Soit $\mathbb{K}$ un corps et $E$ un ensemble.
On appelle loi de composition externe de $\mathbb{K}$ sur $E$, toute application de $\mathbb{K} \times E$ dans $E$.
Si $\alpha \in \mathbb{K}$ et $x \in E$, on note en général $\alpha \cdot x$ ou $\alpha x$ l'image de $(\alpha;x)$ par cette application.
Remarque
Remarques
Dans la définition précédente, on peut avoir $E = \mathbb{K}$ ; et dans ce cas, on parle d'une loi de composition interne. Ainsi, toute loi de composition interne sur $E$ peut être considérée comme une loi de composition externe sur $E$ à coefficients dans $E$.
Au cours de ce chapitre, on prendra $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ comme corps de référence.
Exemple
Exemples
L'ensemble $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ : ensemble des matrices carrées d'ordre $2$ à coefficients réels.
Pour toute matrice $M = \begin{pmatrix} a & b c & d \end{pmatrix}$ et pour tout réel $\alpha$, on appelle produit de $\alpha$ par $M$, et on le note $\alpha M$, la matrice $\begin{pmatrix} \alpha a & \alpha b \alpha c & \alpha d \end{pmatrix}$. On a alors obtenu une loi de composition externe de $\mathbb{R}$ sur $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Cette loi s'appelle multiplication d'une matrice par un réel.
L'ensemble $\mathbb{R}^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$) : ensemble des $n$-uplets.
Pour tout $X = (x_1; x_2; \dots; x_n) \in \mathbb{R}^n$ et pour tout réel $\alpha$, on appelle produit de $X$ par $\alpha$, et on le note $\alpha X$, le $n$-uplet $\alpha X = (\alpha x_1; \alpha x_2; \dots; \alpha x_n)$. On a alors obtenu une loi de composition externe de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}^n$.
Dans l'usage pratique, on prend souvent $\mathbb{R}^2$ (ensemble des couples) et $\mathbb{R}^3$ (ensemble des triplets).
L'ensemble $\mathcal{V}_2$ : ensemble des vecteurs du plan.
Pour tout vecteur $\vec{u} \in \mathcal{V}_2$ et pour tout réel $\alpha$, le produit de $\alpha$ par $\vec{u}$, noté $\alpha \vec{u}$, est un élément de $\mathcal{V}_2$.
On a alors obtenu une loi de composition externe de $\mathbb{R}$ sur $\mathcal{V}_2$. Cette loi s'appelle multiplication d'un vecteur par un réel.
La multiplication d'un vecteur de $\mathcal{V}_3$ par un réel est aussi une loi de composition externe de $\mathbb{R}$ sur $\mathcal{V}_3$.
L'ensemble $\mathcal{P}_n$ ($n \in \mathbb{N}^*$) : ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$.
Pour tout polynôme $P \in \mathcal{P}_n$ et pour tout réel $\alpha$, le produit de $P$ par $\alpha$, noté $\alpha P$, est un élément de $\mathcal{P}_n$.
On a alors obtenu une loi de composition externe de $\mathbb{R}$ sur $\mathcal{P}_n$.
2.STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL RÉEL
Remarque
À retenir
Au secondaire, que ce soit en Mathématiques ou en Physique, nous avons utilisé les vecteurs du plan ou de l'espace : nous avons déjà additionné deux vecteurs et effectué le produit d'un vecteur par un réel. Par des démonstrations élémentaires de géométrie, on peut constater certaines propriétés de ces deux opérations parmi lesquelles la commutativité et l'associativité de l'addition.
En se plaçant dans une base $(\vec{i}; \vec{j})$, on peut aussi :
associer, à tout vecteur $\vec{u}$, le couple de ses composants réels ;
traduire les opérations précédentes sur ces couples de coordonnées et ainsi obtenir, sur les éléments de $\mathbb{R}^2$, des opérations d'addition, et de multiplication par un réel.
Enfin, aux chapitres $4$ et $5$ de cet ouvrage, nous avons vu l'ensemble $\mathcal{F}(I; \mathbb{R})$ des fonctions définies sur un intervalle $I$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$, dans lequel, l'addition de deux fonctions et le produit d'une fonction par un réel ont les mêmes propriétés que les opérations précédentes.
La structure d'espace vectoriel, que nous allons introduire et qui est très importante en Mathématique, pourra paraître abstraite au prime abord ; c'est pourquoi, pour l'assimiler plus facilement, il est bon, tout au long de ce qui va suivre, de garder à l'esprit les trois exemples précédents et de ne pas hésiter à les manipuler.
Définition
Définition 2
Un espace vectoriel réel (ou $\mathbb{R}$-espace vectoriel) est un triplet $(E; +; \cdot)$ dans lequel $E$ est un ensemble non vide muni :
d'une loi de composition interne, notée $+$, telle que $(E; +)$ est un groupe commutatif,
cette loi est l'addition de $E$ ;
son élément neutre est noté $0_E$
d'une loi de composition externe, application de $\mathbb{R} \times E$ dans $E$, appelée produit externe ou produit par un scalaire, notée $(\alpha; x) \mapsto \alpha \cdot x$, et possédant les propriétés suivantes :
$\left(\forall (\alpha; \beta) \in \mathbb{R}^2\right)\ (\forall x \in E) (\alpha + \beta) \cdot x = \alpha \cdot x + \beta \cdot x$ ;
Dans tout ce qui suit, on adopte les conventions et les symboles suivants :
En l'absence d'informations sur la nature des éléments de $E$, un élément de $E$ sera noté généralement $\vec{x}$.
On utilise l'écriture $\alpha \vec{x}$ au lieu $\alpha \cdot \vec{x}$ où $\alpha \in \mathbb{R}$ et $\vec{x} \in E$.
L'élément neutre de $(E; +)$ sera noté $\vec{0}$. C'est le vecteur nul de l'espace vectoriel $E$.
Si $\alpha \in \mathbb{R}^*$ et $\vec{x} \in E$, on peut « diviser $\vec{x}$ par $\alpha$ » : cela revient à multiplier le vecteur $\vec{x}$ par le scalaire $\alpha^{-1}$. Ainsi $\dfrac{1}{\alpha} \vec{x}$ se note aussi $\dfrac{\vec{x}}{\alpha}$.
Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs de $E$, le vecteur $\vec{u} + (-\vec{v})$ s'écrit $\vec{u} – \vec{v}$.
Le vecteur $\vec{u} – \vec{v}$ s'appelle la différence des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans cet ordre.
En pratique, les opérations $+ et $\cdot$ sont le plus souvent utilisées sans ambiguïté.
En conséquence, l'espace vectoriel réel $(E; +; \cdot)$ sera plus simplement noté $E$, et on dira que $E$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.
En tenant compte de ces nouvelles notations, on aboutit à la définition suivante d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.
