Fonctions logarithmiques

Soit $A > 0$. On sait qu'il existe une infinité des nombres naturels $n$ tels que $\ln\left(2^n\right) > A$, il suffit de choisir $n > \dfrac{A}{\ln 2}$. Le plus petit de ces nombres est $n_0 = E\left(\dfrac{A}{\ln 2}\right) + 1$. On a alors : $\ln\left(2^{n_0}\right) > A$ Il est clair que si $x$ est un réel vérifiant $x > 2^{n_0}$, alors $\ln x > A$ car $x \mapsto \ln x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}_+^*$. On a alors montré que : $(\forall A > 0)\; (\exists B > 0) \;; \left(x > B \implies \ln(x) > A\right)$. Par suite : $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$ Pour calculer $\lim_{x \to 0^+} \ln x$, on pose $y = \dfrac{1}{x}$. On trouve alors : $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = \lim_{y \to +\infty} \ln\left(\dfrac{1}{y}\right) = \lim_{y \to +\infty} (-\ln y) = -\infty$ Il s'ensuit donc : $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$

Le premier résultat découle immédiatement du fait que $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$. Montrons maintenant que $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$. Pour cela, considérons la fonction $f$ définie sur $[1; +\infty[$ par : $f(x) = 2\sqrt{x} – \ln x$. Cette fonction est dérivable sur $[1; +\infty[$ et on a pour tout $x \in [1; +\infty[$ : Puisque $x \in [1; +\infty[$ alors $f'(x) \ge 0$, donc la fonction $f$ est croissante sur $[1; +\infty[$ et on a pour tout $x \in [1; +\infty[$, $f(x) \ge f(1)$, c'est-à-dire que $f(x) \ge 2$. Par conséquent, pour tout $x \in [1; +\infty[$, $0 \le \ln x \le 2\sqrt{x}$. Les inégalités $0 \le \ln x \le 2\sqrt{x}$ donnent $0 \le \dfrac{\ln x}{x} \le \dfrac{2}{\sqrt{x}}$. Puisque $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to +\infty} 0 = 0$ alors $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$. Ainsi, la courbe $\mathcal{C}$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de $+\infty$. La concavité de la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction $x \mapsto \ln x$ vient du fait que la fonction $\ln$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et que pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, $\ln''(x) = -\dfrac{1}{x^2}$ et $-\dfrac{1}{x^2} < 0$.

Pour tout $x \in I$, on pose : $f(x) = \ln|u(x)|$. Puisque $u$ est continue sur $I$ (car elle est dérivable) et ne s'annule pas sur $I$ alors $u$ est soit strictement positive ou soit strictement négative sur $I$. Si $u$ est strictement positive sur $I$ alors pour tout $x \in I$, $f(x) = \ln(u(x))$, c'est-à-dire que : $f = \ln \circ u$ Par application de la proposition de la dérivabilité de la composée de deux fonctions (proposition… page ….), on en déduit que la fonction $f$ est dérivable sur $I$ et que pour tout $x \in I$ : Si $u$ est strictement négative sur $I$ alors pour tout $x \in I$, $f(x) = \ln(-u(x))$, c'est-à-dire que : $f = \ln \circ (-u)$ Par application de la proposition de la dérivabilité de la composée de deux fonctions (proposition… page ….), on en déduit que la fonction $f$ est dérivable sur $I$ et que pour tout $x \in I$ :