0.8,-1.2) to[out=40, in=240] (2.2,2.2) node[left] {$(\mathscr{C}_f)$}; \fill[red] (-0.8,-1.2) circle (2pt); \fill[red] (0.8,-0.3) circle (2pt); \fill[red] (1.1,0) circle (2pt) node[below right] {$\alpha$}; \fill[red] (2.2,2.2) circle (2pt); \end{tikzpicture} \textbf{Cas où $\mathbf{f(m) < 0}$}
On a alors $\mathbf{m < \alpha <b>=Stealth] \draw[->] (-1,0) — (3.5,0) node[right] {$x$}; \draw[->] (0,-1.5) — (0,2.5) node[above] {$f(x)$}; \draw[dashed] (-0.8,0) node[above] {$a$} — (-0.8,-1.2); \draw[dashed] (1.3,0) node[bottom] {$m$} — (1.3,0.5) — (0,0.5) node[left] {$f(m)$}; \draw[dashed] (2.2,0) node[bottom] {$b$} — (2.2,2.2); \draw[thick, red] (-0.8,-1.2) to[out=40, in=240] (2.2,2.2) node[left] {$(\mathscr{C}_f)$}; \fill[red] (-0.8,-1.2) circle (2pt); \fill[red] (0.5,0) circle (2pt) node[below right] {$\alpha$}; \fill[red] (1.3,0.5) circle (2pt); \fill[red] (2.2,2.2) circle (2pt); \end{tikzpicture} \textbf{Cas où $\mathbf{f(m) > 0}$}
On a alors $\mathbf{a < \alpha < m}$. On reprend la bisection de l'intervalle en posant : $\mathbf{a = a \text{et} b = m}$ puis on continue comme précédemment…

Exemple

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) = x^3 + x^2 + x – 2$ La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[0; 1]$ et on a $f(0) \cdot f(1) < 0$. Donc l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ tel que $0 < \alpha < 1$. Déterminons un encadrement de $\alpha$ de longueur $0,25$.

Le centre du $[0; 1]$ est $\dfrac{1}{2}$ et on a $f\left(\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{9}{8}$. Donc $f\left(\dfrac{1}{2}\right) \times f(1) < 0$ et $\dfrac{1}{2} < \alpha < 1$. (Longueur : $1 – \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$)
Le centre du $\left[\dfrac{1}{2}; 1\right]$ est $\dfrac{3}{4}$ et on a $f\left(\dfrac{3}{4}\right) = -\dfrac{17}{64}$. Donc $f(1) \times f\left(\dfrac{3}{4}\right) < 0$ et $\dfrac{3}{4} < \alpha < 1$. (Longueur : $1 – \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$)

Ainsi : $\dfrac{3}{4} < \alpha < 1$

4.FONCTION RÉCIPROQUE D’UNE FONCTION CONTINUE ET STRICTEMENT MONOTONE

4.1. THÉORÈME DE LA FONCTION RÉCIPROQUE

Proposition

Proposition 11

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ alors elle réalise une bijection de $I$ sur l'intervalle $f(I)$.

Preuve

Puisque $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f$ est continue sur $I$ alors $f(I)$ est aussi un intervalle de $\mathbb{R}$. Donc :

\forall y \in f(I), \exists x \in I : y = f(x)

Soit $a$ et $b$ deux éléments distincts de $I$. Puisque $f$ est strictement monotone sur $I$ alors $f(a) f(b)$, donc $f(a) \neq f(b)$. Par suite, pour tout $y \in f(I)$, l'équation $f(x) = y$ admet une solution unique dans $I$, et donc $f$ est une bijection de $I$ sur $f(I)$.