Définition
Définition 3
$(E; +; \cdot)$ est un espace vectoriel réel (ou $\mathbb{R}$-espace vectoriel) lorsque :
Soit $(E; +; \cdot)$ est un espace vectoriel réel. Alors :
Tout vecteur de $E$ est un élément régulier dans $(E; +)$.
Pour tout $\vec{x} \in E$ : $0\vec{x} = \vec{0}$.
Pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$ : $\alpha \vec{0} = \vec{0}$.
Pour tous $\alpha \in \mathbb{R}$ et pour tout $\vec{x} \in E$ : $\alpha \vec{x} = \vec{0} \iff \left(\alpha = 0 \text{ ou } \vec{x} = \vec{0}\right)$.
Preuve
Preuve
Puisque $(E; +)$ est un groupe commutatif alors tout vecteur de $E$ est régulier pour l'addition.
On a pour tout $\vec{x} \in E$ : $0\vec{x} + \vec{0} = 0\vec{x} \iff 0\vec{x} + \vec{0} = (0+0)\vec{x} \iff 0\vec{x} + \vec{0} = 0\vec{x} + 0\vec{x} \iff 0\vec{x} = \vec{0}$.
On a pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$ : $\alpha \vec{0} = \alpha\left(\vec{0} + \vec{0}\right) \iff \vec{0} + \alpha \vec{0} = \alpha \vec{0} + \alpha \vec{0} \iff \alpha \vec{0} = \vec{0}$.
Soit $\alpha \in \mathbb{R}$ et $\vec{x} \in E$.
$(\impliedby)$ : déjà montré en 1) et 2).
$(\implies)$ : Supposons que $\alpha \vec{x} = \vec{0}$. Si $\alpha \neq 0$ alors : $\dfrac{1}{\alpha}(\alpha \vec{x}) = \left(\dfrac{\alpha}{\alpha}\right)\vec{x} = \vec{0}$ (d'après la définition 3) ; il s'ensuit $1\vec{x} = \vec{0}$ et donc $\vec{x} = \vec{0}$. D'où le résultat.
Proposition
Proposition 2
Soit $(E; +; \cdot)$ est un espace vectoriel réel. Alors :
Pour tous $\alpha \in \mathbb{R}$ et pour tout $\vec{x} \in E$ : $(-\alpha)\vec{x} = \alpha(-\vec{x}) = -(\alpha \vec{x})$.
Pour tout $(\vec{u}; \vec{v}) \in E^2$, l'équation $\vec{x} + \vec{u} = \vec{v}$ admet une solution unique dans $E$. Cette solution est $\vec{x} = \vec{v} + (-\vec{u}) = \vec{v} – \vec{u}$ ($\vec{v} – \vec{u}$ étant la différence des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans cet ordre).
Pour tous $(\alpha; \beta) \in \mathbb{R}^2$ et pour tout $(\vec{x}; \vec{y}) \in E^2$ : $\alpha(\vec{x} – \vec{y}) = \alpha \vec{x} – \alpha \vec{y}$ et $(\alpha – \beta)\vec{x} = \alpha \vec{x} – \beta \vec{x}$.
Preuve
Preuve
Soit $\alpha \in \mathbb{R}$ et $\vec{x} \in E$. On a : $(\alpha + (-\alpha))\vec{x} = \alpha \vec{x} + (-\alpha)\vec{x}$, et donc $0\vec{x} = \alpha \vec{x} + (-\alpha)\vec{x}$, d'où $(-\alpha)\vec{x} = -(\alpha \vec{x})$.
L'égalité $(-\alpha)\vec{x} = \alpha(-\vec{x})$ provient immédiatement de la définition 3 (prendre $\beta = -1$ dans 3). Ainsi :
Ainsi : $A^2 – A – 2I_3 = O_3$.
b) Résolvons l'équation : $(E) xI_3 = (3x + 5)(A + 3I_3)(A – 4I_3)$
On a $A^2 – A – 2I_3 = O_3$ et donc $A^2 – A = 2I_3$ ; il s'ensuit alors :
Comme $I_3 \neq O_3$ : $(E) \iff 42x + 71 = 0 \iff x = -\dfrac{71}{42}$.
Par suite, l'ensemble solution de l'équation $(E)$ est : $S = \left\{-\dfrac{71}{42}\right\}$.
Application
Applications
On définit sur $\mathbb{R}_+^*$ une loi de composition externe « $\cdot$ » à coefficients réels par :
\[\left(\forall \alpha \in \mathbb{R}\right)\ \left(\forall x \in \mathbb{R}_+^*\right) \alpha \cdot x = x^\alpha\]
Montrer que $(\mathbb{R}_+^*; \times; \cdot)$ est un espace vectoriel réel.
On munit $\mathbb{R}^2$ de deux lois :
d'une loi interne : $(x; y) + (x'; y') = (x + x'; y + y')$
d'une loi externe : $\left(\forall \lambda \in \mathbb{R}\right) \lambda \cdot (x; y) = (0; \lambda y)$
$(\mathbb{R}^2; +; \cdot)$ est-il un espace vectoriel réel ? Justifier.
2.SOUS-ESPACE VECTORIEL
2.1. DÉFINITION ET EXEMPLES
Définition
Définition 4
Étant donné un espace vectoriel réel $(E; +; \cdot)$, une partie $F$ de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ lorsque :
$F \neq \varnothing$,
$F$ est stable pour l'addition : $\left(\forall (\vec{x}; \vec{y}) \in F^2\right)\; \vec{x} + \vec{y} \in F$,
$F$ est stable pour le produit externe : $\left(\forall (\alpha; \vec{x}) \in \mathbb{R} \times F\right)\; \alpha \cdot \vec{x} \in F$,
$(F; +; \cdot)$ est un espace vectoriel réel.
Remarque
Remarques
Attention ! pour prouver que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, ne pas oublier de vérifier que $F \neq \varnothing$ et $F \subset E$. Le plus fréquent pour montrer que $F \neq \varnothing$ est de justifier que $\vec{0} \in F$.
$E$ et $\{\vec{0}\}$ sont des sous-espaces vectoriels de $E$, $\{\vec{0}\}$ est appelé le sous-espace nul.
Avec $\vec{u} \in E – \{\vec{0}\}$, le sous-ensemble $\mathbb{R}\vec{u} = \{\alpha \vec{u} / \alpha \in \mathbb{R}\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$, appelé la droite vectorielle dirigée par le vecteur $\vec{u}$.
Exemple
Exemples
Dans $(\mathcal{V}_2; +; \cdot)$, l'ensemble des vecteurs colinéaires à $\vec{u} = (2; 1)$ est un sous-espace vectoriel de $(\mathcal{V}_2; +; \cdot)$. C'est la droite vectorielle dirigée par le vecteur $\vec{u}$, c'est-à-dire $\mathbb{R}\vec{u}$.