Exemple

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $I = ]-\infty; -1]$ par : $f(x) = \dfrac{x^2 + 5}{x – 2}$ Montrons que $f$ est une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à déterminer et calculons $f^{-1}(x)$ pour $x \in J$. La fonction $f$ étant continue et dérivable sur $I$ car c'est la restriction d'une fonction rationnelle et on a pour tout $x \in I$ :

f'(x) = \dfrac{2x(x – 2) – (x^2 + 5)}{(x – 2)^2} = \dfrac{(x + 1)(x – 5)}{(x – 2)^2}

Il s'ensuit donc que : $\forall x \in ]-\infty; -1[, f'(x) > 0$ Puisque la fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $I$ alors elle est une bijection de $I$ sur l'intervalle $J = f(I)$ avec :

J = f(I) = \left]\lim_{x \to -\infty} f(x); f(-1)\right] = ]-\infty; -2]

Détermination de $f^{-1}(x)$ pour tout $x \in J$ : Soit $x \in J$ et $y \in I$ tels que $y = f^{-1}(x)$. On a donc :

y = f^{-1}(x) \iff x = f(y) \iff \dfrac{y^2 + 5}{y – 2} = x \iff y^2 – xy + 2x + 5 = 0

Cette équation admet deux solutions réelles qui sont : $y_1 = \dfrac{x – \sqrt{x^2 – 8x – 20}}{2}$ et $y_2 = \dfrac{x + \sqrt{x^2 – 8x – 20}}{2}$ On a : $y_1 + 1 = \dfrac{x + 2 – \sqrt{x^2 – 8x – 20}}{2} \le 0$ (car $x \in J$ c'est-à-dire : $x + 2 \le 0$ et $-\sqrt{x^2 – 8x – 20} \le 0$) En définitive :

(\forall x \in J), f^{-1}(x) = \dfrac{x – \sqrt{x^2 – 8x – 20}}{2}

Application

Applications

Dans chacun des cas suivants, montrer que la fonction $f$ réalise une bijection de $I$ sur un intervalle $J$ à déterminer puis déterminer une expression de $f^{-1}(x)$ pour $x \in J$ : 1) $f(x) = x^2 – 2x + 5$ et $I = [1; +\infty[$ ; 2) $f(x) = 4x – x^2$ et $I = ]-\infty; 2[$ 3) $f(x) = \sqrt{x^2 – x} – x$ et $I = ]-\infty; 0]$ ; 4) $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 2}$ et $I = [0; \sqrt{2}]$

4.2. PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION RÉCIPROQUE

Proposition

Proposition 12

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ alors :

La fonction réciproque $f^{-1}$ est continue sur $f(I)$ et a même sens de variation que la fonction $f$.
Les courbes représentatives de $f$ et de $f^{-1}$, dans un repère orthonormé, sont symétriques par rapport à la première bissectrice (c'est-à-dire par rapport à la droite d'équation $y = x$)

Preuve

Soit $y_1$ et $y_2$ deux éléments distincts de $f(I)$. Il existe deux réels distincts $x_1$ et $x_2$ de $I$ tels que $y_1 = f(x_1)$ et $y_2 = f(x_2)$ (car $f$ est une bijection de $I$ sur $f(I)$). Donc : $x_1 = f^{-1}(y_1)$ et $x_2 = f^{-1}(y_2)$, et alors :

\dfrac{f^{-1}(y_2) – f^{-1}(y_1)}{y_2 – y_1} = \dfrac{x_1 – x_2}{f(x_1) – f(x_2)}

Cela signifie donc que les taux de variation des deux fonctions $f$ et $f^{-1}$ ont le même signe et par suite $f$ et $f^{-1}$ ont le même sens de variation. Soit $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_{f^{-1}}$ les graphes de $f$ et $f^{-1}$ respectivement dans un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$. Soit $M(x, y)$ un point du plan et $M'(y, x)$ son symétrique par rapport à la première bissectrice. On a alors :

M(x, y) \in \mathscr{C}_f \iff y = f(x) \iff x = f^{-1}(y) \iff M'(y, x) \in \mathscr{C}_{f^{-1}}

Il s'ensuit donc que $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_{f^{-1}}$ sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

Figure TikZ à convertir en image

5.FONCTIONS RÉCIPROQUES USUELLES

5.1. FONCTION ARCTANGENTE

Définition

Définition 6

La fonction $x \mapsto \tan x$ est une bijection de $\left]-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\left[\right.\right.$ sur $\mathbb{R}$. Sa fonction réciproque est appelée fonction Arctangente et on la note $\operatorname{Arctan}$.

Proposition

Proposition 13

La fonction $\operatorname{Arctan}$ est définie sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\left]-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\left[\right.\right.$. On a de plus : $(\forall x \in \mathbb{R})\left(\forall y \in \left]-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\left[\right.\right.\right) (\operatorname{Arctan} x = y \iff x = \tan y)$
Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $\tan(\operatorname{Arctan} x) = x$
Pour tout $x \in \left]-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\left[\right.\right.$ : $\operatorname{Arctan}(\tan x) = x$
La fonction $\operatorname{Arctan}$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$. On a pour tout $(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2$ : $(\operatorname{Arctan} x_1 = \operatorname{Arctan} x_2 \iff x_1 = x_2) \text{et} (\operatorname{Arctan} x_1 < \operatorname{Arctan} x_2 \iff x_1 < x_2)$
La fonction $x \mapsto \operatorname{Arctan} x$ est impaire : $(\forall x \in \mathbb{R}) \operatorname{Arctan}(-x) = -\operatorname{Arctan} x$
On a les limites suivantes : $\lim_{x \to +\infty} \operatorname{Arctan} x = \dfrac{\pi}{2}$ , $\lim_{x \to -\infty} \operatorname{Arctan} x = -\dfrac{\pi}{2}$ , $\lim_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{Arctan} x}{x} = 1$

Remarque

À retenir

Tableau de quelques valeurs importantes La courbe représentative de la fonction Arctan \centering \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline $x$ & $0$ & $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ & $1$ & $\sqrt{3}$
\hline $\operatorname{Arctan} x$ & $0$ & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ & $\dfrac{\pi}{3}$
\hline \end{tabular} \centering

Figure TikZ à convertir en image

Exemple

Exemples

1. Calculons $\operatorname{Arctan}\left(\tan \dfrac{101\pi}{4}\right)$ : On sait que si $x \in \left]-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\left[\right.\right.$ alors $\operatorname{Arctan}(\tan x) = x$. Puisque $\dfrac{101\pi}{4} = 25\pi + \dfrac{\pi}{4}$ et la fonction $\tan$ est périodique de période $\pi$ et $\dfrac{\pi}{4} \in \left]-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\left[\right.\right.$ alors :

\operatorname{Arctan}\left(\tan \dfrac{101\pi}{4}\right) = \operatorname{Arctan}\left(\tan\left(25\pi + \dfrac{\pi}{4}\right)\right) = \operatorname{Arctan}\left(\tan \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\pi}{4}

2. Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation : $(E) : \operatorname{Arctan} x = \operatorname{Arctan} \dfrac{1}{2} + \operatorname{Arctan} \dfrac{1}{3}$ On pose : $\operatorname{Arctan} \dfrac{1}{2} = \alpha$ et $\operatorname{Arctan} \dfrac{1}{3} = \beta$ donc : $\tan \alpha = \dfrac{1}{2}$ et $\tan \beta = \dfrac{1}{3}$ L'équation $(E)$ est donc équivalente à $\operatorname{Arctan} x = \alpha + \beta$. Puisque $0 < \dfrac{1}{2} < \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ et $0 < \dfrac{1}{3} < \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ alors $0 < \alpha < \dfrac{\pi}{6}$ et $0 < \beta < \dfrac{\pi}{6}$ et donc $0 < \alpha + \beta < \dfrac{\pi}{3}$. Par conséquent :

(E) \iff x = \tan(\alpha + \beta) \iff x = \dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 – \tan \alpha \cdot \tan \beta} = \dfrac{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}}{1 – \dfrac{1}{6}} = 1

Par suite, l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$ est : $S = \{1\}$ 3. Calculons les limites de la fonction $f : x \mapsto (x + 1)\operatorname{Arctan} \dfrac{1}{x}$ aux bornes de son domaine de définition. On a $D_f = ]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[$. On a donc :