L'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels et l'ensemble $i\mathbb{R}$ des imaginaires purs sont deux sous-espaces vectoriels de l'espace vectoriel $(\mathbb{C}; +; \times)$.
On note $\mathcal{C}(I; \mathbb{R})$ l'ensemble des fonctions continues sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$. Alors, $\mathcal{C}(I; \mathbb{R})$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(I; \mathbb{R})$. De même, l'ensemble $\mathcal{D}(I; \mathbb{R})$ des fonctions dérivables sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ est aussi un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(I; \mathbb{R})$.
L'ensemble $\mathcal{P}_n$ ($n \in \mathbb{N}^*$) : ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(\mathbb{R}; \mathbb{R})$.
Dans l'espace vectoriel $(\mathcal{F}(\mathbb{R}; \mathbb{R}); +; \cdot)$, l'ensemble $F$ des solutions d'une équation différentielle linéaire de la forme $ay'' + by' + cy = 0$ (avec $(a; b; c) \in \mathbb{R}^3$) est un sous-espace vectoriel de $(\mathcal{F}(\mathbb{R}; \mathbb{R}); +; \cdot)$. En effet, $F$ n'est pas vide car il contient au moins la fonction nulle. Si deux fonctions $f_1$ et $f_2$ sont solutions de l'équation différentielle, il en est de même de la fonction somme $f_1 + f_2$. Enfin, si $f_1$ est une solution et $\alpha \in \mathbb{R}$, alors la fonction $\alpha f_1$ est solution.
Remarque
À retenir
\setcounter{enumi}{5}
L'ensemble $F = \{(x; y; z) \in \mathbb{R}^3 / x + y + z = 1\}$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $(\mathbb{R}^3; +; \cdot)$ car il ne contient pas le vecteur nul $\vec{0} = (0; 0; 0)$.
L'ensemble $G = \{(x; y) \in \mathbb{R}^2 / xy = 0\}$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $(\mathbb{R}^2; +; \cdot)$ car il n'est pas stable pour l'addition. Contre-exemple : $(1; 0) \in G$ et $(0; 1) \in G$, mais $(1; 0) + (0; 1) = (1; 1) \notin G$.
2.2. CARACTÉRISATION D’UN SOUS-ESPACE VECTORIEL
Proposition
Proposition 3
Soit $(E; +; \cdot)$ un espace vectoriel réel et $F$ une partie de $E$. On a l'équivalence :
\[(F \text{ est un sous-espace vectoriel de } E) \Leftrightarrow \begin{cases} F \neq \varnothing \\ \left(\forall (\alpha; \beta) \in \mathbb{R}^2\right)\left(\forall (\vec{x}; \vec{y}) \in F^2\right)\; \alpha\vec{x} + \beta\vec{y} \in F \end{cases}\]
Preuve
Preuve
$(\Rightarrow)$ Supposons que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$. Alors, $F \neq \varnothing$. Soit maintenant $(\vec{x}; \vec{y}) \in F^2$ et $(\alpha; \beta) \in \mathbb{R}^2$. Par définition d'un sous-espace vectoriel, on peut affirmer successivement que $\alpha\vec{x} \in F$ et $\beta\vec{y} \in F$ puis que $\alpha\vec{x} + \beta\vec{y} \in F$.
$(\Leftarrow)$ La réciproque est facile en prenant successivement $\alpha = \beta = 1$, puis $\beta = 0$.
Remarque
Remarques
Dans un contexte de sous-espaces vectoriels, on étudie l'appartenance de $\vec{0}$ à $F$ :
$\vec{0} \in F$ donne $F \neq \varnothing$,
$\vec{0} \notin F$, alors $F$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $E$.
Lorsqu'on souhaite montrer qu'un ensemble $F$ est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel $E$, on aura le choix, ou bien d'utiliser la définition ou bien de se ramener à la proposition 3.
Dans la pratique, pour montrer qu'un ensemble $F$ est un espace vectoriel réel, il peut être beaucoup plus facile de démontrer que c'est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel réel connu. C'est pour cette raison qu'il faut connaître quelques espaces vectoriels réels les plus familiers, à savoir :
On considère l'ensemble : $E = \{(x; y) \in \mathbb{R}^2 / y = 2x\}$
Montrons que $(E; +; \cdot)$ est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel $(\mathbb{R}^2; +; \cdot)$ :
On a $(0; 0) \in E$ (car $0 = 2 \times 0$) et donc $E \neq \varnothing$.
Soit $\vec{u}_1 = (x_1; y_1)$ et $\vec{u}_2 = (x_2; y_2)$ deux éléments de $E$ et $(\alpha; \beta) \in \mathbb{R}^2$.
Remarque
À retenir
On a $y_1 = 2x_1$ et $y_2 = 2x_2$, par conséquent :
On a : $\alpha y_1 + \beta y_2 = 2\alpha x_1 + 2\beta x_2 = 2(\alpha x_1 + \beta x_2)$, ce qui montre que : $\alpha\vec{u}_1 + \beta\vec{u}_2 \in E$.
Par suite, $(E; +; \cdot)$ est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel $(\mathbb{R}^2; +; \cdot)$.
\setcounter{enumi}{1}
On considère l'ensemble :
\[F = \left\{ \begin{pmatrix} a+b & b \\ -b & a-b \end{pmatrix} / (a; b) \in \mathbb{R}^2 \right\}\]
Montrons que $(F; +; \cdot)$ est un espace vectoriel réel :
Puisque $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}); +; \cdot)$ est un espace vectoriel réel et $F \subset \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, alors il suffit de montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}); +; \cdot)$. On pose pour tout $(a; b) \in \mathbb{R}^2$ : $M(a; b) = \begin{pmatrix} a+b & b -b & a-b \end{pmatrix}$.
On a $F \neq \varnothing$ car $O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 0 & 0 \end{pmatrix} \in F$ (remarquer bien que $O_2 = M(0; 0)$). Soit maintenant $M(a_1; b_1)$ et $M(a_2; b_2)$ deux éléments de $F$ et $(\alpha; \beta) \in \mathbb{R}^2$. On a alors :
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ ainsi que $\vec{x}_1, \vec{x}_2, \dots, \vec{x}_n$ des vecteurs d'un espace vectoriel réel $(E; +; \cdot)$.
On appelle combinaison linéaire des vecteurs $\vec{x}_1, \vec{x}_2, \dots, \vec{x}_n$, ou encore combinaison linéaire de la famille $(\vec{x}_1; \vec{x}_2; \dots; \vec{x}_n)$, tout vecteur de la forme :
Les réels $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ sont appelés les coefficients de la combinaison linéaire $\sum_{i=1}^n \alpha_i\vec{x}_i$.