$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + 1)\operatorname{Arctan} \dfrac{1}{x} = \dfrac{\pi}{2}$ car : $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$ et $\lim_{X \to +\infty} \operatorname{Arctan} X = \dfrac{\pi}{2}$
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x + 1)\operatorname{Arctan} \dfrac{1}{x} = -\dfrac{\pi}{2}$ car : $\lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty$ et $\lim_{X \to -\infty} \operatorname{Arctan} X = -\dfrac{\pi}{2}$
En posant $X = \operatorname{Arctan} \dfrac{1}{x}$ on obtient : $\lim_{|x| \to +\infty} f(x) = \lim_{X \to 0} \dfrac{X}{\tan X} + X = 1$

Application

Applications

1. Déterminer le domaine de définition de la fonction $f : x \mapsto \tan(2\operatorname{Arctan} x)$ puis donner une expression simplifiée de $f(x)$. 2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ ce qui suit : $\operatorname{Arctan} x + \operatorname{Arctan}(3x) = \dfrac{\pi}{3}$ ; $\operatorname{Arctan}(2x) + \operatorname{Arctan}(x – 1) \le 0$ 3. Simplifier les écritures des nombres suivants : $\operatorname{Arctan}\left(\tan\left(\dfrac{35\pi}{6}\right)\right)$ et $\operatorname{Arctan}\left(\dfrac{1}{\tan\left(\dfrac{36\pi}{7}\right)}\right)$ 4. Calculer les limites suivantes : $\lim_{x \to 2} \dfrac{\operatorname{Arctan}(x – 2)}{x^2 – 4}$ et $\lim_{x \to -\infty} x\left(\dfrac{\pi}{2} + \operatorname{Arctan} x\right)$ 5. Montrer que la fonction $g : x \mapsto \tan x – \sqrt{\tan^2 x} – \tan x$ réalise une bijection de $I = \left]\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\left[\right.\right.$ sur un intervalle $J$ à déterminer puis calculer $f^{-1}(x)$ pour tout $x \in J$.

5.2. FONCTION RACINE $n^{\text{ième}}$

Définition

Définition 7

Soit $n$ un entier naturel non nul. La fonction $x \mapsto x^n$ réalise une bijection de $\mathbb{R}^+$ sur $\mathbb{R}^+$. Sa fonction réciproque est appelée la fonction racine $n^{\text{ième}}$ et on la note $\sqrt[n]{\phantom{x}}$. Pour tout $x \in \mathbb{R}^+$, $\sqrt[n]{x}$ se lit « racine $n^{\text{ième}}$ de $x$ ».

Proposition

Proposition 14

Soit $n \in \mathbb{N}^*$.

On a alors pour tous $x$ et $y$ de $\mathbb{R}^+$ : $\sqrt[n]{x} = y \iff y^n = x ; \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{y} \iff x = y ; \sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{y} \iff x < y$
On a alors pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ : $\sqrt[n]{x^n} = \left(\sqrt[n]{x}\right)^n = x$
La fonction $x \mapsto \sqrt[n]{x}$ est continue sur $\mathbb{R}^+$ et de plus : $\lim_{x \to +\infty} \sqrt[n]{x} = +\infty$

Remarque

Soit $a$ un réel non nul et $n \in \mathbb{N}^* – \{1\}$. L'ensemble des solutions de l'équation $x^n = a$ dépend de signe du nombre $a$ et de la parité de l'entier $n$. Le tableau ci-contre résume les cas possibles. \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline \diagbox{Signe de $a$}{Parité de $n$} & $n$ pair & $n$ impair
\hline $a > 0$ & $S = \{-\sqrt[n]{a}; \sqrt[n]{a}\}$ & $S = \{\sqrt[n]{a}\}$
\hline $a < 0$ & $S = \varnothing$ & $S = \{-\sqrt[n]{-a}\}$
\hline \end{tabular}

Proposition

Proposition 15

Soit $a$ et $b$ deux réels, et $p$ et $n$ deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2. On a alors les propriétés suivantes :

\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} ; \sqrt[n]{\dfrac{1}{a}} = \dfrac{1}{\sqrt[n]{a}} (\text{avec } a \neq 0) ; \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} (\text{avec } b \neq 0)

\sqrt[np]{a^p} = \sqrt[n]{a} ; \sqrt[p]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[pn]{a} ; \left(\sqrt[n]{a}\right)^p = \sqrt[n]{a^p}