Remarque
Remarques
Il s'agit évidemment d'une généralisation de la définition d'une combinaison linéaire de deux vecteurs vue dans la proposition 3. De plus, un vecteur $\vec{x}$ est combinaison linéaire des vecteurs $\vec{x}_1, \vec{x}_2, \dots, \vec{x}_n$ si, et seulement si, il existe des réels $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ tels que : $\vec{x} = \sum_{i=1}^n \alpha_i\vec{x}_i$.
Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $(E; +; \cdot)$ contenant les vecteurs $\vec{x}_1, \vec{x}_2, \dots, \vec{x}_n$, alors toute combinaison linéaire de ces vecteurs appartient encore à $F$.
Exemple
Exemples
Les combinaisons linéaires de la famille à un seul élément $(\vec{u})$ sont les vecteurs $\alpha\vec{u}$ où $\alpha \in \mathbb{R}$, celles de la famille à deux éléments $(\vec{u}; \vec{v})$ sont les vecteurs $\alpha\vec{u} + \beta\vec{v}$ où $(\alpha; \beta) \in \mathbb{R}^2$.
Dans l'espace vectoriel $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}); +; \cdot)$, on considère les matrices :
Dans l'espace vectoriel $(\mathcal{P}_3; +; \cdot)$ des polynômes de degré inférieur ou égal à $3$, on considère les polynômes $P_0$, $P_1$, $P_2$ et $P_3$ définis sur $\mathbb{R}$ par : $P_0(x) = 1$ ; $P_1(x) = x$ ; $P_2(x) = x^2$ ; $P_3(x) = x^3$.
Tout élément $P$ de $\mathcal{P}_3$ peut s'écrire sous la forme : $(\forall x \in \mathbb{R})\; P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, c'est-à-dire $P(x) = a \cdot P_3(x) + b \cdot P_2(x) + c \cdot P_1(x) + d \cdot P_0(x)$. Ainsi, tout élément de $\mathcal{P}_3$ est combinaison linéaire de la famille des polynômes $(P_0; P_1; P_2; P_3)$.
Remarque
À retenir
\setcounter{enumi}{3}
Dans l'espace vectoriel réel $(\mathbb{C}; +; \times)$, tout nombre complexe $z$ peut être considéré comme combinaison des nombres $1$ et $i$ car : $(\forall z \in \mathbb{C})\; \left(\exists (a; b) \in \mathbb{R}^2\right)\; z = a + ib$.
Application
Applications
On munit $\mathbb{R}^3$ des lois d'addition et de multiplication par un réel comme suit :
On considère les vecteurs : $\vec{u} = (1; -4; 5)$ et $\vec{v} = (1; 2; -4)$.
a) Montrer que le vecteur $\vec{w} = (3; 18; -30)$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
b) Le vecteur $\vec{p} = (-7; 1; 4)$ peut-il s'écrire comme combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ? Justifier.
Dans l'espace vectoriel $(\mathcal{F}(\mathbb{R}; \mathbb{R}); +; \cdot)$, on considère les fonctions suivantes :
\[\omega_1 : x \mapsto e^{-2x} \cos x ; \omega_2 : x \mapsto e^{-2x} \sin x\]
Et l'ensemble : $E = \{a\omega_1 + b\omega_2 \;/\; (a; b) \in \mathbb{R}^2\}$
a) Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $(\mathcal{F}(\mathbb{R}; \mathbb{R}); +; \cdot)$.
b) Montrer que si $f \in E$ alors $f' \in E$. ($f'$ étant la dérivée de la fonction $f$).
c) Soit $\alpha \in \mathbb{R}$ et on considère la fonction $f_\alpha$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_\alpha(x) = e^{-2x} \cos(x + \alpha)$.
Montrer que $f_\alpha$ est une combinaison linéaire de $\omega_1$ et $\omega_2$.
Soit $\sigma$ un nombre complexe non réel (c'est-à-dire $\sigma \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$).
Montrer que tout nombre complexe est combinaison linéaire de $1$ et $\sigma$.
3.2. FAMILLES LIBRES – FAMILLES LIÉES
Définition
Définition 6
Soit $E$ un espace vectoriel réel, $n \in \mathbb{N}^*$ et $(\vec{x}_1; \vec{x}_2; \dots; \vec{x}_n)$ une famille de vecteurs de $E$.
On dit que la famille $(\vec{x}_1; \vec{x}_2; \dots; \vec{x}_n)$ est une famille libre de $E$, si :
On dit encore dans ce cas-là que les vecteurs $\vec{x}_1, \vec{x}_2, \dots, \vec{x}_n$ sont linéairement indépendants.
On dit que la famille $(\vec{x}_1; \vec{x}_2; \dots; \vec{x}_n)$ est une famille liée de $E$, si elle n'est pas libre. Cela signifie donc qu'il existe une famille $(\alpha_1; \alpha_2; \dots; \alpha_n)$ de réels non tous nuls vérifiant $\sum_{i=1}^n \alpha_i\vec{x}_i = \vec{0}$ :
On dit encore dans ce cas-là que les vecteurs $\vec{x}_1, \vec{x}_2, \dots, \vec{x}_n$ sont linéairement dépendants.
Remarque
Remarque
Dans la pratique, lorsque qu'on s'intéresse à la liberté éventuelle d'une famille $(\vec{x}_1; \vec{x}_2; \dots; \vec{x}_n)$, on considère $(\alpha_1; \alpha_2; \dots; \alpha_n) \in \mathbb{R}^n$ tel que $\alpha_1\vec{x}_1 + \alpha_2\vec{x}_2 + \dots + \alpha_n\vec{x}_n = \vec{0}$. Si cette égalité nous conduit forcément vers $\alpha_1 = \alpha_2 = \dots = \alpha_n = 0$, alors, la famille $(\vec{x}_1; \vec{x}_2; \dots; \vec{x}_n)$ est libre. Dans le cas contraire, elle est liée.
Exemple
Exemples
Plaçons-nous dans $E = \mathbb{R}^3$ et considérons les trois vecteurs :
La famille $(P_1; P_2; P_3; P_4)$ est libre. En effet, si $(\alpha_1; \alpha_2; \alpha_3; \alpha_4) \in \mathbb{R}^4$ vérifie $\alpha_1 P_1 + \alpha_2 P_2 + \alpha_3 P_3 + \alpha_4 P_4 = 0$, alors, pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $(\alpha_1 + \alpha_2)x^3 + (\alpha_3 + \alpha_4)x^2 + (\alpha_2 – \alpha_3)x + (-\alpha_1 – \alpha_4) = 0$.
Un polynôme n'est nul que lorsque tous ses coefficients sont nuls. Cela conduit à résoudre le système :
Ainsi, la famille $(P_1; P_2; P_3; P_4)$ est libre.
Toute famille de vecteurs $(\vec{x}_1; \vec{x}_2; \dots; \vec{x}_n)$ contenant le vecteur nul est liée : en effet, si $\vec{x}_j = \vec{0}$, alors en prenant $\alpha_i = 0$ pour $i \neq j$, et $\alpha_j = 1$, on a $\sum_{i=1}^n \alpha_i\vec{x}_i = \vec{x}_j = \vec{0}$.
Soit $\sigma \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$. Montrons que la famille $(1; \sigma)$ est libre dans l'espace vectoriel réel $(\mathbb{C}; +; \times)$ :
Puisque $\sigma \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$ alors sa forme algébrique est $\sigma = \text{Re}(\sigma) + i\text{Im}(\sigma)$ avec $\text{Im}(\sigma) \neq 0$.
Soit maintenant $(\alpha; \beta) \in \mathbb{R}^2$ tel que $\alpha \times 1 + \beta \times \sigma = 0$. On a alors :
Comme $\text{Im}(\sigma) \neq 0$ alors nécessairement $\beta = 0$ et donc, d'après $\alpha + \beta\text{Re}(\sigma) = 0$, $\alpha = 0$.
Par suite, la famille $(1; \sigma)$ est libre dans l'espace vectoriel réel $(\mathbb{C}; +; \times)$.
Remarque
À retenir
\setcounter{enumi}{4}
Plaçons-nous dans $E = \mathbb{R}^4$ et considérons les trois vecteurs :
où $(a; b; c; x) \in \mathbb{R}^4$.
Montrons que la famille $(\vec{u}; \vec{v}; \vec{w})$ est liée :
On a pour tout $(a; b; c; x) \in \mathbb{R}^4$ :
\[\begin{cases} \sin(x+a) = \sin x \cos a + \cos x \sin a \\ \sin(x+b) = \sin x \cos b + \cos x \sin b \\ \sin(x+c) = \sin x \cos c + \cos x \sin c \end{cases}\]
Il s'ensuit donc : $\vec{w} = \sin x(\cos a; \cos b; \cos c) + \cos x(\sin a; \sin b; \sin c)$, d'où : $\vec{w} = (\sin x)\vec{u} + (\cos x)\vec{v}$.
Par suite, la famille $(\vec{u}; \vec{v}; \vec{w})$ est liée.
Application
Applications
Dans l'espace vectoriel réel $(\mathcal{F}(\mathbb{R}; \mathbb{R}); +; \cdot)$, on considère les fonctions :
\[f : x \mapsto x + 1 ; g : x \mapsto x^2 ; h : x \mapsto x^2 – x + 3\]
Montrer que la famille $(f; g; h)$ est libre.
Dans l'espace vectoriel $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}); +; \cdot)$, on considère les matrices :
Une famille $(\vec{x})$ constituée d'un seul vecteur est libre si, et seulement si, $\vec{x} \neq \vec{0}$.
Les éléments d'une famille libre sont deux à deux distincts.
Si une famille $B = (\vec{x}_1; \vec{x}_2; \dots; \vec{x}_n)$ est libre, alors toute famille contenue dans $B$ est aussi libre.
Si une famille $B = (\vec{x}_1; \vec{x}_2; \dots; \vec{x}_n)$ est liée, alors toute famille contenant $B$ est aussi liée.
Une famille $B = (\vec{x}_1; \vec{x}_2; \dots; \vec{x}_n)$ est liée si, et seulement si, l'un des vecteurs de $B$ est une combinaison linéaire des $n-1$ autres.
Preuve
Preuve
Supposons que la famille $(\vec{x})$ est libre. Si $\vec{x} = \vec{0}$ était nul, on aurait $1\vec{x} = \vec{0}$ ce qui entraînerait $(\vec{x})$ liée.
Réciproquement, si $\vec{x} \neq \vec{0}$, l'égalité $\alpha\vec{x} = \vec{0}$ entraîne $\alpha = 0$, ce qui prouve la liberté de $(\vec{x})$.
Supposons que la famille $B = (\vec{x}_1; \vec{x}_2; \dots; \vec{x}_n)$ contient deux vecteurs égaux. Supposons par exemple que $\vec{x}_1 = \vec{x}_2$. Alors : $\vec{x}_1 – \vec{x}_2 + 0\vec{x}_3 + \dots + 0\vec{x}_n = \vec{0}$, ce qui est en contradiction avec le fait que la famille $B = (\vec{x}_1; \vec{x}_2; \dots; \vec{x}_n)$ est libre. D'où le résultat.
Supposons que la famille $B = (\vec{x}_1; \vec{x}_2; \dots; \vec{x}_n)$ est libre. Considérons une sous-famille, par exemple $(\vec{x}_1; \vec{x}_2; \dots; \vec{x}_p)$ et supposons que $\alpha_1\vec{x}_1 + \alpha_2\vec{x}_2 + \dots + \alpha_p\vec{x}_p = \vec{0}$. On peut encore écrire cette égalité :
\[\alpha_1\vec{x}_1 + \alpha_2\vec{x}_2 + \dots + \alpha_p\vec{x}_p + 0\vec{x}_{p+1} + 0\vec{x}_{p+2} + \dots + 0\vec{x}_n = \vec{0}, \text{ ce qui entraîne la nullité des } \alpha_i.\]
Supposons que la famille $B = (\vec{x}_1; \vec{x}_2; \dots; \vec{x}_n)$ est liée. Soit $(\vec{y}_1; \vec{y}_2; \dots; \vec{y}_p) \in E^p$. Si la famille de vecteurs $(\vec{x}_1; \vec{x}_2; \dots; \vec{x}_n; \vec{y}_1; \vec{y}_2; \dots; \vec{y}_p)$ était libre, sa sous-famille $(\vec{x}_1; \vec{x}_2; \dots; \vec{x}_n)$ serait aussi libre d'après 3), ce qui est faux.
Supposons que la famille $(\vec{x}_1; \vec{x}_2; \dots; \vec{x}_n)$ est liée. Par définition, il existe $(\alpha_1; \alpha_2; \dots; \alpha_n) \in \mathbb{R}^n – \{0; 0; \dots; 0\}$ tel que $\alpha_1\vec{x}_1 + \alpha_2\vec{x}_2 + \dots + \alpha_n\vec{x}_n = \vec{0}$. L'un des $\alpha_i$ est non nul. Supposons qu'il s'agit de $\alpha_1$. On peut donc écrire : $\vec{x}_1 = -\sum_{k=2}^n \frac{\alpha_k}{\alpha_1}\vec{x}_k$, ce qui montre que l'un des vecteurs peut s'écrire comme combinaison linéaire des autres.
Réciproquement, supposons que l'un des vecteurs peut s'écrire comme combinaison linéaire des $n-1$ autres. On a, par exemple $\vec{x}_1 = \sum_{k=2}^n \beta_k\vec{x}_k$, d'où $\vec{x}_1 – \sum_{k=2}^n \beta_k\vec{x}_k = \vec{0}$. Nous avons donc une combinaison linéaire nulle des vecteurs $\vec{x}_1, \vec{x}_2, \dots, \vec{x}_n$ avec au moins un coefficient non nul ($1 \neq 0$), donc la famille est liée.