Exemple

Simplifions le nombre : $A = \dfrac{\sqrt[4]{32} \times \sqrt[9]{27} \times \sqrt[4]{108}}{\sqrt[4]{144}}$ On a : $A = \dfrac{\sqrt[4]{2^5} \times \sqrt[9]{3^3} \times \sqrt[4]{2^2 \times 3^3}}{\sqrt[4]{2^4 \times 3^2}} = \dfrac{\sqrt[4]{2^4 \times 2} \times \sqrt[3]{3} \times \sqrt[4]{2^2} \times \sqrt[4]{3^3}}{\sqrt[4]{2^4} \times \sqrt[4]{3^2}} = \dfrac{2\sqrt[4]{2} \times \sqrt[3]{3} \times \sqrt{2} \times \sqrt[4]{3^3}}{\sqrt{2} \times \sqrt[4]{3^3}} = 6\sqrt[4]{2}$

Application

Applications

1. Simplifier les nombres suivants : $A = \dfrac{\sqrt[3]{\sqrt{256} \times \sqrt[4]{64}}}{\sqrt[5]{24300000} \times \sqrt[3]{1024}}$ et $B = \dfrac{\sqrt[4]{9} \times \sqrt{\sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{9}}}{\sqrt[5]{729}\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}}}}$ 2. Comparer les nombres $\sqrt[4]{5}$ et $\sqrt[3]{4}$. 3. Montrer que : $(\forall a \in \mathbb{R}_+^*)(\forall n \in \mathbb{N}^*)(\forall p \in \mathbb{Z}) : \sqrt[np]{a^p} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^p$ 4. Montrer que : $(\forall a \in \mathbb{R}_+^*)(\forall n \in \mathbb{N}^*)(\forall p \in \mathbb{N}^*) : \sqrt[n]{a} \times \sqrt[p]{a} = \sqrt[np]{a^{n+p}}$ 5. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\sqrt[3]{(x + 1)^2} – \sqrt[3]{(x – 1)^2} = \sqrt[3]{4x}$

Proposition

Proposition 16

Soit $u$ une fonction positive sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0 \in I$.

Si $u$ est continue sur $I$ alors la fonction $\sqrt[n]{u}$ est continue sur $I$.
Si $\lim_{x \to x_0} u(x) = \ell$ alors $\lim_{x \to x_0} \sqrt[n]{u(x)} = \sqrt[n]{\ell}$
Si $\lim_{x \to x_0} u(x) = +\infty$ alors $\lim_{x \to x_0} \sqrt[n]{u(x)} = +\infty$

Exemple

Exemples

1. Etudions la continuité de la fonction $f : x \mapsto \sqrt[3]{\operatorname{Arctan} x}$ sur $\mathbb{R}^+$ : La fonction $\operatorname{Arctan}$ est continue et positive sur $\mathbb{R}^+$. Il s'ensuit donc que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^+$. 2. Calculons la limite : $\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{x} – 1}{x – 1}$ En utilisant l'identité remarquable $a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)$ on obtient :

\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{x} – 1}{x – 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{x} + 1} = \dfrac{1}{3}

Application

Applications

1. Étudier la continuité de la fonction $f : x \mapsto \sqrt[4]{\dfrac{x}{x – 1}}$ sur chaque intervalle de son domaine de définition. 2. Calculer les limites suivantes : $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[3]{x + 1} – 1}{\sqrt[4]{x + 1} – 1}$ , $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt[3]{x^3 + x} – x\right)$ , $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 1} – \sqrt[3]{x^2 + 1}\right)$

5.3. PUISSANCE RATIONNELLE D’UN NOMBRE STRICTEMENT POSITIF

Définition

Définition 8

Soit $r$ un nombre rationnel non nul et $p$ et $q$ deux entiers relatifs tels que $q \ge 2$ et $r = \dfrac{p}{q}$. Pour tout réel $x$ strictement positif, on a :

x^r = x^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{x^p}

Le nombre $x^r$ se lit « puissance rationnelle de $x$ d'exposant $r$ ». Le nombre $x^{\frac{1}{q}}$ se note également $x^{1/q}$ ou $\exp\left(\dfrac{1}{q}\ln x\right)$.