3.3. FAMILLES GÉNÉRATRICES
Définition
Définition 7
Soit $E$ un espace vectoriel réel, $n \in \mathbb{N}^*$ et $(\vec{x}_1; \vec{x}_2; \dots; \vec{x}_n)$ une famille de vecteurs de $E$.
On dit qu'un vecteur $\vec{x}$ est engendré par la famille $(\vec{x}_1; \vec{x}_2; \dots; \vec{x}_n)$ s'il peut s'écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de cette famille. Autrement dit :
On dit encore dans ce cas-là que la famille $(\vec{x}_1; \vec{x}_2; \dots; \vec{x}_n)$ engendre l'espace vectoriel $E$.
Exemple
Exemples
La famille $(1; i)$ est une famille génératrice de l'espace vectoriel réel $(\mathbb{C}; +; \cdot)$ car tout nombre complexe $z$ peut s'écrire sous la forme $z = a + ib$ avec $(a; b) \in \mathbb{R}^2$.
Si $n \in \mathbb{N}^*$, alors la famille des vecteurs $(\vec{e}_1; \vec{e}_2; \dots; \vec{e}_n)$ définie par :
est une famille génératrice de l'espace vectoriel réel $(\mathbb{R}^n; +; \cdot)$, puisque, pour tout vecteur $\vec{x} = (x_1; x_2; \dots; x_n) \in \mathbb{R}^n$, on a : $\vec{x} = \sum_{i=1}^n x_i\vec{e}_i = x_1\vec{e}_1 + x_2\vec{e}_2 + \dots + x_n\vec{e}_n$.
En pratique, on se contente souvent de $n \in \{2; 3; 4\}$. Géométriquement, on « voit » que :
deux vecteurs non colinéaires du plan en forment une partie génératrice :
trois vecteurs non coplanaires de l'espace en forment une partie génératrice.
Désignons par $E$ l'espace vectoriel réel constitué par les suites arithmétiques. Considérons les deux suites $U = (u_n)$ et $V = (v_n)$ définies sur $\mathbb{N}$ par : $u_n = n$ et $v_n = 1$.
La famille $(U; V)$ est génératrice de $E$ car si $W = (w_n)$ est une suite arithmétique de raison $r \in \mathbb{R}$, on a pour tout $n \in \mathbb{N}$, $w_n = w_0 + nr$, ce qui peut encore s'écrire $W = w_0 V + r U$.
Application
Applications
Dans l'espace vectoriel $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}); +; \cdot)$, on considère les matrices :
Montrer que la famille $\mathcal{B} = (M_1; M_2; M_3)$ engendre la matrice $M = \begin{pmatrix} 1 & 4 10 & -4 \end{pmatrix}$.
Remarque
À retenir
\setcounter{enumi}{1}
On rappelle que $(\mathcal{P}_3; +; \cdot)$ est l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à $3$.
On considère la famille $\mathcal{B} = (f_1; f_2; f_3; f_4)$ formée par les fonctions :
\[f_1 : x \mapsto x^2 – 4x + 1 ; f_2 : x \mapsto -x^2 + 2 ; f_3 : x \mapsto 3x – 4 ; f_4 : x \mapsto 4x^3 + x\]
Dans chacun des cas suivants, la fonction $f$ est-elle engendrée par la famille $\mathcal{B}$ ?
a) $f : x \mapsto -4x^3 + 5x^2 – 13x – 1 ; b)\; f : x \mapsto 5x + 7 ; c)\; f : x \mapsto 0$
Montrer que la famille $\mathcal{B} = \left((1; 2); (-1; 1); (2; 1)\right)$ est génératrice de l'espace vectoriel $(\mathbb{R}^2; +; \cdot)$.
On pose $\vec{u} = (-5; 3)$ et $\vec{v} = (a; 9)$. Déterminer les valeurs de $a$ pour lesquelles la famille $\mathcal{B} = (\vec{u}; \vec{v})$ engendre l'espace vectoriel $(\mathbb{R}^2; +; \cdot)$.
3.4. BASES D’UN ESPACE VECTORIEL RÉEL
Définition
Définition 8
Soit $E$ un espace vectoriel réel, $n \in \mathbb{N}^*$ et $\mathcal{B} = (\vec{x}_1; \vec{x}_2; \dots; \vec{x}_n)$ une famille de vecteurs de $E$.
On dit que la famille $\mathcal{B}$ est une base de $E$ si c'est une famille libre et génératrice de $E$, ce qui revient à écrire :
Dans ces conditions, les nombres $\alpha_1; \alpha_2; \dots; \alpha_n$ s'appellent les composantes (ou coordonnées) du vecteur $\vec{x}$ dans la base $\mathcal{B}$, et on écrit $\vec{x}(\alpha_1; \dots; \alpha_n)_{(\mathcal{B})}$ ou tout simplement $\vec{x}(\alpha_1; \dots; \alpha_n)$.
Le réel $\alpha_k$ s'appelle la $k^{\text{ème}}$ composante (ou coordonnée) de $\vec{x}$ dans la base $\mathcal{B}$.
Remarque
Remarques
Plaçons-nous dans l'espace vectoriel réel $(\mathbb{R}^n; +; \cdot)$. On a déjà vu que la famille de vecteurs $\mathcal{B} = (\vec{e}_1; \vec{e}_2; \dots; \vec{e}_n)$ définie par :
est une famille génératrice de l'espace vectoriel réel. Par ailleurs, si $\alpha_1\vec{e}_1 + \alpha_2\vec{e}_2 + \dots + \alpha_n\vec{e}_n = \vec{0}$, alors $(\alpha_1; \alpha_2; \dots; \alpha_n) = (0; 0; \dots; 0)$, d'où $\alpha_1 = \alpha_2 = \dots = \alpha_n = 0$, ce qui montre que la famille $\mathcal{B}$ est libre. C'est donc une base, appelée base canonique de l'espace vectoriel réel $(\mathbb{R}^n; +; \cdot)$. C'est la base la plus naturelle et la plus simple de $\mathbb{R}^n$.
Une fois choisie une base $\mathcal{B} = (\vec{x}_1; \vec{x}_2; \dots; \vec{x}_n)$ de $E$, il arrive souvent que l'on identifie chaque vecteur $\vec{x} \in E$ avec le $n$-uplet de ses composantes. C'est pourquoi, une base doit être une famille (ordonnée) et non un ensemble. Par exemple, si $\mathcal{B} = (\vec{e}_1; \vec{e}_2; \vec{e}_3)$ est une base de $E$, alors le vecteur de composantes $(1; 2; 3)$ dans la base $\mathcal{B}$ est $\vec{e}_1 + 2\vec{e}_2 + 3\vec{e}_3$ et non pas $\vec{e}_2 + 2\vec{e}_1 + 3\vec{e}_3$.
Exemple
Exemples
Dans l'espace vectoriel $(\mathbb{R}^2; +; \cdot)$, la famille $B = (\vec{e}_1; \vec{e}_2)$ avec $\vec{e}_1 = (1; 0)$ et $\vec{e}_2 = (0; 1)$ est une base de $\mathbb{R}^2$. C'est la base canonique de $\mathbb{R}^2$.
Dans l'espace vectoriel $(\mathbb{R}^3; +; \cdot)$, la famille $B = (\vec{e}_1; \vec{e}_2; \vec{e}_3)$ avec $\vec{e}_1 = (1; 0; 0)$, $\vec{e}_2 = (0; 1; 0)$ et $\vec{e}_3 = (0; 0; 1)$ est une base de $\mathbb{R}^3$. C'est la base canonique de $\mathbb{R}^3$.
Comme il a été déjà signalé dans la remarque précédente, cette base avec la base canonique de $(\mathbb{R}^3; +; \cdot)$ vue dans l'exemple précédent sont les plus naturelles et les plus simples pour modéliser les problèmes, que ça soit en mathématiques, en physique, en chimie, en astronomie, en économie ou en sciences industrielles.
La famille $(1; i)$ est une base de l'espace vectoriel réel $(\mathbb{C}; +; \times)$, puisqu'elle est libre et qu'elle est génératrice de $\mathbb{C}$ comme on l'a vu précédemment. Les coordonnées d'un nombre complexe dans cette base sont ses partie réelle et imaginaire.
Plus généralement, si $\sigma \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$, alors la famille $(1; \sigma)$ est une base de l'espace vectoriel réel $(\mathbb{C}; +; \times)$. En effet, on a déjà vu que $(1; \sigma)$ est une famille libre de $(\mathbb{C}; +; \times)$. Montrons qu'elle est génératrice :
Soit $z = a + ib$ un nombre complexe avec $(a; b) \in \mathbb{R}^2$. Montrons qu'il existe $(x; y) \in \mathbb{R}^2$ tel que $z = x + \sigma y$.
On a : $z = x + \sigma y \iff a + ib = x + y\left(\text{Re}(\sigma) + i\text{Im}(\sigma)\right) \iff a + ib = x + y\text{Re}(\sigma) + iy\text{Im}(\sigma)$, ce qui revient à résoudre le système :
\[\begin{cases} x + y\text{Re}(\sigma) = a \\ b = y\text{Im}(\sigma) \end{cases} \iff \begin{cases} x = a – y\text{Re}(\sigma) = a – \frac{\text{Re}(\sigma)}{\text{Im}(\sigma)}b \\ y = \frac{b}{\text{Im}(\sigma)} \end{cases} (\text{car } \text{Im}(\sigma) \neq 0)\]
Ainsi, la famille $(1; \sigma)$ est libre et génératrice de $\mathbb{C}$, donc c'est une base de cet espace vectoriel.
Posons $E = \mathcal{P}_n$ où $n \in \mathbb{N}^*$. Considérons les polynômes suivants :
\[P_0 : x \mapsto 1 ; P_1 : x \mapsto x ; P_2 : x \mapsto x^2 ; P_3 : x \mapsto x^3 ; \dots ; P_n : x \mapsto x^n\]
Montrons que la famille $B = (P_0; P_1; \dots; P_n)$ est une base de l'espace vectoriel réel $\mathcal{P}_n$ :
On sait que tout polynôme $P : x \mapsto \alpha_n x^n + \dots + \alpha_1 x + \alpha_0$ est par définition une combinaison linéaire des polynômes $P_0, \dots, P_n$. La famille $B$ est donc génératrice de $\mathcal{P}_n$. Par ailleurs, si $\alpha_n x^n + \dots + \alpha_1 x + \alpha_0 = 0$, alors, par définition d'un polynôme nul, tous les coefficients $\alpha_i$ sont nuls, ce qui montre que $B$ est libre.
Cette famille de polynômes est donc une base, appelée base canonique de l'espace vectoriel $\mathcal{P}_n$.
La famille $B = \left( \begin{pmatrix} 1 & 0 0 & 0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 0 & 0 1 & 0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 0 & 1 0 & 0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 0 & 0 0 & 1 \end{pmatrix} \right)$ est une base de l'espace vectoriel $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}); +; \cdot)$.
Application
Applications
On considère l'ensemble : $E = \left\{(a; a; b) / (a; b) \in \mathbb{R}^2\right\}$
a) Montrer que $(E; +; \cdot)$ est un espace vectoriel réel.
b) Déterminer une base de $(E; +; \cdot)$.
On considère l'ensemble suivant : $E = \left\{f : x \mapsto (ax + b)e^{2x} / (a; b) \in \mathbb{R}^2\right\}$
a) Montrer que $(E; +; \cdot)$ est un espace vectoriel réel.
b) Soit $f_1$ et $f_2$ les fonctions numériques définies sur $\mathbb{R}$ par : $f_1(x) = e^{2x}$ et $f_2(x) = xe^{2x}$.
Montrer que la famille $B = (f_1; f_2)$ est une base de l'espace vectoriel $E$.
c) Montrer que la fonction $u : x \mapsto \int_0^x \left(t + \frac{1}{2}\right)e^{2t} dt$ est un élément de $E$ puis déterminer ses coordonnées dans la base $B$.
Soit $E$ l'ensemble des fonctions numériques $f$ définies sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = P(x)\cos x + Q(x)\sin x$ où $P$ et $Q$ sont des fonctions affines (C'est-à-dire de la forme $x \mapsto ax + b$ avec $(a; b) \in \mathbb{R}^2$).
a) Montrer que $(E; +; \cdot)$ est un espace vectoriel réel.
b) On considère la famille $B = (f_1; f_2; f_3; f_4)$ telle que :
\[f_1(x) = \cos x ; f_2(x) = \sin x ; f_3(x) = x\cos x ; f_4(x) = x\sin x\]
Montrer que $B$ est une base de l'espace vectoriel $E$.
c) Montrer que la fonction $h : x \mapsto \cos(x + a)$ avec $a \in \mathbb{R}$ est un élément de $E$ puis déterminer ses coordonnées dans la base $B$.