Proposition

Proposition 17

Soit $r$ et $r'$ deux nombres rationnels et $x$ et $y$ deux nombres réels strictement positifs. On a les règles de calculs suivantes :

x^r \times x^{r'} = x^{r + r'} ; \dfrac{x^r}{x^{r'}} = x^{r – r'} ; \left(x^r\right)^{r'} = x^{r \times r'}

(xy)^r = x^r \times y^r ; \left(\dfrac{x}{y}\right)^r = \dfrac{x^r}{y^r} ; x^{-r} = \dfrac{1}{x^r}

Exemple

Simplifions le nombre : $A = \dfrac{2^{\frac{1}{3}} \times \left(4^{-\frac{1}{2}}\right)^3}{\left(8^{\frac{1}{6}}\right)^2}$ On a : $A = \dfrac{2^{\frac{1}{3}} \times \left(\left(2^2\right)^{-\frac{1}{2}}\right)^3}{\left(\left(2^3\right)^{\frac{1}{6}}\right)^2} = \dfrac{2^{\frac{1}{3}} \times \left(2^{-1}\right)^3}{\left(2^{\frac{1}{2}}\right)^2} = \dfrac{2^{\frac{1}{3}} \times 2^{-3}}{2^1} = 2^{\frac{1}{3} – 3 – 1} = 2^{-\frac{11}{3}}$

Application

Applications

1. Simplifier les nombres suivants :

A = \dfrac{\left(25^{\frac{1}{4}}\right)^2 \times 5^{-\frac{1}{3}}}{\left(125^{\frac{1}{9}}\right)^3} \text{et} B = \dfrac{\left(81^{\frac{1}{4}}\right)^3 \times 9^{-\frac{1}{2}}}{\left(27^{\frac{1}{6}}\right)^4}

2. Montrer que : $(\forall x \in \mathbb{R}_+^*)(\forall r \in \mathbb{Q}) : \left(x^r\right)' = r x^{r – 1}$ 3. Etudier les variations de la fonction $f : x \mapsto x^{\frac{2}{3}}$ sur $\mathbb{R}_+^*$ puis tracer sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Proposition

Proposition 18

Soit $u$ une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$ et $r \in \mathbb{Q}^*$. La fonction $u^r$ est dérivable sur $I$ et on a :

\left(u^r\right)' = r u' u^{r – 1}

Exemple

1. Etudions la dérivabilité de la fonction $f : x \mapsto \left(x^2 + x + 1\right)^{\frac{3}{4}}$ sur $\mathbb{R}$ : La fonction $u : x \mapsto x^2 + x + 1$ est dérivable et strictement positive sur $\mathbb{R}$ (car $\Delta = -3 < 0$). Il s'ensuit donc que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on a pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

f'(x) = \dfrac{3}{4}(2x + 1)\left(x^2 + x + 1\right)^{\frac{3}{4} – 1} = \dfrac{3(2x + 1)}{4\sqrt[4]{x^2 + x + 1}}

2. Calculons la limite : $\lim_{x \to +\infty} \left(x^{\frac{2}{3}} – x^{\frac{1}{3}}\right)$ On a : $\lim_{x \to +\infty} \left(x^{\frac{2}{3}} – x^{\frac{1}{3}}\right) = \lim_{x \to +\infty} x^{\frac{2}{3}}\left(1 – x^{-\frac{1}{3}}\right) = +\infty$ car $\lim_{x \to +\infty} x^{\frac{2}{3}} = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} x^{-\frac{1}{3}} = 0$.

Application

Applications

1. Étudier la dérivabilité de la fonction $f : x \mapsto \left(\dfrac{x}{x + 1}\right)^{\frac{2}{3}}$ sur chacun des intervalles de son domaine de définition puis déterminer sa fonction dérivée. 2. Calculer les limites suivantes : $\lim_{x \to +\infty} \left(x^{\frac{4}{3}} – 2x^{\frac{2}{3}} + 1\right)$ , $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^{\frac{2}{3}} + 1}{x^{\frac{1}{3}} + 2}$ , $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^{\frac{3}{4}} – 1}{x^{\frac{1}{4}} – 1}$