Proposition
Proposition 5
Soit $E$ un espace vectoriel réel, $n \in \mathbb{N}^*$ et $B = (\vec{x}_1; \vec{x}_2; \dots; \vec{x}_n)$ une base de $E$. Soit $\vec{x}$ et $\vec{y}$ deux vecteurs de $E$ tels que : $\vec{x}(\alpha_1; \dots; \alpha_n)_{(B)}$ et $\vec{y}(\beta_1; \dots; \beta_n)_{(B)}$. Alors :
Soit $E$ un espace vectoriel réel, $n \in \mathbb{N}^*$ et $B = (\vec{x}_1; \vec{x}_2; \dots; \vec{x}_n)$ une base de $E$. Alors, toutes les bases de $E$ ont le même cardinal. Ce cardinal est appelé la dimension de $E$ et noté $\dim E$, et on écrit $\dim E = n$.
Exemple
Exemples
Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $\dim \mathbb{R}^n = n$. En particulier :
L'espace vectoriel réel $\mathbb{R}$ est de dimension $1$. Il admet pour base $(1)$ et plus généralement toute famille formée d'un unique élément non nul.
L'espace vectoriel réel $\mathbb{R}^2$ est de dimension $2$. Il admet pour base $B = \left((1; 0); (0; 1)\right)$.
L'espace vectoriel réel $\mathbb{R}^3$ est de dimension $3$. Il admet pour base $B = \left((1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)\right)$.
L'espace vectoriel réel $(\mathbb{C}; +; \times)$ est de dimension $2$ : $\dim \mathbb{C} = 2$.
L'espace vectoriel réel $(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}); +; \cdot)$ est de dimension $4$ : $\dim \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) = 4$. Il admet pour base $B = (A_1; A_2; A_3; A_4)$ avec :
Plaçons-nous dans l'espace vectoriel $(\mathcal{V}_3; +; \cdot)$ constitué par les vecteurs de l'espace ordinaire. On a déjà vu dans le cours de géométrie de l'espace ($1^{\text{ère}}$ année du bac) que $(\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ est une base de $\mathcal{V}_3$ avec : $\vec{i} = (1; 0; 0)$ ; $\vec{j} = (0; 1; 0)$ ; $\vec{k} = (0; 0; 1)$.
Il s'ensuit donc : $\dim \mathcal{V}_3 = 3$.
Soit maintenant $F$ un sous-espace vectoriel de $(\mathcal{V}_3; +; \cdot)$ différent de $\{\vec{0}\}$.
Si $\dim F = 1$, alors $F$ est un espace vectoriel engendré par un vecteur non nul $\vec{u}$. On dit alors que $F$ est la droite vectorielle de direction $\vec{u}$.
Si $\dim F = 2$, alors $F$ est un espace vectoriel engendré par deux vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$. On dit alors que $F$ est le plan vectoriel dirigé par les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
À titre d'exemple, considérons le sous-ensemble $F$ de $(\mathcal{V}_3; +; \cdot)$ défini par :
\[F = \left\{\vec{u} = (x; y; z) \in \mathcal{V}_3 \;/\; x – y + 3z = 0\right\}\]
On montre facilement que $F$ est un sous-espace vectoriel de $(\mathcal{V}_3; +; \cdot)$. Déterminons une base de $F$.
On a pour tout $\vec{u} = (x; y; z) \in F$, $y = x + 3z$, il s'ensuit donc :
On pose : $\vec{v} = (1; 1; 0)$ et $\vec{w} = (0; 3; 1)$. Il s'ensuit donc que $B = (\vec{v}; \vec{w})$ est une famille génératrice de $F$. Il est facile de montrer que $B = (\vec{v}; \vec{w})$ est libre. Ainsi, $B = (\vec{v}; \vec{w})$ est une base de $F$ et que $\dim F = 2$.
Posons $E = \mathcal{P}_n$ où $n \in \mathbb{N}^*$. Considérons les polynômes suivants :
\[P_0 : x \mapsto 1 ; P_1 : x \mapsto x ; P_2 : x \mapsto x^2 ; P_3 : x \mapsto x^3 ; \dots ; P_n : x \mapsto x^n\]
On a déjà vu que $B = (P_0; P_1; \dots; P_n)$ est une base de l'espace vectoriel réel $\mathcal{P}_n$. Par suite : $\dim \mathcal{P}_n = n + 1$.
Application
Applications
On considère l'ensemble $E = \left\{(x; y; z) \in \mathbb{R}^3 \;/\; x + y – z = 0\right\}$.
On munit $E$ de l'addition $+ $ et la multiplication par un réel définies sur $\mathbb{R}^3$.
Montrer que $(E; +; \cdot)$ est un espace vectoriel réel puis déterminer sa dimension.
On considère l'ensemble : $K = \left\{\begin{pmatrix} a & b -b & a \end{pmatrix} \;/\; (a; b) \in \mathbb{R}^2\right\}$.
Montrer que $(K; +; \cdot)$ est un espace vectoriel réel puis déterminer sa dimension.
Soit $E$ l'ensemble des fonctions numériques définies sur $\mathbb{R}$ par :
\[f(x) = (a\sin x + b\cos x)e^{3x} \text{où} (a; b) \in \mathbb{R}^2\]
a) Montrer que $E$, muni de l'addition des fonctions et la multiplication par un réel, est un espace vectoriel réel.
b) On considère la famille $B = (f_1; f_2)$ telle que : $f_1(x) = e^{3x}\cos x$ et $f_2(x) = e^{3x}\sin x$.
Montrer que $B$ est une base de $E$.
c) Soit $f$ un élément de $E$.
Montrer que $f'$ est un élément de $E$ et déterminer les coordonnées de $f'$ dans la base $B$.
Proposition
Proposition 7
Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension $2$ et $B = (\vec{i}; \vec{j})$ une base de $E$.
Soit $B' = (\vec{u}; \vec{v})$ une famille de vecteurs de $E$ tels que $\vec{u}(a; b)$ et $\vec{v}(a'; b')$ dans la base $B$. Alors :
\[(B' \text{ est une base de } E) \iff (B' \text{ est génératrice de } E) \iff (B' \text{ est libre dans } E) \iff \begin{vmatrix} a & a' \\ b & b' \end{vmatrix} \neq 0\]
Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension $3$ et $B = (\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ une base de $E$.
Soit $B' = (\vec{u}; \vec{v}; \vec{w})$ une famille de vecteurs de $E$ tels que $\vec{u}(a; b; c)$ et $\vec{v}(a'; b'; c')$ et $\vec{w}(a''; b''; c'')$ dans la base $B$. Alors :
\[(B' \text{ est une base de } E) \iff (B' \text{ est génératrice de } E) \iff (B' \text{ est libre dans } E) \iff \begin{vmatrix} a & a' & a'' \\ b & b' & b'' \\ c & c' & c'' \end{vmatrix} \neq 0\]
Remarque
Remarque
La proposition 7 est d'une importance pratique capitale. Elle affirme qu'une famille de cardinal égal à la dimension de l'espace vectoriel devient une base dès qu'elle est libre ou génératrice. En pratique, il est plus facile de vérifier qu'elle est libre soit en calculant le déterminant soit par un calcul direct.
